凸顯小數本質實現意義建構

閆云梅 陸德霞

【摘要】在人教版教材“小數的意義”學習中，有這樣一段話“分母是10、100、1000……的分數可以用小數表示”。由此，有相當一部分學生甚至有些教師都認為，小數僅僅是十進分數的另一種表示方式，對小數的本質意義缺乏深刻認識。筆者在學習相關資料的基礎上，對小數學習的價值進行了分析，明確了小學階段兩次學習小數所承載的不同任務，分析了分數在小數學習中所發揮的作用，并以“小數的意義”一課為例，利用有效學習模型，設計有價值的學習活動，凸顯小數本質，使學生實現對小數的“意義建構”。

【關鍵詞】小數 本質 活動 意義建構

一、學生錯誤引發的思考

在學習了人教版數學四年級下冊“小數的意義”一課之后，部分學生在作業中出現了這樣的問題（如下圖）：

從學生的錯誤可以看出，學生僅僅記住了教材上所說的“分母是10、100、1000……的分數可以用小數表示”這一事實性結論，只會將分數從形式上改寫成小數的模樣，并沒有真正理解小數的本質意義。

那么小數僅僅是十進分數的另一種表示形式嗎？小數的本質意義與學習價值是什么？“分數”在“小數意義”的學習過程中發揮著怎樣的作用？有關“小數”的學習為什么分為三年級“小數的初步認識”和四年級“小數的意義和性質”兩個階段進行？這兩段學習承載的任務分別是什么？借助哪些模型、設計哪些活動能幫助學生更好地理解小數的本質意義？

帶著這樣的思考，筆者對有關小數的學習進行了深入的思考與實踐研究。

二、對有關小數學習的理解與認識

1.小數的本質意義與學習價值分析

張奠宙教授在《小學數學研究》一書中寫道：小數的出現，是基于十進制表示數量的需要，是十進位值制記數向相反方向延伸的結果。具體來說就是，人們在度量物體的過程中，總是把容易感知、觸及的量作為合適的單位。如一尺、一斤、一元等，然后依十進制發展出大數目的位值系統。然而，社會生活往往還需要比單位“1”更小的計量，于是，有了尺以下的寸、分 ;斤以下的兩、錢;元以下的角、分。按照十進制的要求，產生10寸為一尺、10兩為一斤、10角為一元的設置。這是十進位制記數制度沿著相反方向的延伸。因此，小數產生的本原在于計量的需要，并非分數概念的附庸。

由此我們可以獲得兩點啟示：第一，小數產生于度量;第二，小數的學習，應使學生對十進位值制記數向相反方向延伸有突破性認識。

馬克思在《數學手稿》一書中寫道：十進位值制記數法為人類“最妙的發明之一”。在十進制概念的學習中，小數的學習是一個轉折點。整數部分是由“1”開始越聚越多，且相鄰計數單位之間的進率是十;而小數則是從“1”開始分，越分越小，它是十進位值制記數向相反方向延伸的結果，也是數的一次擴充——小數與分數的學習，帶領學生開始從“微觀”的視角來認識數，因此對于學生來說更為抽象，也更難理解。因此教材將小數的學習分為了兩個階段。

2.小數學習的兩個階段所承載的任務分析

小學生對“數概念”意義的理解主要包括數學意義和現實意義。數概念的數學意義主要指的是“數”是由不同計數單位及其個數相乘再累加構成的。自然數因為是十進位值制的，所以計數單位是一（個）、十、百……不同計數單位與其個數乘積的累加就構成了全部的自然數。小數也是如此，小數的計數單位十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……與其個數乘積的累加就構成了全部的小數。因此，小數計數單位的認識、小數的組成是學習小數的數學意義的重要內容。除數學意義外，數概念還蘊含著豐富的現實意義，如小數所表示的具體數量的含義。人教版數學關于小數的學習主要分為兩個階段：三年級“小數的初步認識”和四年級“小數的意義和性質”。三年級主要是從形式上認識小數，會讀、寫小數，知道商品標價和測量中的小數所表示的實際意義。四年級則要從具體“數量”的認識抽象到對“數”的理解，知道小數的產生，認識小數的計數單位及組成，并對小數的本質有較為深入的理解。

3.分數在小數學習過程中所承載的任務

前面提到，小數并非分數概念的附庸。那么，能不能脫離分數，直接認識小數呢？顯然不行。以小數0.3為例，無論是用圖形表征還是用語言表征0.3的含義，其表征方式都與分數的表征方式是一樣的，所以說小數是十進分數的另一種表示方式也不無道理。十進分數的圖形表征和語言表征對于學習理解小數的意義具有重要作用。因此，在三年級學習小數之前，教材首先編排了“分數的初步認識”。

三、設計有效活動，凸顯小數本質，實現意義建構

由于小數在生活中有廣泛的應用，學生在正式學習小數之前已有了豐富的購物、測量等生活經驗，因此，在三年級學習“小數的初步認識”時，教師可以從學生的生活經驗出發，讓學生結合人民幣、度量等情境，學習讀、寫小數，說明小數的具體含義，再借助幾何直觀模型（圖形表征）溝通小數與十進分數的聯系。

