含分流電路Galfenol聲子晶體的帶隙與減振性能

曹淑瑛，王金川,鄭加駒,張福寶

(1.河北工業大學 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室，天津 300130; 2.河北工業大學 河北省電磁場與電器可靠性重點實驗室，天津 300130)

0 引言

與傳統聲子晶體相比，含分流電路的壓電聲子晶體[1-4]可通過調整分流電阻、電感和電容等元件對其布喇格帶隙(BBG)和共振帶隙(RBG)調節，以降低振動傳輸。該減振控制法有望克服主動控制系統龐大且需能量供給的缺陷，在減振控制中有良好的應用前景。但壓電智能材料存在易老化、工作溫度范圍窄及過熱失效等缺點，限制了其應用。

與壓電材料相比，磁致伸縮智能材料(如Terfenol-D和Galfenol)[5-7]有工作溫度范圍廣，穩定性好及能量密度高等特點，在驅動[7-8]、分流阻尼[9-10]、振動能量采集[6]和聲子晶體[11-16]等器件中有潛在的應用前景。然而，該器件顯示了磁-機-電耦合非線性[5-6]，這給器件的設計和性能預估帶來困難。

目前，已有研究利用等效壓磁材料模型[11-13]、一維[14]和二維[15-16]Z-L模型來描述Terfenol-D的磁-機耦合非線性，并用平面波展開法分析其聲子晶體的BBG。Matar等[11-12]和Zhou等[13]表明，在外部靜磁場作用下，二維Terfenol-D聲子晶體內的Terfenol-D因磁致伸縮效應產生了機械形變和彈性模量變化，從而使其BBG產生明顯變化，且外加磁場方向對BBG的寬度和位置有顯著影響。Ding等[14]和Zhang等[15]表明，Terfenol-D聲子晶體的BBG除受外加磁場和預應力影響外，也受器件幾何參數的影響。Gu等[16]表明，磁場和預應力可使Terfenol-D聲子晶體的BBG獲得新的點缺陷模態。以上均是利用材料的磁致伸縮效應對其BBG調控的研究。如何利用材料的逆磁致伸縮效應，將有害的振動能轉化為電能，并通過分流元件調整其帶隙，實現有效減振的研究還未見報道。

本文考慮Galfenol材料磁-機-電耦合的逆磁致伸縮非線性，利用Armstrong模型確定了材料特性參數，推導和驗證了在分流電路下材料的有效彈性模量，并采用所建立的一維Galfenol聲子晶體振動模型對其在不同偏置磁場Hb、應力σ及分流電容Cs下的帶隙調控法及減振性能做了深入研究。

1 含分流電路Galfenol聲子晶體理論建模

將Galfenol棒緊密纏繞螺旋線圈，通過線圈與分流電路相連，并將該Galfenol棒周期性地連接到環氧樹脂棒上，形成在x方向上交替排列無限一維聲子晶體結構，如圖1所示。圖中，P和Q段分別為長度lm的Galfenol棒和長度lb的環氧樹脂棒，a=lb+lm為晶格常數，周期n=1,2,3,…,v(v為周期總數)，Zs為分流阻抗。該聲子晶體第v個周期Q段右邊界是自由的，當其第1個周期P段左邊界受位移激勵幅值Yejωt(ω為激勵角頻率)激勵時，由逆磁致伸縮效應和法拉第定律可知，P段中磁感應強度B發生變化，從而匝數N和長度lc的線圈產生感應電壓u、電流i和磁場Hc=Ni/lc，隨之P段有效彈性模量Ee會變化，從而實現其彈性波調控。

圖1 含分流電路的一維Galfenol聲子晶體結構

Galfenol聲子晶體的理論建?；谝韵录僭O：

1) Galfenol中沿x軸的磁場H、B分布均勻。

2) 沿x軸的應變ε和σ處處相等。

3) 螺旋線圈的lc和橫截面積Ac分別與Galfenol棒的lm和橫截面積Am相同。

1.1 磁致伸縮材料本構方程

Armstrong模型[5]能準確描述Galfenol磁致伸縮效應和逆磁致伸縮效應的磁-機耦合非線性行為，并可描述該材料參數(如彈性模量、壓磁系數、磁導率)隨應力與磁場變化的非線性特性。

圖1中，沿x軸給Galfenol棒施加H和σ時，材料的本構方程為

ε=σ/Em+d1H

(1)

B=d2σ+μ0μrH

(2)

式中：μ0為真空磁導率；d1為磁機轉換耦合壓磁系數；d2為機磁轉換耦合壓磁系數；Em為彈性模量；μr為相對磁導率。參數d1、d2、Em、μr均隨磁場與應力變化，可由Armstrong模型表示為

(3)

