續(xù)談分類討論

吳日明

(安徽省合肥市一六八中學 230601)

一、由題干的限制條件導致的分類討論

分析：因為題中θ的限制范圍，進而cosθ有相應(yīng)的約束范圍，導致對a的相應(yīng)討論.

解析令h(θ)=cos2θ+2asinθ-2a-2=-sin2θ+2asinθ-2a-1.

由二次函數(shù)性質(zhì)，圖象進行分類討論得：

(1)若0≤a≤1，只需要h(a)<0，解得a∈[0,1].

(3)若a>1，只需要h(1)<0，顯然成立，所以a∈(1,+∞).

反思三角函數(shù)問題中，角的范圍要重視，本題換元令t=sinθ，務(wù)必抓住t的范圍，引發(fā)a的三種情況的分類討論，使得a的范圍才水落石出.

二、由公式定義的約束導致的分類討論

例2設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，前n項和Tn>0(n=1,2,…)，(1)求q的取值范圍；(2)設(shè)cn=bn+2-bn+1，記{cn}的前n項和為Sn，試比較Tn與Sn的大小．

分析本題中，由于數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，特別要注意討論公比q=1與公比q≠1的情況．

解析(1) 因為{bn}是等比數(shù)列，Tn>0，可得b1=T1>0，q≠0.

當q=1時，Tn=nb1>0；

由于n可能是奇數(shù)，也可是偶數(shù)，故q的取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞)．

(2)由cn=bn+2-bn+1=bn(q2-q)，則Sn=(q2-q)Tn，

則Sn-Tn=(q2-q-1)Tn

因為Tn>0，-10，

反思在解決數(shù)列通項與求和的關(guān)聯(lián)問題中，特別要注意：n=1與n≥2的切實需要中的討論，在解決等比數(shù)列的求和問題中，特別要注意對于公比q=1與公比q≠1的分情況討論.

三、由運算的實際需求導致的分類討論

分析由于不等式中均含有參數(shù)a，其解的結(jié)果均取決于01.所以1為a的分類討論標準.

解析(1)當0

(2)當a>1時,不等式組

(1)當1

當1

反思本題在不等式的求解化簡過程中，不等號方向是否改變，以及不等式組內(nèi)各解的交集的產(chǎn)生中，進而必然引發(fā)a與1，a與3的大小的討論與分級討論，才可以條理分明，結(jié)論清晰.

分類討論的實際需要與歸因有很多，在中學數(shù)學問題思考解決中，能避免的的可以盡力避免，不能避免的就要注意分類討論的科學，有效，精準.