分類討論思想在高中數學知識體系中的應用

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同學們最初接觸分類討論是在初一，當時老師提到當絕對值里面有字母的時候，由于絕對值里面的表達式的正負情況不明，需要對絕對值里面的字母或代數式的正負情況進行分類討論。進入高中的學習，分類討論思想在高中數學中依然有著廣泛的應用，下面我從7個知識體系為同學們梳理一下。

應用1：集合

當集合中的元素含有參數時，集合之間的運算往往需要討論，最后依據集合互異性進行檢驗。當集合之間存在子集關系時需要對子集是否為空集進行討論防止漏解。

例1、已知A={2,4,a3-2a2-a+7},B={-4,a+3,a2-2a+2,a3+a2+3a+7}，若A∩B={2,5}，求實數a的值，并求A∪B.此題是集合在一定條件約束下求參數的問題，體現了分類討論的數學思想。

應用2：函數與導數

函數中的分類討論更為常見，函數的類型不知道的情況下需要討論；二次函數動軸定區間問題需要將對稱軸與區間的位置關系進行討論；導數中的零點問題、極值最值問題包括單調性也需要分類討論，在函數這塊主要考查了如何分類討論，對于基礎知識的邏輯關系是否熟悉，這往往是一個難點。

應用3：數列

等差數列中當項數情況不明時需要對項數的奇偶性進行討論，數列中如果參數較多，通項公式較為復雜，這個時候往往需要根據隱含的條件逐步縮小未知參數的取值范圍，在數列的壓軸題中出現的比較多，比如等比數列的公比情況不明時，需要對公比的取值范圍進行分類討論。如等差數列{an}，前n項和為Sn。當n為奇數時，當n為偶數時，又如等比數列的通項公式當q＞ 0且q≠1時，是關于n的指數型函數；當q=1時，是常數函數；當q＞1時，若a1＞0，等比數列{an}是遞增數列；若a1＜0，等比數列{an}是遞減數列；當0＜q＜1時，若a1＞0，等比數列{an}是遞減數列；若a1＜0，等比數列{an}是遞增數列；當q＜0時，等比數列{an}是擺動數列；當q=1時，等比數列{an}是非零常數列。

例3、設等比數列{an}滿足其中pn為第一象限角，n為正整數，則數列的前2020項之和是___________.

應用4：不等式

解不等式中的分類討論，當一元二次不等式中二次項系數含有參數我們要對參數進行分類討論，從而確定不等式的類型

例4、若關于x的不等式(m-1)x2-(2m+1)x+m- 2 ≥ 0的解集為一切實數R，求m的取值范圍.

當m=1時，原不等式為：-3x-1≥0，不符合題意.

當m＜1時，原不等式為一元二次不等式，顯然不符合題意

當m＞1時，只需Δ≤0，

綜上，m的取值范圍為m∈?.

應用5：解三角形

在利用正弦定理理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時可能出現一解、兩解或無解情況，應結合圖形并根據“三角形中大邊對大角”來判斷解的情況，作出正確取舍。在ΔABC中，已知a,b和角A時，解的情況如下：

（1）當A為銳角時：

如圖：

應用6：三角函數

我們提到三角函數，都應該聯想起一系列的公式，誘導公式，兩角和差的正余弦正切公式，倍角公式，輔助角公式等等。在三角函數的化簡求值中遇到角度含參就不能直接運用誘導公式化簡，必須要先行對參數的取值進行討論，然后再利用誘導公式化簡。在三角函數壓軸題中，有關于三角函數的分類討論非常的多，比如w的范圍不確定的時候，單調區間也就無法確定，就需要進行分類討論。

關鍵抓住n題中的整數n是表示π的整數倍與公式中的整數k有區別，所以必須把分成奇數和偶數兩種類型，分別加以討論．

應用7：解析幾何

無論是直線與圓還是圓錐曲線，當直線過定點但是斜率不知道的情況下，往往都需要對斜率是否存在進行分類討論，如果圓錐曲線方程中含有字母時，我們往往也要對字母的取值進行討論。

同學們，通過上面簡單的梳理分類討論思想在高中數學7大知識體系中的應用，希望對于培養同學們的數學思維起到一定的作用。今后解題不滿足于僅僅掌握方法，更要加強對于數學思想的學習和理解，站在更高的高度去學習數學，這對整個學習生涯都是有很大幫助的。通過這篇文章能夠對同學們在學習數學的興趣和方法上有所啟示，這將是我最大的欣慰。