(4)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：α1=sinθcosφ；α2=sinθsinφ；φ為方位角；θ為極角；Et為總能量；Ms、λ100、Es、K分別為材料的飽和磁化強度、飽和磁致伸縮、飽和彈性模量和各向異性常數；γ、Ω為材料的兩個因子；k和k+1為B、H、ε或σ的連續值。

Galfenol中，H=Hb+Hc。在Yejωt激勵下，Galfenol產生的i很小[6]，從而Hc?Hb，因此，可認為Galfenol在H≈Hb和σ附近工作，可利用式(3)～(9)計算該工作點(Hb,σ)下的材料參數。

1.2 分流電路下有效彈性模量

在Yejωt激勵下，基于假設1)、2)和法拉第定律可得線圈中產生的感應電壓為

u=-NAcBs

(10)

式中s=jω為拉普拉斯算子。

將式(2)和H=Hb+Hc代入式(10)，并考慮線圈的電阻Rc和Zs，可得：

(11)

由式(11)和Hc=Ni/lc可求得Hc，并將其代入式(1)可得：

(12)

其中：

(13)

式中：Lc=μ0μrN2Ac/lc為電感；κ=[d1d2Em/(μ0μr)]1/2為磁機耦合因子。

由式(13)可得歸一化有效彈性模量為

(14)

將復數Ee和Een表示為實部和虛部的形式為

(15)

(16)

圖1中，Zs=1/(Css)時，器件的電固有頻率fn為

(17)

式中Cs為分流電容。

圖2 Galfenol歸一化的儲存剛度和損耗因子特性曲線

比較圖2(a)、(b)中計算和實驗曲線可知，計算曲線與實驗曲線吻合良好，這說明式(14)可提供Een隨f和Cs的合理數據趨勢。

1.3 振動模型與傳遞矩陣理論

圖1中，一維聲子晶體的縱向振動方程[2]為

(18)

式中：y(x,t)為在x處的位移；ρ為密度；A為橫截面積；E為彈性模量。對于P段，Galfenol棒的密度、橫截面積和彈性模量分別為ρm、Am和Ee。對于Q段，環氧樹脂棒的密度、橫截面積和彈性模量分別為ρb、Ab和Eb。

利用Bloch定理和傳遞矩陣方法，可推得式(18)的特征值方程[2]為

|T-eα+jβI|=0

(19)

圖1中，當該聲子晶體第1個周期P段左邊界受Yejωt激勵時，利用邊界條件和傳遞矩陣法[2]，可得其第v個周期Q段右邊界位移幅值yvQ(va)與第1個周期P段左邊界位移幅值y1P(0)的比，即位移傳輸為

(20)

式中D=[cos(λ2a) sin(λ2a)]，λ2=(ρb/Eb)0.5ω為Q段的波數；Tv為T的v次方。

2 結果與討論

圖1中，環氧樹脂棒和Galfenol棒有相同的直徑db=dm=5 mm和lb=lm=35 mm；N=460和內阻Rc=6.99 Ω；環氧樹脂的Eb=4.35 GPa，ρb=1 180 kg/m3[2]；Galfenol的Es=59 GPa，Ms=1.66/μ0A/m，λ100=212×10-6，K=1.75×104J/m3，ρm=7 496 kg/m3，γ=0.9和Ω=707[5]。利用上述參數，采用所建的模型計算所得曲線如圖3～5所示。

圖3 Hb不同時，Galfenol參數隨應力變化曲線

圖4 開路下Galfenol聲子晶體的性能曲線

圖5 分流電容電路下Galfenol聲子晶體的性能曲線

2.1 Galfenol特性參數的非線性

圖3為利用Armstrong模型計算在不同磁場下Galfenol參數Em、d1、d2、μr、Lc和κ隨應力變化的非線性曲線。由圖可看出，對于給定的H=Hb，Em首先隨著σ的增加先減小后增加，最后接近Es=59 GPa。而d1、d2、μr、Lc和κ隨著σ的增加先增加后減小。由于Galfenol棒的滯后小，故圖3(c)中d1≈d2，這符合熱力學理論。此外，在點(1.78 kA/m,-8.7 MPa)處，Lc和κ達到最大，即Lc max=98.9 mH，κmax=0.777。

比較圖3中計算曲線與測量曲線[5]發現，計算和測量的d2-σ、Em-σ曲線有近似的數量和趨勢，且在(H,σ)處，計算d1-σ、μr-σ與測量d1-H、μr-H[5]曲線的d1、μr數值非常近似。結果表明，Armstrong模型能準確描述Galfenol參數非線性特性。

在Hb=1.78 kA/m和σ=[-25 MPa，0]下，參數Em、d1、d2、μr、Lc和κ的數值變化范圍最大，這有益器件應用。

2.2 開路下Galfenol聲子晶體的性能

圖4為在開路(即Zs=∞)下，σ和H=Hb對Galfenol聲子晶體BBGs的影響。由圖4(a)可看出，在H=Hb=1.78 kA/m時，BBGs的起始頻率fs≈6.58 kHz幾乎不隨σ變化，而αp和fc隨σ變化顯著。

