區間復模糊軟集的距離測度及其應用

范建平，成 瑞，吳美琴

山西大學 經濟與管理學院，太原030006

1 引言

為了適應系統的日益復雜性，更精確地描述并表示信息，Zadeh[1]于1965 年提出了模糊集理論，而后得到廣泛關注。越來越多的學者對模糊理論進行了擴展，例如直覺模糊[2]、區間模糊集[3]、Vague 集[4]、區間直覺模糊集[5]、猶豫模糊集[6]、雙猶豫模糊集[7]、Pythagorean 模糊集[8]、中智集[9]等。其中區間模糊集理論由Turksen[3]于1986 年提出，是對模糊集理論最為重要的拓展，其用隸屬度上界和隸屬度下界兩個屬性來描述模糊信息，比原有的模糊集理論更具有靈活性。

在某些情況下，上述模糊理論無法對研究對象進行分類，有學者開始考慮軟集[10]理論。Maji等人[11]將軟集理論與模糊集理論相結合，提出了模糊軟集概念。隨后有直覺模糊軟集[12]、區間模糊軟集[13]、區間直覺模糊軟集[14]、Vague 軟集[15]、猶豫模糊軟集[16]、雙猶豫模糊軟集[17]、Pythagorean 模糊軟集[18]、中智軟集[19]等概念的提出。

上述模糊軟集理論被廣泛應用，但是它們只能處理數據的不確定性，但是無法處理某段時間內數據的波動性，生活中，可以經常看到隨著時間的推移周期性變化的數據。為了解決適應這種情況，Ramot 等人[20]提出了復模糊集的概念，添加了描述信息周期性變動的相位項，復模糊集的隸屬度取值不限于[0，1]，而是擴展到復平面中的單位圓，從而將隸屬度由實數擴展到復數。Alkouri 和Salleh[21]將復模糊集概念擴展到復直覺模糊集。Greenfield 等人[22-23]提出了區間復模糊集概念并隨后給出了區間復模糊集的相關運算。Selvachandran 等人[24]將區間復模糊集應用于馬來西亞經濟中。

隨后，上述理論逐漸發展，Selvachandran 等人[25]將復模糊集、軟集、Vague 集結合提出了復Vague 軟集及其距離測度。隨后，Selvachandran 等人[26]給出復Vague 軟集的關系。Selvachandran 等人[27]提出了區間復模糊軟集的概念。

在距離測度方面，Wang和Xin[28]提出了直覺模糊集的相似測度和距離測度。Zhang[29]提出了直覺模糊集和區間直覺模糊集的新距離測度方法。Yang和Hussain[30]基于Hausdorff 測度開發了猶豫模糊集的距離和相似性測度，并將這些測度應用于多準則決策和聚類分析。Singh[31]提出了雙猶豫模糊情況下基于距離和相似性測度的多屬性決策。Zeng 等人[32]提出了Pythagorean 模糊集和Pythagorean 模糊數的不同距離測度。Muharrem[33]為區間直覺模糊集開發了一種新的距離測度方法，并將其應用于具有不完全權重信息的群決策問題。Khalid和Abbas[34]提出了直覺模糊軟集和區間直覺模糊軟集的距離測度和運算。Peng 和Yang[35]提出了區間模糊軟集的信息測度。Wang 和Qu[36]提出了模糊軟集的熵，相似性測度和距離測度。

由Yoon 和Hwang[37]定義的TOPSIS 算法是一種被廣泛使用的算法。TOPSIS 法通過最大化正理想解距離和最小化負理想解距離的決策規則來選擇最佳目標。Chen[38]將TOPSIS 應用于模糊環境。Ashtiani 等人[39]提出了基于區間模糊集的TOPSIS算法。Kumar和Garg[40]在區間直覺模糊環境下提出了基于集對分析的TOPSIS算法。Peng 和Yang[41]提出了一種基于最大化偏差法和區間猶豫模糊軟集的TOPSIS 的算法。Sun 等人[42]提出了基于猶豫模糊相關系數的TOPSIS算法并給出了相關應用。Tan 和Zhi[43]提出了直覺猶豫模糊集環境下的TOPSIS算法。

