基于直觀想象核心素養的數學課堂教學方式探究
——以“指數函數的圖像及性質”教學為例

張利賢

一、問題提出的背景

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學。數學源于對現實世界的抽象，基于抽象的結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界的本質、關系和規律。數學本身的形成與發展決定數學是一門高度抽象的學科。很多高一學生在高度抽象的數學概念、高度簡潔的數學符號、定理、高度抽象復雜的數學問題面前，顯得很無助，甚至無所適從，他們不理解它們表示的是什么，這使得學生很難與數學進一步的溝通交流，甚至對數學學習有很大的挫敗感。對這一現狀，一線數學教師深有體會。在高一數學教學中，經常會遇到簡單的(含參)函數問題，學生很難想象其圖像的可能性，或不會借助圖像來理解和分析問題，這從側面也反映了高一學生學習數學的核心能力亟待提高。

數學本身是高度抽象的、符號化的，如果教師在教學時，把抽象的數學概念、符號等通過實物模型，幾何圖形或利用信息技術演示模擬的事物圖片等直觀地、生動地表達出來，讓學生能“夠得著”“觸摸得到”親身經歷并直觀感知，當學生能夠直觀感知數學問題、數學符號等并能把握其整體結構，那么學生就能理解數學問題，因此學習數學的積極性就會提高。為了幫助學生能利用直觀的數學材料來理解數學問題，教師需要加強培養學生幾何直觀和空間想象的能力，即學生的數學直觀想象核心素養。

二、直觀想象核心素養

《普通高中數學課程標準(2017 版)》中界定直觀想象為：指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化和運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探究解決問題的思路。主要表現是：建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助直觀理解問題，運用空間想象認識事物。可以說幾何直觀為空間想象提供了認識基礎，空間想象為幾何直觀和由之向整體把握的發展提供了方法，是一嵌套循環的互動關系。

高中數學核心素養是學生在接受高中數學教育過程中，逐步形成適合個人終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。而高中數學的六大核心素養，落實到每一節課的教學，都會涉及全部和部分。發展學生數學核心素養不是一節兩節課或一學期就能完成的，并且每節課的教學，不同的核心素養的培養有所倚重，它需要教師乃至教研組對課程整體統籌規劃，對數學知識結構重新重組和優化，明確各單元教學中發展學生數學核心能力的側重點，在教學設計時，有意識地設計教學活動培養學生的核心素養。

三、探究基于直觀想象核心素養培養的課堂教學策略

課堂環節一：畫圖(從數到形)：在探究指數函數的性質時，由于指數函數的解析式y＝ax(a＞0 且a≠1)過于抽象和籠統，學生難以用解析式來認識指數函數的性質及圖像。因此，教師引導學生嘗試從特殊底數的指數函數如：y＝2x與研究其圖像，從圖像直觀感知其圖形的形態變化。學生在面對特殊底數的指數函數解析式y＝2x與時，也無法清楚其圖像和性質。教師引導學生從探究其圖像出發，學生根據已有的作圖經驗和方法(列表、描點、畫圖)畫出圖像。學生經歷作圖的過程，從離散的坐標點(數)到幾何圖形(形)，直接接觸和感性認知y＝2x與的圖像。

圖1

課堂環節二：看圖(感性認知)：教師通過問題引導學生觀察圖像。問題1：請同學們觀察圖1，你發現了什么?函數y＝2x的圖像和的圖像有什么關系?可否利用y＝2x的圖像畫出的圖像?引導學生從整個坐標系中兩個函數圖像的位置關系，到單一函數圖像的形態變化(從左向右看圖像的變化趨勢)進行觀察。學生觀察，總結結果：圖像的位置關系：這兩個指數函數(底數互為倒數)圖像關于y軸對稱，他們相交于點(0，1)；圖像形態變化為：從左向右看：y＝2x的圖像是上升的的圖像是下降的。讓學生從畫圖到直觀看圖，是為了讓學生對兩個函數圖像有一個直觀感性的認知。

課堂環節三：識圖(理性認知)：問題2：請同學們仔細觀察列表和圖像，請解釋為什么y＝2x與y＝的圖像關于y軸對稱?同學們根據列表的坐標和解析式發現，這兩個底數互為倒數時，解析式可以表達成y＝2x與，即任意給自變量互為倒數時，其對應的函數值相同，在坐標系中表現為這兩個坐標點關于y對稱，學生通過直觀圖像的感性認知，再通過對解析式分析，發現底數互為倒數的兩個指數函數圖像關于y軸對稱的本質屬性即它們坐標關于y軸對稱，培養了學生通過直觀感性認識問題到理性認識問題的意識。

