復雜網絡邊動態可控性研究綜述

房聰

摘要：目前為止對復雜網絡可控性的研究大都集中在復雜網絡點動態系統上，本文研究了復雜網絡邊動態系統的可控性，將系統中的狀態變量定義到邊上，節點中的交換矩陣對應入邊狀態變量與出邊狀態變量之間的耦合關系，探究在網絡邊動態系統下的可控性研究。

關鍵詞：復雜網絡;邊動態;可控性

中圖分類號：O157.5 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2020）02-0077-01

0 引言

近年來，復雜網絡被廣泛的使用在了社會、生物、技術和金融等等系統中。如何控制復雜網絡稱為了一個具有挑戰性的問題。根據控制理論，指通過有效輸入，使得系統在一個有限時間內可以從任意給定的初始狀態到達期望的最終狀態，當對于給定的輸入，能夠實現這一控制目標，我們稱系統為可控的[1]。

現有的大多數研究都集中在研究節點動力學上。但是，在許多現實世界中的網絡，邊緣動態也很重要。例如，在城市交通網絡中，邊緣代表通過信息傳輸信息的物理連接（例如公路和鐵路）節點。節點（例如交叉路口）通過相應的邊緣接收和發送火車與它連接。Nepusz和Vicsek通過點邊互換的方法，將原來網絡中的狀態變量定義到邊上，利用Liu等人的方法研究了動力學作用在邊上的網絡的結構可控問題，發現在復雜網絡邊動態系統下的可控性與點動態系統的可控性有本質的差別[2]，然后龐等擴展了有向和無向的邊緣可控性。引起了很多人來探索復雜網絡的邊緣可控性[3]。

1 復雜網絡邊動態結構可控性

通過交換機動態來描述網絡的邊動態系統，將含有N個節點和M條邊的有向圖記為G（V，E），將狀態向量x=（x1，x2，…xM）T對應有向圖G的邊集，其中每一個狀態變量對應有向圖中的一條邊。對于網絡中的任意節點v，其出邊狀態受到入邊狀態、自身阻尼和外部輸入的影響，所以有：

（1）

其中yv+和yv-分別為節點v的出邊狀態向量和入邊狀態向量。Sv為交換矩陣，其行數和列數分別等于節點的出度kv+和入度kv-。τv為作用于出邊狀態上的阻尼項，表示兩向量對應元素相乘。當σv=1時，出邊狀態會受到外部輸入uv影響，此時稱節點v為驅動點。交換機動態中節點如同交換機設備，接收來自入邊的信號再將其加工并轉發到出邊上，加工和轉發過程由節點內部的交換矩陣表示。公式（1）可以改寫為一個線性時不變系統：

=（W-T）x+Hu? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

其中，W為狀態矩陣，是有向圖G的線圖L（G）的鄰接矩陣的轉置矩陣，線圖L（G）中的點對應其原圖G中的邊，線圖L（G）中的邊對應原圖G中邊的指向關系。T為阻尼矩陣，為對角矩陣，其對角元素上為對應每條邊的阻尼項。

網絡邊動態系統結構可控所需驅動點的數量和位置是由節點的局部拓撲結構決定的。具體來說，網絡中的節點分為發散點（kv+>kv-）、收斂點（kv+

2 復雜網絡邊動態嚴格可控性

根據嚴格可控性[4]，為了使邊動態系統可控所需要的最少驅動節點數由其線圖的鄰接矩陣的特征根的最大幾何重數決定的，即有：

ND=maxi{（μ（λi ）}? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

其中λi為狀態矩陣W的特征值，（λi）為特征值的幾何重數。當網絡規模N足夠大時，且網絡中無自環或有少量自環時，其狀態矩陣W的特征均值的期望約等于0，也就是說，其鄰接矩陣具有最大的幾何重數。所以，為了使系統到達結構可控所需要的最少驅動節點數為：

ND=max{1，M-rank（W）}? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

外部輸入通過驅動點來影響它的部分或者全部出邊的狀態，所以網絡邊動態系統驅動邊的起點為驅動點，驅動邊的數目為驅動點的出邊數量減去入邊數量。為了使邊動態系統可控所需要的最少驅動邊的數量為：

（5）

其中節點i為驅動點，C為網絡中連通分支的數量。

3 結語

控制復雜網絡系統的動力學行為是復雜科學的前沿問題，同時也是研究復雜網絡系統的最終目標。當前對于復雜網絡可控性的研究大都集中于復雜網絡點動態系統中，而復雜網絡邊動態系統同樣重要，可以代表許多現實生活中的網絡，通過對復雜網絡邊動態可控性的研究，可以極大的豐富控制理論，并為以后的實際工程應用做下鋪墊。

參考文獻

[1] 袁正中.復雜網絡系統的控制研究[D].北京：北京師范大學，2014.

[2] Nepusz，Tamás，Vicsek，Tamás.Controlling edge dynamics in complex networks[J].Nature Physics，2012，8（7）：568-573.

[3] Pang S P，Hao F，Wang W X.Robustness of controlling edge dynamics in complex networks against node failure[J].Physical Review E，2016，94（5）：052310.

[4] Ching-Tai Lin.Structural controllability[J].IEEE.TRANS.AUTOMATIC Control， 974，19（3）：201-208.

Review of? Research on Dynamic Controllability of? Complex Network Edges

FANG Cong

（College of? Electrical Engineering and Automation， Qilu University of? Technology， Jinan? Shandong? 250353）

Abstract：Most of the research on controllability of complex networks has focused on the dynamic systems of complex network points. This paper studies the controllability of dynamic systems on the edges of complex networks. The state variables in the system are defined on the edges， and the switching matrix in the nodes corresponds to Coupling relationship between in-edge state variables and out-edge state variables， exploring the controllability research under the network-side dynamic system

Key words：complex network; edge dynamic; controllability