那么，在四年級學習“小數的意義”一課時，又該設計哪些活動，才能更好地凸顯小數的本質意義呢？基于對小數內容的深度思考，筆者設計了如下活動：

活動一：請學生根據0.3的含義，在計數器上表示0.3。

活動設計意圖：為了讓學生體會小數是十進位值制記數向相反方向的延伸，必須將小數放在十進位值制系統里來認識。而既能反映十進關系又能體現位值思想的最好的直觀模型就是計數器。因此，用計數器表示0.3，成為學生實現認知突破的關鍵活動。

活動實施及效果：對于計數器，學生并不陌生，也有豐富的用計數器表示自然數的經驗。但學生以往對十進制記數法的認識是從“1”開始，滿十進一，從右向左越聚越多;而在計數器上撥小數的活動，是從“1”開始，將 “1”十等分，從左向右越分越小。這種認識方向的相反性和行為操作的不同性，對學生來說還是有一定困難的。為了保證活動的有效實施，教師要組織學生對三年級所學習的有關小數與分數的知識進行回顧與抽象。首先可以結合方格圖，讓學生說說0.3的含義，從圖形表征和語言表征兩方面明確0.3的意義，同時強化十等分的過程。在此基礎上，將小數0.3與分數建立聯系，借助分數的意義，更好地說清小數的意義。有了這些知識基礎與經驗的支撐，學生在計數器上表示0.3就不會無從下手了。

在課堂教學實踐中，大多數學生能在個位右邊的一位上撥出3顆珠子表示0.3，并能說明自己的想法。也有部分學生在十位上或個位上撥珠子。在反饋交流時，通過強化“0.3比1小” “要將1十等分”等關鍵信息，幫助學生實現十進位值制向相反方向的突破。接著可以讓學生表示出其他的一位小數，繼而認識一位小數的計數單位（十分之一或0.1）和新的數位（十分位）及一位小數的組成。

活動二：

（1）如下圖，在測量長方形的過程中，長方形的寬比0.3長，但又不到0.4，怎樣才能準確表示出長方形的寬呢？這個長方形的寬是多少？

活動設計意圖：由于小數的產生源于精準度量的需要，讓學生經歷測量中尋找更小的計數單位的過程，既和小數產生與發展的過程相一致，又使學生體會到創造一個新的計數單位的必要性。讓學生親歷將每個小格十等分，最終將 “1”平均分成100份的過程，不僅能讓學生更好地理解0.01的意義，還為學生理解0.01與0.1、0.01與1的關系提供了直觀經驗。

活動實施及效果：在實踐教學中，學生首先提出將0.3與0.4之間的一段平均分成10份，就可以表示出長方形的寬是0.32;再讓學生解釋0.32中的“2”在圖中是哪兩個小格、其中的一個小格是什么意思，使學生意識到還要把每段都平均分成十份，也就是將“1”平均分成100份。這樣，學生認識了一個更小的計數單位0.01，并以0.01為單位，認識更多的兩位小數。

（2）請學生在方格圖和計數器中分別表示出0.32，并想想兩者之間有什么聯系。

活動設計意圖：對兩位小數意義的理解是學習小數意義的重要環節，學生理解數的意義的一個重要表現就是能用多種方法表示數。教師在這里提供方格紙和計數器兩種不同的模型，一方面看學生能否用不同的計數單位說明小數的組成，另一方面讓學生更好地體會小數中所蘊含的十進位值制思想。

活動實施及效果：學生在用方格圖表示0.32時，出現了以下三種不同的畫法：

通過交流比較學生發現，每個小格都表示0.01，不管怎樣涂，只要涂出32個小格就能表示0.32，32個0.01就是0.32。在用計數器表示0.32時，學生能說明不同位置上每個珠子所表示的數，滲透了位值思想，明確0.32里面有3個0.1和2個0.01。在進一步勾連方格圖和計數器聯系的過程中，學生發現10個0.01是1個0.1。

活動三：將“1”平均分成10份、100份，我們認識了計數單位0.1和0.01以及一位小數和兩位小數，將“1”繼續分下去，你還能創造出新的計數單位和相關的小數嗎？

活動設計意圖：借助想象，類比遷移，讓學生認識計數單位“0.001”以及更小的計數單位和相關的小數，感受小數單位越分越小。

活動實施及效果：通過想象將“1”繼續平均分下去，學生認識到還有更小的計數單位，十進制記數法向相反方向的延伸也是無限的。

活動四：從“一”開始，我們認識了整數的計數單位和進率，又認識了小數的計數單位和進率，結合計數單位排列順序表，說說自己有什么發現和感受，找一找誰最重要。

活動設計意圖：幫助學生梳理計數單位排列順序表，使知識結構化;在梳理的過程中，感受整數部分越聚越多，小數部分越分越小及“一”的重要性。

活動實施及效果：學生觀察順序表，認識到不論是整數還是小數，相鄰兩個計數單位的進率都是10;計數單位往左越來越大，往右越來越小;還有的學生發現這個順序表是以“一”為中心的，似乎是對稱的;體會到這些計數單位中“一”的重要性。

總之，只有深度挖掘教材，才能把握小數的本質，再通過有效的數學活動，對小數意義的學習才能實現從“形式改寫”走向“意義建構”。

【參考文獻】

張奠宙.小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2009.