通過從感性到理性認識的不斷深入，教師設計問題3：如果我們改變底數a，那么指數函數圖像又有什么特點與變化規律?讓我們在同一個坐標系再畫y＝3x與的圖像。通過信息技術：希沃白板畫出其函數的圖像。教師引導學生從圖像的位置關系和形態變化及運動規律識圖：圖像的共同特征(整體感知)，不同特征(從形到數，從數到形)(圖像從左向右看，圖像隨著自變量x變化，圖像如何變化)，同側圖像相對位置變化趨勢。通過引導學生識圖，從直觀感知圖中4 個函數圖像整體變化規律到理性認知他們內在關系。總結出規律：共同特征(整體感知)：圖像都經過(0，1)點，從解析式看出，當x＝0，恒有y＝a0＝1(a＞0 且a≠0)，找到其本質特征；圖像都在y軸正半軸，從解析式看，對任意x∈R，y＝ax(a＞0 且a≠0)恒正，學生通過觀察圖形(形)的特征，結合解析式(數)的分析，理解指數函數的值域都是大于零，這里培養學生數形結合的意識。不同特征：當a＝2 和3(a＞1)時，從左向右看，圖像變化趨勢相同，都是增的趨勢；當(0＜a＜1)時，從左向右看，圖像變化趨勢相同，都是減的趨勢。同側圖像的相對位置變化趨勢：當a＝2 和3(a＞1)時，底數a越大時，圖像約靠近y軸(0＜a＜1)時，底數a越小時，圖像約靠近y軸。通過直觀感知圖形的變化，再到解析式分析理性認識特殊指數函數的性質，學生經歷了感性認識到理性認識的過程。

通過圖2 的分析和總結規律，問題4：讓同學猜測y＝10x的圖像可能是怎樣的?在同一坐標系中，如圖2 是黃色的曲線還是黑色的曲線?學生對前面4 個函數的圖形的位置關系，形態變化進一步地從感性認識上升到尋找出其規律的理性認知，通過問題4，又讓理性認識(規律)到猜測y＝10x圖形的感性認識(圖形)，即感性到理性再到感性，經過一系列的循環，每一次認識達到高一級別的認識，從而整體把握了四個指數函數的圖像及性質。學生根據已有的認知經驗，在腦中創造出所需要的形象即是y＝10x的圖形表象，猜測出y＝10x的圖形，同時也想象出y＝的圖形表象，通過希沃白板畫出具體圖形驗證學生通過已有經驗，大腦想象出圖像表象的正確性，這也極大地鼓舞了學生學習的興趣。這個過程是教師引導學生從借助幾何直觀和空間形象來認識指數函數圖像的空間的位置關系、形態變化和運動規律的看圖識圖，通過感性到理性再到感性認識過程，發展學生的直觀想象能力。

圖2

課堂環節四：學生經歷了特殊底數的指數函數圖像及性質的探究，通過希沃白板探究了6 個指數函數的圖像，學生通過感性認識到理性認識再到感性認識等整體把握6 個函數的幾何圖形的變化規律，學生通過已有知識經驗和感性材料，通過大腦想象出一般的指數函數y＝ax和(a＞0 且a≠1)，底數a變化，其圖像的直觀模型的可能性，教師借助希沃白板演示指數函數圖像隨著底數a變化的圖像，一方面驗證學生頭腦想象的圖形表象，另一方面，再讓同學們進一步直觀感知一般指數函數的圖形形態變化和運動規律，為學生提供更多的感性的材料。學生利用圖像的觀察和圖形描述，通過借助研究函數的科學方法分析指數函數的解析式y＝ax和(a＞0 且a≠1)，抽象并構建出指數函數當0＜a＜1 和a＞1 兩類直觀圖形模型，學生通過動態的幾何圖形變化，通過感性到理性再到感性再到理性等一系列循環認知過程，整體認識指數函數的性質。

課堂環節五：用圖(構建數學問題直觀模型，探索解決問題的思路)：課堂問題探究：求函數f(x)＝3｜x｜＋1 的值域。學生原有的認知是腦海中有指數函數的圖像和性質，但是沒有f(x)＝3｜x｜＋1 的圖像，學生對此問題沒有什么思路。教師有意識地引導學生先分析解析式，然后看看能不能畫其圖像，通過圖像尋找解決問題的思路(數形結合)。學生通過對f(x)＝3｜x｜＋1 分析得f(x)＝，對分段函數畫圖，構建了問題的直觀模型，通過直觀模型，學生很清楚f(x)＝3｜x｜＋1 性質，解決此問題的思路躍然紙上。例如：試比較大小這樣的問題，鼓勵學生在腦中構建y＝2x和y＝0.6x的具體直觀模型，通過探索函數的單調性，尋找解決問題的思路。如何構建數學問題的直觀模型，要求，教師在數學教學時，要多培養學生的數形結合的能力；課堂探究數學問題時，多培養學生應用幾何直觀和空間想象思考問題的意識；在課堂例題和練習時，多培養學生作圖(精圖，簡圖)的習慣，構建數學問題直觀的數學模型，讓學生在具體的情境中感悟數學的本質。本節課的學習，學生基本能根據指數函數的解析式熟練地畫出簡圖，能根據圖像寫出指數函數的解析式，會對照指數函數的圖像直觀地得到性質，達到課標的要求。

總之，培養學生的直觀想象素養需要教師在教學中，為學生提供大量的直觀感性材料，并且讓學生認真仔細地觀察和較為深入長久的分析與思考、經過學生頭腦對這些感性材料表象的抽象和概括、記憶和聯想、對比和加工、學習畫正確、標準的直觀想象平面圖、用文字和語言準確描述直觀想象圖或動態過程(如指數函數的圖像與性質的探究，學生對特殊和一般函數的圖像進行抽象概括，記憶和聯想等一系列感性理性循環認知，最終達到認識指數函數的圖形和性質的目的)，逐漸積累豐富的直觀想象方面的數學經驗，促進直觀想象素養的形成。