數學與應用數學專業“高等代數”課程教學之我見

汪定國 楊新強 蔣鶴立

[摘 要] 該文主要從注重高等代數與初等數學的結合、一題多解、加深教學內容的深度與難度以及改革學生學習評價四個方面，探討了數學與應用數學專業高等代數課程教學的有關問題。

[關鍵詞] 高等代數;教學;初等數學;一題多解;評價

[基金項目] 重慶市高等教育學會教改課題“數學與應用數學本科拔尖創新人才培養新模式的探索與實踐”（CQGJ17066B）

[作者簡介] 汪定國（1976—），男，四川廣元人，博士，重慶師范大學數學科學學院副教授，主要從事離散數學的教學與理論研究。

[中圖分類號] G642.0 ? ?[文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）17-0329-02 ? ?[收稿日期] 2020-03-06

“高等代數”是數學與應用數學本科專業的三大主干基礎課程之一，是該專業非常重要的一門學科基礎課程，對該專業本科階段的學習和數學素質的培養占有重要地位，在數學與應用數學專業本科拔尖創新人才培養方面具有奠基功能。而且在中學數學中平面幾何教學減弱的情況下，高等代數課程在培養數學的邏輯推理能力方面更是起著不可缺少的作用。但高等代數課程概念多、抽象推理多，學習有一定的難度，尤其是對于剛剛從中學進入到大學的大一學生，由于思維模式的局限，更是覺得困難重重。這些都給高等代數的教學提出了巨大的挑戰。關于高等代數教學的研究結果也有很多，下面談談本人從多年的“高等代數”課程的教學過程中所得到的幾點感受。

一、注重高等代數與初等數學的結合

高等代數理論包含多項式理論與線性代數理論，對于高等代數的內容安排，多數教材是將多項式理論放在第一章，并且授課對象一般是數學與應用數學專業大一的學生，他們剛剛從中學進入大學，其思維方式習慣于針對具體對象，而對于一般的、抽象的研究對象不容易理解。從而對于多項式理論的教學，可以首先復習初等數學中的有關理論。

另外，在教學的過程中也要注重中學數學與高等代數的結合，要讓學生知道，中學更多的是知道“怎樣做”，而很少去深入研究“為什么”。高等代數解決了初等數學中很多遺留問題，回答了初等數學中很多的“為什么”。例如多項式的根及因式分解理論、線性方程組的解法等，對中學數學解題有“居高臨下”的作用。比如中學數學中分解因式的“十字相乘法”，為什么不在有理數范圍內考慮，而只需要在整數范圍內考慮呢？多項式理論中的因式分解理論中的定理“一個整系數多項式f（x）在有理數域中可約的充要條件是f（x）在整數環中可約”對此做了理論支撐;又如中學解線性方程組時的消元法的理論依據是什么？即為什么可以保證在消元過程中對方程組的變換不會改變方程組的解呢？在高等代數的線性方程組的消元法理論中就有定理“方程組的三種初等變換都是同解變換”解釋了消元法過程不改變方程組的解的疑問。

如果在教學過程中，有意識注重了高等代數理論與初等數學理論的結合，不僅讓學生能夠快速地轉換自己的思維方式，而且明白了很多中學時代可能想要去探索的問題，這樣能夠大大提高學生的學習興趣，學好高等代數那就順理成章了。

二、注重培養學生“一題多解”的習慣與能力

所謂一題多解，主要體現在沒有唯一的、固定的模式，而是以其多樣化的答案為明顯的特征。可以通過縱橫發散、知識串聯、綜合溝通，達到舉一反三、融會貫通的目的，是培養學生發散思維的好方法。

牛頓曾經說過：“在學習科學時，題目比規則還有用些。”在高等代數課程的教學中，對于定理、例題以及課后作業應該注重一題多解，可以從多種解法的比較中得到啟發，加深對有關概念、定理的理解，并能開闊思路、活躍思維、舉一反三、觸類旁通，進而融會貫通和綜合運用有關的理論知識，提高分析問題和解決問題的能力。

在該例題中，通過這樣兩種證明方法可以看出，要證明一個矩陣為0，既可以證明這個矩陣的每個元素為0，也可以證明這個矩陣的秩為0。同時將這個問題跟齊次線性方程組的基礎解系建立了聯系，達到了融會貫通的目的。

三、適當加深教學內容的深度與難度

高等代數課程不僅是數學與應用數學專業的學科基礎課程，而且也是數學專業碩士研究生入學考試的必考科目。雖然很多學校專門開設了一學期的高等代數選講，但是課時并不多，選講內容卻很多，于是對于之前一年的教學內容很難再次進行加深與加難。這就有必要在第一年學習階段教學中適當地加深教學內容的深度與難度。

在平常的教學中，對于每個教學內容，要闡述清楚該內容的學習目的、應用以及與前后知識的聯系，清晰展示每個教學內容之間的邏輯關系，要讓學生知道，為什么要學習這個內容。同時，對于課程中的所有定理要進行詳細的證明，并且在證明中需要清晰的展現出證明思路以及解釋用這樣的思路的原因，以此培養學生的邏輯推理的能力。

四、改革對學生學習的評價方式

由于高等代數課程一般都是針對數學與應用數學專業的大一學生開設，他們剛剛經過艱苦的高中學習，剛進入大學后，思想上開始放松，加之中學教育與家庭教育的影響，總認為中學辛苦了，進入大學先要好好放松一下，殊不知對于數學與應用數學專業而言，必須要付出比中學更多的辛苦與努力才能學好專業課。這就使得在大學的專業課程教學的同時，還需要轉變學生的思想觀念，讓學生能夠更加重視專業課的學習，時刻保持學習的動力。這些都需要改革對學生學習的評價方式，不能再用傳統的期末一考定成績的方式，而應該加重平時考核的力度。建議可以采用如下評價機制：平時成績與期末考核成績各占50%。平時成績主要包含：平時作業占總成績的10%、課堂出勤和課堂表現占總成績的10%、平時測驗（一般進行三次）占總成績的30%。這樣的模式強調了平時的考核，也使得學生在上課、作業、及時復習鞏固等幾個環節中都必須認真對待且要切實的完成。

高等代數是數學與應用數學專業的一門很重要的基礎課，該課程有一定的抽象性，對于剛剛從中學進入大學的學生來說，確實有一定的難度，而且對將來學生的進一步發展有重要的影響。這也就對高等代數課程教學提出了更高的要求。本人提出了幾點淺見，希望與高等代數課程的教學人員共勉。

參考文獻

[1]周亞蘭.“高等代數”教學中培養學生抽象思維能力的幾點思考[J].中國科技縱橫，2011，（014）：119.

[2]劉花，劉國新，鐘艷.高等代數“一題多解”與“一解多關”相關思考[J].西安文理學院學報：自然科學版（4），2011，（14）：14-16.

[3]唐劍.淺談高師高等程對中學數學教學的指導作用[J].中國西部科技，2011，10（34），72-73.

[4]方建波.數學與應用數學專業研究性學習的教學模式研究——以高等代數課程為例[J].林區教學，2015，（012）：90-91.

[5]魏獻祝.高等代數一題多解200例，福建人民出版社，1982，8.

Abstratc：This paper lays stress on the four aspcts-the combination of higher algebra and elementary algebra，multi-solution to a problem，increasing the depth and difficulty in teaching material，reforming the evaluation of students' learning- to probe into some related problems in higher algebra course，mathematics and applied mathematics major.

Key words：Higher algebra;Teaching;Elementarymathematics;Multiple solutions to one problem;Evaluate