“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”公式 推導(dǎo)的多樣化教學(xué)設(shè)計(jì)與對(duì)比分析

楊孝斌 李光偉 包艷

【摘 要】為解決用“錯(cuò)位相減法”推導(dǎo)等比數(shù)列的前n[WBZ]項(xiàng)和公式過程中存在的思維上的困難，文章通過對(duì)“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”的公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)進(jìn)行不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，在對(duì)三種教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)路徑和對(duì)學(xué)生難以理解之處進(jìn)行對(duì)比分析的基礎(chǔ)上，討論了每一種教學(xué)設(shè)計(jì)落實(shí)“三教”（教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)）理念的具體情況。

【關(guān)鍵詞】等比數(shù)列;多樣化教學(xué)設(shè)計(jì);教思考;教體驗(yàn);教表達(dá)

“同課異構(gòu)”是教學(xué)研究中經(jīng)常采用的模式。在“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)，常常有教師反映用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)公式存在著思維上的困難，很難向?qū)W生說清楚為什么要對(duì)式子S.n=a.1+a.1q+a.1q2+…+a.1qn-2+a.1qn-1兩邊同時(shí)乘q[WBZ]。本文將對(duì)此問題采取三種不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，分析各自存在的難點(diǎn)，并從“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)” （以下簡(jiǎn)稱“三教”）等方面對(duì)比分析三種教學(xué)設(shè)計(jì)各自的優(yōu)勢(shì)與不足，以期為一線教師提供參考。

一、“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”公式推導(dǎo)的多樣化教學(xué)設(shè)計(jì)

（三）三種教學(xué)設(shè)計(jì)的“三教”理念分析

貴州師范大學(xué)呂傳漢教授提出了用“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”的教育理念來引領(lǐng)課堂教學(xué)、培育學(xué)生核心素養(yǎng)的觀點(diǎn)。“三教”理念，是呂傳漢教授及其團(tuán)隊(duì)經(jīng)過長期的理性思考與實(shí)踐探索，在回顧、反思十余年的基礎(chǔ)教育課程改革經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出來的。該理念的提出，是對(duì)學(xué)科教育理念的高度概括。[2].

所謂“教思考”，首先，教師要重視對(duì)學(xué)生問題意識(shí)的培養(yǎng)，這在呂傳漢教授和汪秉彝教授提出的“中小學(xué)數(shù)學(xué)情境—提出問題”教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究中有詳細(xì)的論述;其次，教師在教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生厘清知識(shí)的邏輯脈絡(luò)，找出解決問題的思維線索，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中領(lǐng)悟比較、分析、抽象、概括、歸納、類比、演繹等數(shù)學(xué)思想方法;最后，教師應(yīng)在數(shù)學(xué)解題、數(shù)學(xué)探究、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題等的反思過程中提高學(xué)生的辯證思維能力和批判能力。

“教體驗(yàn)”是指教師以具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能的教學(xué)為載體，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中經(jīng)過不斷思考、領(lǐng)悟而獲得對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解與把握，并進(jìn)一步上升為對(duì)科學(xué)研究方法的理解，同時(shí)獲得對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)和科學(xué)研究的情感體驗(yàn)。

“教表達(dá)”既包括提高學(xué)生的口頭表達(dá)能力，也包括提高學(xué)生的書面表達(dá)能力。對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言（包括口頭語言、文字語言、圖形語言、符號(hào)語言以及邏輯語言）來討論數(shù)學(xué)、表述數(shù)學(xué)問題、表達(dá)數(shù)學(xué)結(jié)論的能力是非常重要的。

根據(jù)以上關(guān)于“三教”理念的簡(jiǎn)要闡述，結(jié)合三種不同的“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”公式推導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計(jì)，分別將它們?cè)凇叭獭狈矫娴穆鋵?shí)情況列表（見表1）。

承前所述，“三教”是對(duì)課堂教學(xué)本質(zhì)屬性的高度概括，是一個(gè)有機(jī)的整體，沒有很明顯的界限，表1中列出來的也只是大致的劃分。從表1可以看出，上述三種不同的“等比數(shù)列的前n[WBZ]項(xiàng)和”公式推導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計(jì)都從不同的角度啟發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，落實(shí)了“教思考”的理念。

三種不同的教學(xué)設(shè)計(jì)分別蘊(yùn)涵了數(shù)學(xué)建模思想、分類討論思想、從特殊到一般、觀察法、錯(cuò)位相減法、提公因式法、代入法、化歸思想、不完全歸納法等數(shù)學(xué)思想方法和科學(xué)研究方法的運(yùn)用，讓學(xué)生在“等比數(shù)列的前n[WBZ]項(xiàng)和”公式的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中，獲得對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、科學(xué)研究方法的理解與把握，以及對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)和科學(xué)研究的情感體驗(yàn)，落實(shí)了“教體驗(yàn)”的理念。同時(shí)，三種不同的教學(xué)設(shè)計(jì)都要求學(xué)生根據(jù)等比數(shù)列的定義，對(duì)S.n=a.1+a.2+a.3+…+a.n-1+a.n重新表述為S.n=a.1+a.1q+a.1q2+…+a.1qn-2+a.1qn-1，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式發(fā)現(xiàn)中的過程結(jié)論和最終結(jié)論進(jìn)行正確的表述，促使學(xué)生在數(shù)學(xué)的口頭語言、文字語言、符號(hào)語言之間進(jìn)行自由轉(zhuǎn)換（這節(jié)課不涉及圖形語言），落實(shí)了“教表達(dá)”的理念。

三、結(jié)束語

上述關(guān)于“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”公式推導(dǎo)的不同教學(xué)設(shè)計(jì)，各自采取了不同的教學(xué)路徑。它們從不同的角度啟發(fā)了學(xué)生的思考，蘊(yùn)涵了或相同或不同的數(shù)學(xué)思想方法和科學(xué)研究方法，均引導(dǎo)了學(xué)生對(duì)公式引導(dǎo)中的過程結(jié)論和最終結(jié)論進(jìn)行正確的表述，在不同角度和不同程度上都體現(xiàn)了“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”的教育理念。

正所謂“教學(xué)有法，但無定法”，只要教師善于思考、善于創(chuàng)新，對(duì)同一知識(shí)點(diǎn)均可以進(jìn)行多樣化的教學(xué)設(shè)計(jì)，采取不一樣的引入方式，設(shè)置不同的數(shù)學(xué)問題，以適應(yīng)不同學(xué)情的教學(xué)需要。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳飛融入歷史數(shù)學(xué)名題的教學(xué)嘗試[J]數(shù)學(xué)通訊，2016（20）：1-18.

[2]楊孝斌，呂傳漢論數(shù)學(xué)教育對(duì)中小學(xué)生核心素養(yǎng)的培育[J]興義民族師范學(xué)院學(xué)報(bào)，201（5）：74-79.

（責(zé)任編輯：羅小熒）

【作者簡(jiǎn)介】楊孝斌，博士，教授，主要從事數(shù)學(xué)教育、民族數(shù)學(xué)文化等研究;李光偉，二級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究;包艷，一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

【基金項(xiàng)目】貴州省“卓越教師教育培養(yǎng)計(jì)劃（凱里學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)）”項(xiàng)目;凱里學(xué)院創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育課程建設(shè)“數(shù)學(xué)教師資格證考前輔導(dǎo)系列課程”