分類討論思想在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的應(yīng)用

（江蘇省揚(yáng)州市邦你學(xué)教育萬(wàn)里路培訓(xùn)中心，江蘇 揚(yáng)州 225000）

同學(xué)們最初接觸分類討論是在初一，當(dāng)時(shí)老師提到當(dāng)絕對(duì)值里面有字母的時(shí)候，由于絕對(duì)值里面的表達(dá)式的正負(fù)情況不明，需要對(duì)絕對(duì)值里面的字母或代數(shù)式的正負(fù)情況進(jìn)行分類討論。進(jìn)入高中的學(xué)習(xí)，分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中依然有著廣泛的應(yīng)用，下面我從7個(gè)知識(shí)體系為同學(xué)們梳理一下。

應(yīng)用1：集合

當(dāng)集合中的元素含有參數(shù)時(shí)，集合之間的運(yùn)算往往需要討論，最后依據(jù)集合互異性進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)集合之間存在子集關(guān)系時(shí)需要對(duì)子集是否為空集進(jìn)行討論防止漏解。

例1、已知A={2,4,a3-2a2-a+7},B={-4,a+3,a2-2a+2,a3+a2+3a+7}，若A∩B={2,5}，求實(shí)數(shù)a的值，并求A∪B.此題是集合在一定條件約束下求參數(shù)的問(wèn)題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想。

應(yīng)用2：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

函數(shù)中的分類討論更為常見(jiàn)，函數(shù)的類型不知道的情況下需要討論；二次函數(shù)動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題需要將對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論；導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題、極值最值問(wèn)題包括單調(diào)性也需要分類討論，在函數(shù)這塊主要考查了如何分類討論，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的邏輯關(guān)系是否熟悉，這往往是一個(gè)難點(diǎn)。

應(yīng)用3：數(shù)列

等差數(shù)列中當(dāng)項(xiàng)數(shù)情況不明時(shí)需要對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶性進(jìn)行討論，數(shù)列中如果參數(shù)較多，通項(xiàng)公式較為復(fù)雜，這個(gè)時(shí)候往往需要根據(jù)隱含的條件逐步縮小未知參數(shù)的取值范圍，在數(shù)列的壓軸題中出現(xiàn)的比較多，比如等比數(shù)列的公比情況不明時(shí)，需要對(duì)公比的取值范圍進(jìn)行分類討論。如等差數(shù)列{an}，前n項(xiàng)和為Sn。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，又如等比數(shù)列的通項(xiàng)公式當(dāng)q＞ 0且q≠1時(shí)，是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)；當(dāng)q=1時(shí)，是常數(shù)函數(shù)；當(dāng)q＞1時(shí)，若a1＞0，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；若a1＜0，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)0＜q＜1時(shí)，若a1＞0，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；若a1＜0，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q＜0時(shí)，等比數(shù)列{an}是擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列{an}是非零常數(shù)列。

例3、設(shè)等比數(shù)列{an}滿足其中pn為第一象限角，n為正整數(shù)，則數(shù)列的前2020項(xiàng)之和是___________.

應(yīng)用4：不等式

解不等式中的分類討論，當(dāng)一元二次不等式中二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)我們要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，從而確定不等式的類型

例4、若關(guān)于x的不等式(m-1)x2-(2m+1)x+m- 2 ≥ 0的解集為一切實(shí)數(shù)R，求m的取值范圍.

當(dāng)m=1時(shí)，原不等式為：-3x-1≥0，不符合題意.

當(dāng)m＜1時(shí)，原不等式為一元二次不等式，顯然不符合題意

當(dāng)m＞1時(shí)，只需Δ≤0，

綜上，m的取值范圍為m∈?.

應(yīng)用5：解三角形

在利用正弦定理理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解情況，應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對(duì)大角”來(lái)判斷解的情況，作出正確取舍。在ΔABC中，已知a,b和角A時(shí)，解的情況如下：

（1）當(dāng)A為銳角時(shí)：

如圖：

應(yīng)用6：三角函數(shù)

我們提到三角函數(shù)，都應(yīng)該聯(lián)想起一系列的公式，誘導(dǎo)公式，兩角和差的正余弦正切公式，倍角公式，輔助角公式等等。在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值中遇到角度含參就不能直接運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，必須要先行對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論，然后再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)。在三角函數(shù)壓軸題中，有關(guān)于三角函數(shù)的分類討論非常的多，比如w的范圍不確定的時(shí)候，單調(diào)區(qū)間也就無(wú)法確定，就需要進(jìn)行分類討論。

關(guān)鍵抓住n題中的整數(shù)n是表示π的整數(shù)倍與公式中的整數(shù)k有區(qū)別，所以必須把分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種類型，分別加以討論．

應(yīng)用7：解析幾何

無(wú)論是直線與圓還是圓錐曲線，當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)但是斜率不知道的情況下，往往都需要對(duì)斜率是否存在進(jìn)行分類討論，如果圓錐曲線方程中含有字母時(shí)，我們往往也要對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。

同學(xué)們，通過(guò)上面簡(jiǎn)單的梳理分類討論思想在高中數(shù)學(xué)7大知識(shí)體系中的應(yīng)用，希望對(duì)于培養(yǎng)同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維起到一定的作用。今后解題不滿足于僅僅掌握方法，更要加強(qiáng)對(duì)于數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)和理解，站在更高的高度去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這對(duì)整個(gè)學(xué)習(xí)生涯都是有很大幫助的。通過(guò)這篇文章能夠?qū)ν瑢W(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和方法上有所啟示，這將是我最大的欣慰。