關于運用程序性知識解題的幾點注記

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學 114000)

教育心理學[2]將知識分為陳述性知識和程序性知識.程序性知識也叫操作性知識，直觀理解這類知識主要用來回答“怎么做”的問題，特點是知識形成過程的程式化，即通過“順序模塊”和“順序模塊的組裝”來形成.基于這些直觀的理解和認識，試想探索的問題是，在涉及程序性知識問題解決時，可否呈現一些規律性的方法和手段，下面以導數部分中“曲線的切線方程”知識點為例加以說明闡述.

導數部分的“曲線的切點方程”是典型的程序性知識，具體形式為：曲線y=f(x)上一點M(x0,f(x0))處的切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).對于這個知識點從知識形成過程可以分解為由以下幾個“順序模塊知識”構成：順序模塊1.切點在y=f(x)的曲線上，即切點坐標滿足曲線方程.順序模塊2.切線斜率k=f′(x0).順序模塊3.點斜式寫切線方程.也就是說，關于“曲線切線方程”知識點可以分解為“三大順序模塊”，在求切線方程時，將每個模塊任務完成后，按順序“組裝”起來即可.

上述對程序性知識理解的思考在解題中具有何種程度的指導意義，請看下面的示例.

示例1 (2019年全國理科數學3卷第6題) 已知曲線y=aex+xlnx在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b，則( ).

A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1

C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1

分析這是一道給出切線方程、切點、曲線方程，但含有參數的問題.對此，直接借助于上述給出的切線方程的“三大順序模塊”列出對應方程，即可求解.

略解由切線斜率等于切點導數值，得ae+1=2 ①；由切點在曲線上，得ae=ae+0(這是恒成立的等式，無用于本題的解決)；由切點在曲線上，得ae=2+b②.綜合①②可得D.

(1)證明：直線AB過定點；(2)略.

分析問題(1)是沒有給出切點、切線斜率的切線問題.對此，借助于求曲線切線方程“三大順序模塊”的思想，通過設切點，求導求斜率，從而得到切線方程，再運用設“設而不求”[3]即可求解.

略解(1)設A(x1,y1)、B(x2,y2)，由于直線斜率kAD=f′(x1)=x1，所以，切線AD方程為y-y1=x1(x-x1)①.同理，切線BD方程為y-y2=x2(x-x2)②.

(1)討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；

(2)設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

分析問題(1)略.

問題(2)是兩條曲線的公切線問題.對此，同樣借助于曲線切線方程分解為“三大順序模塊”的思想，通過設曲線y=lnx的切點A(x0，lnx0)，求導求斜率，從而得到切線方程，進一步，再推出該切線方程也是曲線y=ex的切線方程即可.

又曲線y=ex切于點B(x1,ex1)的切線方程為：y-ex1=ex1(x-x1)③.

綜合上述示例足以說明，采取將曲線切線方程(程序性知識)按其知識形成過程的邏輯順序分解為若干“模塊順序知識”結構的思想去指導解題，全面地解決了各類曲線的切線問題，可見該想法的地位和作用的重要性.為讀者更好把握，作為歸納總結,下面給出關于程序性知識解題做如下注記.

注記1 程序性知識的特點是知識形成過程具有“怎么做”的特點，即：要按知識形成過程即可做(求)出，具有很強的操作性.

注記2 對于程序性知識按只是形成過程的邏輯順序進行分解，分解為若干“順序模塊”，這樣便于應用解題時保證正確運用.

注記3 在解題運用時，敢于回歸知識本身的基本結構(順序模塊)來思考，敢于運用“設而不求”的手段去思考問題的解決.

事實上，高中數學知識中程序性知識占有很大比重，如：等差數列、單調函數等都是程序性知識.高考中強調的重點考查“通性通法”，事實上也是針對程序性知識而言的.通過上述示例可以看出，在數學學習中如果能對其程序性知識，依據“三個注記”按其知識形成過程的邏輯順序分解為若干“模塊順序知識”，并加以實際運用，一定對解題帶來極大的幫助.