一元二次函數在定區間內最值解法的思維拓展

陳志剛

(湖北省孝感市湖北航天高級中學 432100)

分類討論思想歷來是高考的高頻和熱點考點.分類討論沒有統一標準，不同情況分類標準不一樣，本文試圖解決一類數學分類討論的題型，以餐讀者.

人教版必修一第39頁B組第一題.己知函數f(x)=x2-2x，g(x)=x2-2x,x∈[2，4] .求函數f(x)，g(x) 最小值.這 道題的編者意圖是讓學生分清同一函數在不同區間的最值求解問題，不妨把區間 (-∞，+ ∞)，和[2，4]等區間定義為定區間，那么這道題本質是考查一元二次函數在定區間內的最值問題.

上述求函數g(x)=x2-2x,x∈[2，4] 最小值.只是其中一種具體情形，即對稱軸在閉區間的左邊的一種情況.

下面再通過一個例子系統說明一元二次函數在閉區間的最值情況.求函數f(x)=x2-2ax，x∈[2，4]的最大值和最小值.

由于此函數的對稱軸x=a(a∈R)，是一條變動的對稱軸，對于這樣的函數的最值,緊緊抓住上述四種的情況，問題就能迎刃而解，顯然只需要分(1)a≤2,(2)24這四種情況.就能很好地求出此函數的最大值和最小值.

在閉區間的最值情況搞清楚了,在定區間內的最值問題就能很快解決.還是看對稱軸是否穿過定區間了，上述函數f(x)=x2-2x最值實質上是在定區間(-∞，+∞)上的對稱軸在區間內的一種情形，再比如，求函數f(x)=x2-2ax，在區間[2，+∞)上的最小值.就看對稱軸x=a是否穿過區間[2，+∞),只有兩種情形，分(1)a≤2和(2)a>2討論即可.

這種解法的思維拓展.

對于開口向上的拋物線的頂點的橫坐標，本質上是函數的極小值點，看對稱軸是否穿過區間，其實可以看成函數極小值點是否在區間內，對于函數極大值點情形類比分析.這種思維方法，可以拓展到一些非對稱圖形的函數最值問題，這類問題在導數與函數的應用中極其廣泛.

例如，己知函數f(x)=(x-k)ex求函數在區間[0，1]上的最小值，求得f′(x)=(x-k+1)ex,令f′(x)=(x-k+1)ex=0得x=k-1.顯然，函數f(x)在x=k-1處取得極小值點.看極小值點是否在區間內可以得到如下的分類討論情況:

(1)當k-1≤0即k≤1時函數f(x)在區間[0，1]上單調遞增,函數f(x)在區間[0，1]上的最小值為f(0)=-k.

(2)當0

(3)當k-1>1即k>2時，函數在[0，1]上單調遞減，f(x)在區間[0，1]的最小值為f(1)=(1-k)e.

解f′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1).令f′(x)=0得x=a，x=1.當a>1時，f(x)在(-∞，1)上單調遞增，(1，a)上單調遞減，在(a，+∞)上單調遞增.顯然，只需看極小值點a是否在區間[2，4]內，這樣對變量a就有如下的分類:

(1)當1

(2)當2

(3)當a﹥4時，f(x)在x=4處取最小值f(4)，在x=2處取最大值f(2).

當a=1時，f′(x)=(x-1)2>0，f(x)在[2，4]內單調遞增，f(x)的最大值為f(4)，最小值為f(2).

當a<1時,顯然極小值點在區間[2，4]的左側，f(x)在[2，4]內單調遞增，f(x)的最大值為f(4)，最小值為f(2).

這種思維方法的再拓展.

這種思維方法還可以探討函數的零點在定區間內的零點的個數.只不過在探討零點個數時，要考慮函數在區間端點函數值符號和極值的符號問題.比如上例，在a>1情形下，當10,則f(x)在[2，4]內只有一個零點,當20或f(4)>0,則f(x)在[2，4]內有一個零點或有二個零點;當a>4時,若f(2)>0，且f(4)<0,則f(x)在[2，4]內有一個零點.其他情況以此類推.