在現有文獻中，沒有關于區間復模糊軟集距離測度的研究，并且沒有基于區間復模糊軟集的距離測度的TOPSIS 算法。因此，本文研究了區間復模糊軟集的距離測度，以及區間復模糊軟集的加法、乘法、部分隸屬度和部分非隸屬度的運算。本文還研究了區間復模糊軟集的距離測度的運算性質，并給出了證明。此外，提出了基于區間復模糊軟集距離測度的TOPSIS 算法。最后，將這種算法應用于經濟分析中。

2 相關概念

定義1[3]給定論域U，A是U 上的區間值模糊集，定義為：

定義2[13]F( )

U 為給定論域U 上的冪集，E 為參數集且A ?E，F 是F:A →F(U )的映射，( F,A) 是U 上的區間模糊軟集，定義為：

定義3[22]給定論域U，A是U 上的區間復模糊集，定義為：

定義4[27]給定論域U，E為參數集且A ?E，F(U )為給定論域U 上的冪集，F 是F:A →F(U )的映射，( F,A)為U 上的區間復模糊軟集，定義為：

定義5[27]對于任意兩個區間復模糊軟集( F,A )和( G,B)，基本運算定義如下：

（1）對于任意x ∈U 滿足下列 條件，則(F,A )?( G,B)：

定義6[27]區間復模糊軟集( )

F,A 的補集定義為：( F,A)C=( FC,A)=

定義7[27]區間復模糊軟集( F,A )和( G,B )的交運算（并運算）得到的集合為區間復模糊軟集( H,C)，定義為：

其中，對于任意a ∈A,b ∈B,x ∈U 且C=A ?B。

定理1[27]區間復模糊軟集( F,A),( G,B),( H,C )的運算定義為：

（1）( F,A )∨( G,B)=( G,B )∨( F,A)

（2）( F,A )∧( G,B)=( G,B )∧( F,A)

（3）( ( F, A) ∨( G,B ))∨( H,C )=( F,A) ∨(( G,B )∨ ( H ,C))

（4）( ( F, A) ∧( G,B ))∧( H,C )=( F,A) ∧( ( G, B )∧( H,C))

定理2[27]對于任意兩個區間復模糊軟集( F,A),( G,B )滿足De Morgan定律：

（1）( ( F, A) ∨( G,B))C=( F,A)C∧( G,B)C

（2）( ( F, A) ∧( G,B))C=( F,A)C∨( G,B)C

3 區間復模糊軟集的運算性質和距離測度

3.1 區間復模糊軟集的運算性質

定義8 區間復模糊軟集( F,A )和( G,B )之間的加法，乘法，部分隸屬度，部分非隸屬度的運算定義如下：

定 理3 給定區間復模糊軟集( F,A)，2( F,A)=( F,A )⊕( F,A),3( F,A)=( F,A) ⊕( F,A )⊕( F,A) …可得：

定理4 給定區間復模糊 軟集( F,A) ，( F,A)2=( F,A )?( F,A),( F,A)3=( F,A) ?( F,A) ?( F,A )…可得：

3.2 區間復模糊軟集的距離測度

定義9 對于任意兩個區間復模糊軟集( F,E),( G,E)之間的距離測度應當滿足下列性質：

（1）0 ≤ |d( ( F, E),( G,E ))|≤1。

（2）d( ( F, E),( G,E ))=0 ?( F,E )=( G,E)。

（3）d( ( F, E),( G,E ))=1 ?對 于?ei∈E,xj∈U，滿足下列條件：

情形1

情形2

情形3

且

情形4

（4）d( ( F, E),( G,E ))=d( ( G, E),( F,E))

（5）( H, E )∈IV-CFSS(U ),若( F,E )?( G,E )?( H, E), 則d( ( F, E),( H, E ))≥max(d( ( F, E),( G,E )),d( ( G, E),( H, E)))

定理5 定義10 中的距離測度是區間復模糊軟集之間的有效距離測度。

證明若定義10 中的區間復模糊軟集Hausdorff 距離測度是有效距離測度，它需要滿足定義9 中的性質（1）～（5）。 考 慮 兩 個 區 間 復 模 糊 軟 集( F,E )={F( ei)|i=1 ,2 ,… ,m },( G,E )={G (ei)|i=1,2,… ,m}則：

（1）因為

可得：

所以0 ≤ |d1( ( F, E),( G,E ))|≤1。

情形1

情形2

情形3

情形4

（5）若( F,E )?( G,E )?( H,E),則

因此

所以，d1( ( F, E),( H,E ))≥d1( ( F, E),( G,E))

