解三角形中的基本問題求解策略

林 娜

(廣東省中山市桂山中學 528463)

從2019年全國Ⅰ卷理科17題和全國Ⅲ卷理科18題對解三角形的考查來看，三角形中的基本方法、基本結論、基本圖形和基本關系仍然是高考考查的重點，高考側重對學生四基即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗的考查.在新的問題情境下，考查學生對基礎知識和基本技能的理解和掌握的情況，考查學生運用基礎知識、基本技能和基本數學思想方法解決實際問題的能力，意在提升學生的數學素養，最終幫助學生建立“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界”的能力，這才是真正地將培養學生的數學素養落在實處.下面我們通過具體例題來說明解三角形中的基本問題的解決思路和求解策略，希望對大家高三復習備考有所啟發，對培養學生的數學思維有所幫助.

一、抓住基本條件和基本結論，選擇合理的運算途徑和方法

例題1(2019年全國Ⅰ理科17題)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，設(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC．

(1)求A；

解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，故由正弦定理得b2+c2-a2=bc．

因為0°

(2)思路1 (化邊為角)

(*)式還可以化為正弦或者也可以聯立sin2C+cos2C=1來求解.

思路2 (化角為邊)

思路3 (利用基本結論)

我們發現了這個題的出題思路來源于教材上同學們熟悉的射影定理，知道題目的來源為解題提供了思路，那么如何來表達呢？

解題反思思路1和思路2本質上是相同的，已知兩個內角或者已知一個角和三個角的關系或者已知兩組邊的關系，都可以得到相似三角形，三個角確定或者三條邊的比例關系確定，這是思路1和思路2的來源.在解三角形問題的時候要分析題目已知的基本條件，根據基本條件可以預想得到什么樣的結果，還要看最終達到怎樣的目的，最終找到運算的方向和目標.思路3來源于基本結論射影定理，也是這道題目的出題來源，如果從基本結論出發，問題馬上迎刃而解.

(1)求角C；

(2)分析：已知角C和角B，則三角形是相似的，我們可以確定三條邊的比例關系，選擇哪個定理呢？如果用余弦定理將得到

解題反思這道題學生做得不好，很多學生反映很久沒找到解題思路，我想歸結原因，是學生沒有整體分析和把握已知的基本條件，選擇合理的運算路徑和解題方向，迷失在兩個小三角形△ABD和△ACD中.另外，由已知條件如何確定三邊的比例關系，也要事先有預想，凡事預則立，不預則廢，不可盲目，導致計算量加大，出錯的概率增加，時間成本提高..

二、抓住基本邊角關系，引入變量，建立方程

(2)若∠APB=150°，求tan∠PBA.

解題反思分析題目已知條件，發現無法從任何一個三角形“突破”，這個時候往往需要尋找相鄰三角形邊角的基本關系，利用這個基本關系，引入某個角或某條邊為變量，通過這個變量建立方程. 思路1和思路2分別引入角和邊為變量，建立了方程，想法本質上是一樣的.但是，兩種思路計算量差別很大，所以實際解題時，需要以所求為線索選擇合適的方法.

變式已知平面圖形ABCD為凸四邊形(凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在的直線，其余各邊均在此直線的同側)，且AB=2,BC=4,CD=5,AD=3，則四邊形ABCD面積的最大值為( ).

解△ABC和△ABD中已知條件都只有兩條邊，無法“突破”，于是建立兩者邊角的聯系，有公共邊AC，故設AC=x，由余弦定理可得

兩式平方相加得289-240cos(B+D)=49+4S2，S2=60-60cos(B+D).

解體反思通過引入△ABC和△ABD公共邊AC為變量建立角B和角D的方程，利用三角形面積公式，將四邊形面積表達出來，但兩個角的關系比較復雜，消元難以實現，于是我們看到整體結構，將兩個式子平方相加，水到渠成.

三、抓住基本圖形，數形結合，化繁為簡

(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

解(1)B=60°(過程略).

解題反思思路1和思路2是處理三角形中范圍或最值問題的常規的方法，將面積表達為某個角或某條邊的函數，確定函數的定義域，轉化為求函數的值域問題；或者利用基本不等式來求解. 思路2重視基本圖形背后的結論，即由銳角三角形知三角形中任意兩邊的平方和都大于第三邊的平方；思路3利用動點軌跡的思想，根據已知條件，確定點C的運動軌跡，抓住基本圖形直角三角形，直接“秒解”，該題是極限思想的具體運用和綜合體現.

變式1 在△ABC中，已知BC=2，AB=2AC，則△ABC面積的最大值為____.

思路固定BC，由AB=2AC得到動點A的軌跡為阿波羅尼斯圓.當三角形△ABC中,BC邊的高為圓的半徑時，三角形的面積取最大值.

變式2 在△ABC中，已知BC=2，AB+AC=4，則△ABC面積的最大值為____.

思路固定BC，由AB+AC=4得到動點A的軌跡為橢圓，當三角形△ABC中BC邊的高為橢圓的短半軸長時，三角形的面積取最大值.

變式3 在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若2a2+3b2+4c2=8，則△ABC面積的最大值為____.

解題反思變式1和變式2都是固定一條邊，即三角形的兩個頂點，則第三個頂點的運動軌跡分別為基本圖形圓和橢圓，結合圖形，答案顯而易見. 變式3已知邊的線性平方和為定值，可以把一條邊固定(看成已知的)，則問題歸結為變式1和變式2類似的問題.又因為平面內到兩個定點距離的平方和為定值的點的軌跡為圓，數形結合，找到取最大值的動點位置，得到關于邊c的一個函數，再求函數的最大值.本題取了兩次最值，這也是我們在處理雙變量問題時的常見處理思路.當然這三道變式題都有很多其它解法，但其它解法相對復雜很多.如果我們能夠抓住直角三角形、圓、橢圓等基本圖形，數形結合，往往能夠化繁為簡，并且能夠抓住問題的本質.

四、備考建議

在高考中解三角形的題目主要考查考生運算能力，以及對基本結論的靈活運用能力，要盡可能地取得高分甚至滿分.建議教師利用好課堂時間去引導學生思考如何選擇恰當的運算路徑避免繁雜的運算，如何挖掘條件中的基本條件、基本結論、基本關系、基本圖形等去解決問題，化繁為簡.這一基本活動經驗的獲得必須重視平時的思維訓練，不可小覷.學生的數學素養和數學思維能力的提升最后都體現在學生解題水平的提高，這也是教師應該深思和未來努力的方向.