立足基礎，以“不變”應“萬變”—淺談《極坐標和參數方程》在近三年高考中的“變”與“不變”

羅榮

（新疆石河子八師第二高級中學，新疆 石河子 832011）

一、重溫經典，賞析歷年高考試題

例1（2019年全國高考II卷）在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0,θ0)(ρ0＞0)在曲線C:ρ=4sinθ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.

（二）當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.

解析：（一）因為M(ρ0,θ0)在C上，當時，.

設Q(ρ,θ)為l上除P的任意一點.在Rt△OPQ中，，

（二）設P(ρ,θ)，在Rt△OAP中，|OP|=|OA|cosθ=4cosθ,即ρ=4cosθ.

因為P在線段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范圍是.

二、常見考點歸類

考點一：參數方程,極坐標方程和直角坐標方程的互化

例2

直線與圓相交求弦長的方法有多種，其中常用的一些有：

法一：

小結：常規問題要注意通性通法，記住方程的轉化，把直線和曲線化成熟悉的形式來處理問題，注意一題多解教學。

考點二：直線的參數方程及應用

（一）求曲線C的直角坐標方程。

（二）設曲線C與直線l相交于A,B兩點，若點P的坐標為（1,1），求的值

解析：（一）由曲線Cρsin2θ=4cosθ可得，ρ2sin2θ=4ρcosθ，由可得曲線方程是y2=4x

（二）由題意知，直線l過點P(1，1),把直線l的參數方程代入y2=4x中，整理得。設點A,B兩點對應得參數分別是，則所以。

考點三：直線與圓錐曲線的參數方程及應用

（一）求C和l的直角坐標方程。

（二）求C上的點到l距離的最小值。

解法分析：在第一問中，曲線C的參數方程化為普通直角坐標方程，需要消去參數t，消參的過程較以往有所不同，消參需要仔細觀察參數方程的特點，通過“湊”平方關系(1-t2)2+4t2=(1+t2)2來消參，也可用設t= tanθ,則

y=，可以看出其曲線是橢圓。第二問中，除了用到點到直線的距離公式，通過三角函數的求最值方法來解決，還可以借助數形結合，設與已知直線平行的直線l':2x+3y+m=0與橢圓相切，聯立方程，令Δ=0，求出m,在求出l,l'的距離

考點四：圓與圓錐曲線的參數方程及其應用

（一）求直線l的直角坐標方程和橢圓C的參數方程

（二）點M在橢圓C上，設點M（2cosα,4sinα）,則 有，當且僅當

三、立足基礎，以本為綱，在“變”中求“不變”

以近三年全國高考卷為主要研究對象，本專題考點包括以下幾個方面：

（一）掌握極坐標方程、參數方程與直角坐標方程之間的互化，極坐標方程中公式ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ是必要的武器。代入消參、加減消參、平方消參等是消參的常規方法，牢記公式，掌握三者之間的關系即可在第一問的解決中變得輕松。

（二）理解參數方程是以參變量為中間介質表示曲線的，通過消參得到直角坐標系下曲線的原貌，注意題目中所給條件，表示曲線是要寫清范圍，在參數方程和普通方程的互化過程中，必須使兩種方程中的x,y的取值范圍保持一致。

（三）極坐標系下的極徑與極角的幾何意義要清楚，注意出現在極徑和極角前的負號，準確找到點在極坐標系及直角坐標系下的位置。

（五）理解極坐標中ρ的幾何意義，會用它的幾何意義求距離問題。

（六）對于問題中求點到直線的距離最大及最小問題，多將點設成含三角的參數形式，利用點到之間的距離公式，在接下來的化簡中用以前學過的輔助角公式來解決。

（七）解決與圓、圓錐曲線的參數方程有關的綜合問題時，要注意參數方程和普通方程的互化，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點最值、范圍的問題。

從全國自上而下掀起新課程改革浪潮的這些年，培養學生的核心素養，體現與時俱進的學習應變能力已彰顯出它的重要地位和作用。縱觀近三年的全國高考試卷，整體感覺基礎知識、基本運算能力和基本數學思想方法的考查都保持不變，貫穿于試卷始終。但是試卷的出題形式越來越綜合，越來越新穎，充分體現出與時俱進的時代特點。如何處理好“變與不變”關系，做到以“不變”應“萬變”，借助已有知識點，透過重重迷霧突破一道道坎是作為教師需要不斷探索的難題。“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索”，在未來的道路上我們還要繼續努力！