同理可得，d1( ( F, E),( H,E ))≥d1( ( G, E),( H,E))

所以，d1( ( F, E),( H, E ))≥max(d1( ( F, E),( G,E )),d1( ( G, E),( H,E)))

證畢。

區間復模糊軟集Euclidean 距離測度和區間復模糊軟集Hamming距離測度的證明同上。

定義11 對以上三種距離測度進行拓展可以得到廣義區間復模糊軟集Hausdorff 距離測度、廣義區間復模糊軟集Euclidean距離測度：

同區間復模糊軟集Hausdorff 距離測度的證明相同，以上區間復模糊軟集距離測度為有效距離測度。

當λ=1時，廣義區間復模糊軟集Hausdorff 距離測度退化為區間復模糊軟集Hausdorff 距離測度，廣義區間復模糊軟集Euclidean 距離測度退化為區間復模糊軟集Hamming 距離測度；當λ=2時廣義區間復模糊軟集Euclidean 距離測度退化為區間復模糊軟集Euclidean 距離測度。

定 義12 假 設ei∈E 的 權重 為wi，wi∈[0,1 ],i=1,2, … ,m，則可以得到廣義區間復模糊軟集加權Hausdorff 距離測度、廣義區間復模糊軟集加權Eu‐clidean距離測度：

定義13 當定義12 中廣義區間復模糊軟集加權Hausdorff 距離測度和廣義區間復模糊軟集加權Euclid‐ean距離測度中λ=1時，得到區間復模糊軟集加權Haus‐dorff 距離測度和區間復模糊軟集加權Hamming 距離測度：

證明省略。

定義14 當定義12 中廣義區間復模糊軟集加權Euclidean 距離測度中λ=2時，廣義區間復模糊軟集加權Euclidean 距離測度退化為區間復模糊軟集加權Euclidean距離測度：

證明省略。

3.3 距離測度的運算性質

本文提出了多種區間復模糊的距離測度公式，下面定理只給出區間復模糊軟集Hausdorff 距離測度的證明，其他測度證明類似。

定理6(U ,E )上的區間復模糊軟集：

（1）若( F,E )=?,則d( ( F, E),( F,E)C)=1

（2）若( F,E )=1,則d( ( F, E),( F,E)C)=1

（3）若( F,E )=( F,E)C,則d( ( F, E),( F,E)C)=0

證 明（1）若 ( )F,E =?，則 對于任 意，那么：

所以對于區間復模糊軟集Hausdorff距離測度：

（2）性質（2）的證明同性質（1）的相同。

（3）性質（3）顯然成立，證明省略。

定理7 區間復模糊軟集之間的距離測度滿足下列性質：

（1）d( ( F, E),( G,E)C)=d( ( F, E)C,( G,E))

（2）d( ( F, E),( G,E ))=d( ( F, E )∧( G,E),( F,E )∨( G,E))

（3）d( ( F, E),( F,E )∧( G,E ))=d( ( G, E),( F,E )∨( G,E))

（4）d( ( F, E),( F,E )∨( G,E ))=d( ( G, E),( G,E )∧( G,E))

證明

（2）性質（2）顯然成立，證明省略。

（3）根據定義7可得：

那么

（4）性質（4）的證明同性質（3）相同。

定理8 區間復模糊軟集之間的距離測度滿足下列性質：

證明根據定義8可得：

所以

證畢。

同理，對于上述定義的其他區間復模糊軟集的距離測度，上述定理仍然成立，所以d( ( G, E),( F,E )⊕( G,E ))。

定理9( F,E )為區間復模糊軟集，可得：

證明因為

則

同理，在上述所定義的其他區間復模糊軟集的距離

表1 區間復模糊軟集( F,E)

4 基于區間復模糊軟集距離測度的TOPSIS算法

步驟1 構建區間復模糊軟集的決策矩陣，其表示所有的決策信息，如表1所示。

步驟2 基于最大偏差法，通過以下公式確定屬性權重wi,i=1,2,… ,m：

其中，di定義為區間復模糊軟集Euclidean 距離測度：

然后將wi標準化，得到：

步驟3 確定正理想解I+=( I1+,I2+, …,Im+)和負理想 解 I-=( I1-,I2-…, ,Im-)，其 中 Ii+( i= 1,2, …,m )是{ I( u1i),I( u2i),… ,I( uni)}中的正理想值，對成本型指標為最小值，對效益型指標為最大值。Ii-( i= 1,2,… ,m )是{ I( u1i),I( u2i), …,I( uni)}中的負理想值，對成本型指標為最大值，對效益型指標為最小值。