不同H=Hb下，αp-σ和fc-σ曲線如圖4(b)所示。顯然，對于給定的Hb，αp、fc隨σ的變化規律與圖3(a)所示的Em隨σ的變化規律一致。這是因為當Zs=∞時，由式(13)可知，Ee=Em。即當Zs=∞時，BBGs特性僅取決于Em。此外，當Em接近Es(Es=59 GPa)時，BBGs的αp和fc數值分別接近最大值(αpmax=2.19,fcmax=24.66 kHz)。

實際應用中，為了實現減振，常希望在施加的Hb和σ較小時，器件的αp和fc可接近αpmax和fcmax，從而實現最佳或次最佳減振。由圖4(b)可看出，在1.78 kA/m和-25 MPa下，器件的αp=αpmax,fc=fcmax,因此，(1.78 kA/m,-25 MPa)為器件的最佳工作點。此外，在工作點(1.78 kA/m,0)處，器件的αp≈2.13,fc≈23.99 kHz,分別接近αpmax=2.19和fcmax=24.66 kHz，因此,該點為次最佳工作點。

2.3 分流電容電路下Galfenol聲子晶體的性能

圖5為Zs=1/(Css)下,Hb=1.78 kA/m、不同σ和Cs時Galfenol聲子晶體的性能。圖中，曲線1：σ=-8.7 MPa，Cs=0.1 μF；曲線2：σ=-8.7 MPa，Cs=0.05 μF；曲線3：σ=-8.7 MPa，Cs=0.03 μF；曲線4：σ=-2 MPa，Cs=0.05 μF；曲線5：σ=0，Cs=0.05 μF；曲線6：σ=0，Cs=0.006 μF。對于給定的Hb=1.78 kA/m和σ=0、-2 MPa、-8.7 MPa，可由圖3(a)、(d)得到其相應參數：Em分別為48.8 MPa、41.9 MPa、21.9 GPa，Lc分別為13.8 mH、26.8 mH、98.9 mH，κ分別為0.339、0.526、0.777。因此，圖5中的曲線1～3和曲線5、6顯示了變化的Cs對器件性能的影響，而曲線2、4和曲線5顯示了變化的Lc、κ和Em對器件性能的影響。由圖5可得：

2) 當Cs和器件內在Lc組成的電磁振蕩器起作用時，該聲子晶體不僅有BBG，且有RBG和共振公共帶隙(RCBG)。

然而，曲線1～5的高頻BBGs幾乎不隨Cs和σ變化，且與開路下最佳BBG具有相同的起始頻率(fs≈6.58 kHz)、最大衰減常數峰值(αpmax≈2.19)和最大截止頻率(fcmax≈24.66 kHz)。這是因為，由圖5(c)、(d)可知，在諧振窄頻帶RBGs后，Ee總是迅速下降到飽和彈性模量(Es=59 GPa)。

此外，圖5(a)、(e)表明，Cs=0.006 μF，σ=0時，RBG進入BBG，兩帶隙合并產生了衰減幅度很大的RCBG。

3) 比較圖5(a)、(e)可知，圖5(a)中衰減常數大的頻率區域與圖5(e)中振動衰減幅值大的頻率區域相對應。此外，圖5(e)表明，在f=6.58～24.66 kHz內，BBGs和RCBG的振動衰減幅值分別可達80 dB和250 dB。圖5(e)、(f)表明，曲線1～3相應的3個RBGs振動衰減幅值分別約達40 dB、80 dB和120 dB，但其頻率范圍很窄，分別為1.58～1.66 kHz，2.24～2.35 kHz和2.88～3.04 kHz。為了改善RBGs帶寬，需研究其混合分流電路[2]和非線性分流電路[4]。

3 結論

利用所建模型，對有效彈性模量、Galfenol非線性參數及其聲子晶體的衰減常數和位移傳輸進行了計算與比較研究，可得結論：

1) 比較計算結果與測試結果表明，所建模型能描述歸一化有效彈性模量隨頻率和分流電容變化的合理數據趨勢，并能預測Galfenol材料參數隨應力變化的非線性特性，這為預測含分流電路Galfenol聲子晶體的性能奠定了理論基礎。

2) 開路下，該聲子晶體在最佳工作點(1.78 kA/m,-25 MPa)處，其BBG具有最大衰減常數峰值αpmax和最大截止頻率fcmax；在次最佳工作點(1.78 kA/m,0)處，其BBG衰減常數峰值和截止頻率接近αpmax和fc max。

3) 分流電容電路下，通過調節分流電容和應力，可快速調整RBG，并可產生寬頻和衰減幅值很大的RCBG；且較大磁機耦合因子、較大電感和較小分流電容可顯著提高器件減振性能。