Lévy穩定過程均值變點監測在CUSUM和GEWMA控制圖中的比較

胡松瀛，李泰

(亳州學院 電子與信息工程系，安徽 亳州 236800)

在隨機系統中有一類問題有很多重要的應用，就是如何快速監測變點．可以應用在工業質量控制上，也可以應用在自動系統的自動故障監測上面，等等.為了快速有效地解決這類問題，不同形式的控制圖就被提出來了，例如Shewhart[1]控制圖、累積和控制圖(簡記為CUSUM[2])以及累積和控制圖的改進形式——指數加權移動平均控制圖(簡記為GLR[3])等.在以往研究各種控制圖時，常常假定這個過程的方差有限或者假定隨機變量是服從正態分布的，但是在實際問題中，許多變量是服從穩定分布的，而且有無限方差，稱之為 Lévy穩定過程.例如在金融網絡中的資金交易量、股票市場的收益率、核反應堆的溫度分布以及年降雨量等.因此監測Lévy穩定過程的均值變點，就成為一個有現實意義的問題.在統計過程控制(SPC)中，廣泛地應用平均運行長度(ARL)評估和比較各種控制圖的監測效果.本文中，在監測Lévy穩定過程均值變點時，首先給出了CUSUM和GEWMA這兩種控制圖的平均運行長度ARL的區間估計，其次利用數字模擬的方法對監測效果進行比較.

0 預備知識

為了證明后面的定理，首先給出4個定理(引自[1]).

定理1假設Z1,Z2是相互獨立的隨機變量，Zj～Sθ(ξj，ηj，μj)，j=1,2，則

(1)

定理2假設Z～Sθ(ξ，η，μ)，p是實數，則

Z+p～Sθ(ξ，η，μ+p)

(2)

定理3假設Z～Sθ(ξ，η，μ)，p是實數且p≠0，則

(3)

定理4假設Z～Sθ(ξ，η，μ)，0<θ<2,則

(4)

其中

假設Z1,Z2，...，Zr是獨立穩定隨機變量序列，考慮檢驗問題:

H0：Zj～Sθ(ξ，η，μ0)，j=1,2,…,r；HA：Zj～Sθ(ξ,η,μ0)，j=1,2,…,ν；Zj～Sθ(ξ,η,μ)，j=ν,ν+1,…,r．

(5)

變點ν未知，μ0≠μ，θ∈(0,2]，η∈ [-1，1] ，ξ≥0.

假設檢驗(5)是對Lévy穩定過程的均值有沒有變點進行假設檢驗.如果沒有變點，那么就要接受原來的假設H0,如果有變點，就要接受備選假設HA.在情況HA下，從時刻ν開始，Lévy穩定過程的均值發生μ-μ0的變化.如果μ>μ0，稱其為向上的漂移，如果μ<μ0，稱其為向下的漂移.雙向監測與向下漂移的監測與向上漂移的監測在方法上都一樣，因此只討論向上漂移的監測.

一般，假定檢驗問題(5)中的μ0=0，θ=1，η=0，并且令ν=1.

1 平均運行長度ARL的估計

CUSUM控制圖的定義：

(6)

其中參數σ未知，b>0為控制上限.

GEWMA控制圖定義:

(7)

比較控制圖在Lévy穩定過程中均值μi變點的結果之前，首先給出一些符號的含義．在沒有均值變化時，用P(·)表示概率，E(·)表示期望，這時μi≡0．ARL0表示受控平均運行長度，ARLμ表示失控平均運行長度，

ARL0(T)=E(T) ARLμ(T)=Eμ(T)

其中T是監測程序在控制極限外的一個停時(過程失控預警的時間).給出控制極限b充分大時控制圖的平均運行長度ARL的估計.b取充分大是基于如下原因：首先可以得到理論估算的結果；其次由于需要考量實際情況，在監測均值變化情況時，假若出現了錯誤的預警，在實際生活中可能會造成特別大的損失，但是當受控平均運行長度充分大時，就有很大可能避免或降低失誤，當且僅當b充分大時，受控平均運行長度是充分大的．

下面對CUSUM控制圖和GEWMA控制圖監測Lévy穩定分布均值變點的ARLμ進行估計.不妨假設ν=1，這樣可以簡化證明過程．

定理5令Zj(j=1,2,…)是Lévy穩定過程第j個觀測值,Zj～Sθ(1,0,μj)，Zj(j=1,2,…)相互獨立，其中1<θ≤2,μj≥0,那么對于CUSUM控制圖

(8)

由于Zj(j=1,2,…)是獨立隨機變量，由定理4得：

式(8)的向上不等式得證.下面證明式(8)的向下不等式.

由Esary[4]定理5得：

所以可以得到對任意的1≤l≤M，在M處取得最小值，令μ0=sup[μj],對于充分大的b，

定理5得證.

定理6令Zj(j=1,2,…)是Lévy穩定過程第j個觀測值,Zj～Sθ(1,0,μj)，Zj(j=1,2,…)相互獨立，設μ0=inf[μj],μ0=sup[μj]，其中1<θ≤2，μj≥0，那么對于GEWMA控制圖

(9)

其中

證明：由于

所以當0≤θ<1時，有G′(θ)≤0，因此當l≤M時，有

那么

因而

定理6得證.

2 數值模擬

平均運行長度是檢驗控制圖的標準，在受控這種狀態下，ARL0相等的條件的時候，對于給定的均值漂移μ，比較失控狀態下的ARLμ,ARLμ越小說明這種控制圖效果越好.下面給出CUSUM和GEWMA控制圖監測向上漂移時ARLμ模擬結果.假設時間序列服從對稱穩定分布Sθj(1,0,μ)，其中θj∈(1,2].我們采用Chambers,Mallows and Stuck5提出的rstalbe程序生成的隨機變量序列Zj～Sθj(1,0,μ)，ν=1，模擬結果是由100000次重復實驗得出.

表1Zj～S1.5(1,0,μ)下ARLμ比較

CUSUMGEWMAμσ=0.5σ=1σ=1.500.1250.250.511.5234500167.968.925.910.36.584.843.222.44500208.998.030.49.175.163.622.362.03500245.9128.942.09.904.913.282.202.01499495.8493.9481.7330.1184.9112.952.129.2b3.635.164.61721.44

表2Zj～S1.8(1,0,μ)下ARLμ比較

CUSUMGEWMAμσ=0.5σ=1σ=1.500.1250.250.511.5234500260.9144.960.024.4915.2811.207.265.45500347.9219.980.1924.3913.499.335.8214.29500402.8297.8131.929.9914.099.045.333.82499477.8428.01233.0271.9832.4718.528.204.81b9.0612.8115.528.835

3 數據分析

根據模擬的結果，從表1可以看出，在Lévy穩定分布(θ=1.5)中，CUSUM的效果明顯比GEWMA的好；從表2可以看出，在Lévy穩定分布(θ=1.8)中，隨著μ的增大，GEWMA的效果逐漸接近CUSUM.