步驟4 本文定義計算區間復模糊軟集Ij與正理想解I+=( I1+,I2+,… ,Im+)和 負 理想 解I-=( I1-,I2-,… ,Im-)的加權Euclidean距離d10( Ij,I+)和d10( Ij,I-)：

步驟5 通過下列公式計算與正理想解的貼近度：

其中，0 ≤Cj≤1,j=1,2, ,n。

步驟6 根據計算所得的貼近度，對方案進行降序排列，確定最理想目標。

5 算例

第4 章中給出的算法可以對國家經濟政策對省份的影響作用進行排序。本章給出一個經濟分析算例來說明第4章中所提出的算法的可行性。

表2 區間復模糊軟集形式的M國經濟政策對省份的影響信息

假設U={u1=A省,u2=B省,u3=C省,u4=D省,u5= E 省 }，表 示 M 國 的5 個 省 份 集 合，E={e1=政策A,e2=政 策 B,e3=政策C} 表示M 國的政策的參數集，本文運用區間復模糊數來表示經濟政策對某一省份的影響程度。現在，要對M國的經濟政策對于哪個省份影響最大，且產生作用周期最短進行排序，選擇綜合影響最大的省份。

步驟2 根據第4 章給出的公式計算屬性權重得w1=0.23,w2=0.22,w3=0.54。

表3 和

表3 和

d10( Ij,I-)d10( Ij,I+)u11.485 21.722 0 u21.833 71.833 7 u33.462 60.646 4 u42.598 71.304 3 u51.256 82.800 3

表4 計算所得貼近度

表5 區間模糊軟集形式的M國經濟政策對省份的影響信息

步驟4 計算Ij與正理想解與負理 想 解的 加 權Euclidean 距 離d10( Ij,I+)和d10( Ij,I-)的結果如表3所示。

步驟5 計算貼近度，并對貼近度進行降序排列，如表4 所示，得到u5?u1?u2?u4?u3，所以M 國的綜合經濟政策對E省影響最突出。

由于區間復模糊軟集為提出的新概念，在區間復模糊軟集環境下，目前還沒有與本文方法類似的多屬性決策方法的研究。所以本文將鄒斌等人[44]提出的基于區間模糊軟集的多屬性決策方法與本文提出的基于區間復模糊軟集的TOPSIS多屬性決策方法進行比較。將上述經濟分析中的區間復模糊軟集形式的數據轉化為區間模糊軟集形式，保留幅度項，舍去相位項，轉化后的數據在表5 中給出。根據文獻給出的決策方法，得到排序結果：u3?u1?u5?u2?u4。

顯然，本文提出的方法的排序結果與鄒斌等人[44]提出的方法的排序結果不同。最大不同在于經濟政策對于E 省綜合影響的排序，在本文提出的決策方法中經濟政策對于E 省的綜合影響排最后，而鄒斌等人[44]提出的方法經濟政策對于E 省的綜合影響排第一。導致這種完全相反的排序結果的原因在于給定的數據舍棄了可以反映經濟政策對經濟影響的時間滯后的描述，即相位項，而經濟政策對于E 省的影響的時間滯后明顯短于其他省份，所以得到了相反的排序結果。不難發現，本文給定的決策方法對于數據的描述更為全面、客觀，可以得到更為合理的排序結果。

6 結論

本文定義了區間復模糊軟集之間的多種距離測度，包括Hausdorff 距離、Hamming 距離、Euclidean 距離、廣義Hausdorff 距離、廣義Euclidean 距離、廣義加權Haus‐dorff 距離、廣義加權Euclidean 距離、加權Hausdorff 距離、加權Hamming距離、加權Euclidean距離。并提出了區間復模糊軟集的加法、乘法、部分隸屬度和部分非隸屬度運算以及區間復模糊軟集距離測度的相關性質。此外，提出了一種基于區間復模糊軟集距離測度的TOPSIS 算法。最后，通過算例說明了該算法在經濟分析中的應用。本文還存在一些不足之處，如給定數據存在一定主觀隨機性。在以后的研究中，重點研究復模糊軟集在其他模糊集中的推廣和應用。