皮亞諾型余項(xiàng)在函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí)的巧用

洪麗君 劉金靈 洪曉春

[摘要]本文使用幾個(gè)實(shí)例闡述了皮亞諾型余項(xiàng)的重要性，說(shuō)明在對(duì)函數(shù)進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí)，巧妙使用皮亞諾型余項(xiàng)證明泰勒公式余項(xiàng)的極限為零極為簡(jiǎn)潔，此方法對(duì)部分函數(shù)非常實(shí)用

[關(guān)鍵詞]皮亞諾型余項(xiàng);冪級(jí)數(shù);泰勒公式余項(xiàng);泰勒級(jí)數(shù)

[中圖分類號(hào)]0173.1 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]2095-3437（2020）05-0074-03

級(jí)數(shù)理論是分析學(xué)的一大分支，它與另一大分支微積分學(xué)作為基礎(chǔ)知識(shí)及工具出現(xiàn)在其余各分支中，二者共同以極限為基本工具，分別從離散和連續(xù)兩方面，結(jié)合起來(lái)研究分析學(xué)的研究對(duì)象一一函數(shù).級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都處于重要地位，原因是，一方面能借助級(jí)數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù);另一方面又能將函數(shù)表為級(jí)數(shù)，從而借助級(jí)數(shù)去研究函數(shù)。

文獻(xiàn)[1]研究了在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，可以利用級(jí)數(shù)展開(kāi)法將比較復(fù)雜的變系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為一組線性代數(shù)方程進(jìn)行研究，是一個(gè)很好的辦法.文獻(xiàn)[2]研究了在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，針對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)章節(jié)，剖析了學(xué)生學(xué)習(xí)困境產(chǎn)生的原因，然后從“教”與“學(xué)”兩個(gè)方面，給出了幫助學(xué)生擺脫困境的策略.文獻(xiàn)[3]使用級(jí)數(shù)等概念，對(duì)高等數(shù)學(xué)與中等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行了對(duì)比研究分析，得出學(xué)習(xí)方法需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換適應(yīng)等結(jié)論.

文獻(xiàn)[4]研究了帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式在求極限以及判定極值方面的應(yīng)用.文獻(xiàn)[5]研究了帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式在解決考研試題方面的應(yīng)用.在分析學(xué)中，把函數(shù)在點(diǎn)Xo的鄰域上展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法在函數(shù)理論和實(shí)際計(jì)算中都很實(shí)用，可以用來(lái)判定函數(shù)在點(diǎn)x=xo處解析;而判斷函數(shù)在點(diǎn)xo的鄰域上能夠展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的關(guān)鍵，又是判斷函數(shù)的泰勒公式余項(xiàng)在該鄰域上的極限為零。本文重點(diǎn)討論如何使用皮亞諾型余項(xiàng)來(lái)判斷函數(shù)在點(diǎn)xo的鄰域上能夠展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).

一、函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的理論

三、討論

對(duì)于例1，為了證明泰勒公式余項(xiàng)Rn（x）在收斂域（-1，1]上的極限為零，文獻(xiàn)[6，9]均使用拉格朗日型余項(xiàng)、柯西型余項(xiàng)進(jìn)行分段證明.對(duì)于例2，為了證明泰勒公式余項(xiàng)Rn（x）在收斂區(qū)間（-1，1）內(nèi)的極限為零，文獻(xiàn)[6，8]均使用柯西型余項(xiàng)進(jìn)行證明，文獻(xiàn)[7，9]的證明過(guò)程更加復(fù)雜，雖然這些證明方法對(duì)同學(xué)們數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練會(huì)有提升，但因冗長(zhǎng)，很多同學(xué)不易理解.我們使用皮亞諾型余項(xiàng)來(lái)證明，證法簡(jiǎn)潔，容易理解.

四、結(jié)論

本文使用3個(gè)例子闡述了使用皮亞諾型余項(xiàng)，證明泰勒公式余項(xiàng)Rn（x）在收斂區(qū)間（-1，1）內(nèi)極限為零，非常簡(jiǎn)潔，同學(xué)們?nèi)菀桌斫猓瑫r(shí)可以節(jié)約大量時(shí)間，在教學(xué)中可以使用此方法進(jìn)行教學(xué)。