追本溯源 深度建構

王慶菊

[摘要]深度學習強調批判理解、內容整合、知識建構、問題解決、能力提高和思維發展。在深度學習背景下的數學復習課中，通過思維導圖，提高學生的單元知識再加工能力和建構知識網絡的能力;通過追本，喚醒學生已有的經驗;通過溯源，厘清知識的來龍去脈，促進學生對知識本質的深刻理解以及對知識之間內在結構的深度把握，將思維與實踐引向更深更遠處。

[關鍵詞]追本;溯源;建構

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A [文章編號] 1007-9068（ 2020）11-0009-02

“平面圖形的面積”是六年級下冊總復習“空間與圖形”中的一節課，它是在學生已經學習了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積計算的基礎上進行教學的。教材首先是小精靈提問：“說說什么是平面圖形的面積。”接著通過圖示，要求學生寫出各個圖形的面積計算公式，并說一說這些計算公式是怎樣推導出來的。不難讀出編者的意圖：一方面讓學生明確平面圖形面積的意義，掌握長方形、正方形、三角形、梯形、圓等基本平面圖形的面積計算公式及其推導過程;另一方面，借助圖示引導學生構建平面圖形面積的知識網絡，體驗各平面圖形之間的關系，形成知識體系。那么，平面圖形面積計算的本質是什么？平面圖形面積計算的根與源在哪里？長方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積計算之間有著怎樣的內在統一性？面積學習的背后，更為深層的價值又是什么？

【教學過程】

出示學生整理的平面圖形的面積計算公式及其推導過程（如圖1）。

1.溝通聯系

師：能說說為什么這樣整理嗎？通過整理這些圖形面積的計算方法，你有什么發現？

生1：這六種平面圖形之間聯系很緊密。

生2：從左往右看，根據左邊圖形的面積計算公式可以推導出右邊圖形的面積計算公式;從右往左看，在研究一種新的圖形的面積計算方法時，都是把它轉化成已經學過的圖形。

師：以前我們是一個圖形一個圖形學習的，今天把它們放到一起，就能發現它們之間的聯系。（逆時針轉動圖1）換個角度看這幅圖，你覺得這幅圖像什么？

生3：像一棵大樹。

師：這個說法很形象！這是一棵知識的“大樹”，樹根是誰？

生4：長方形的面積計算公式。

師：這樣看來，哪個圖最關鍵？

生5：長方形。

師：是呀，長方形是基礎，知道了長方形的面積計算方法，我們就可以推導出許多圖形的面積計算公式，而連接這些圖形的正是“轉化”這一重要的思想方法。

2.深度建構

師：再看這幅圖，你有問題要問嗎？

生6：其他圖形的面積計算公式可以做“樹根”嗎？比如平行四邊形或者三角形、梯形、圓形。

學生小組討論后匯報：

平行四邊形可以做“樹根”：把長方形、正方形、梯形、圓轉化成平行四邊形。

三角形可以做“樹根”：把長方形、正方形、平行四邊形分割成兩個完全相同的三角形;把梯形分割成兩個三角形;把圓剪拼成近似的三角形。

梯形可以做“樹根”：把長方形、平行四邊形分割成兩個完全相同的梯形;把梯形分割成兩個三角形。

圓形可以做“樹根”：把長方形、平行四邊形剪拼成近似的圓形。

師：既然這樣，你能只用一個公式就計算出長方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積嗎？

生7：我認為這六種圖形中的任何一個都行。

師：如果由你來編寫教材，你會按什么順序安排這幾個平面圖形的面積學習？

生7：我會按照平行四邊形、三角形、梯形、長方形、正方形、圓的順序編寫。

生8：我會按照三角形、平行四邊形、長方形、正方形、梯形、圓的順序編寫。

生9：我會按照梯形、平行四邊形、三角形、長方形、正方形、圓的順序編寫。

生10。：我會按照圓、長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形的順序編寫。

生11（出示圖2）：我會按這幅圖的順序編寫。

師：課本上一直是按“先長方形，再平行四邊形、三角形、梯形、圓”的順序來研究，這又是為什么？

師：現在讓我們穿越到三年級，回到最初的面積計算。假設你現在是一名三年級的小朋友，所有圖形的面積公式你都不知道。（出示圖3）怎樣知道這個圖形的面積有多大？

生12：我覺得可以用面積單位來擺一擺，看看這個圖形里有多少個面積單位，它的面積就是多少。

師（出示圖4）：的確，最初沒有計算公式時，我們就是用面積單位來度量的。不過，面積單位是什么圖形？

生13，：邊長為1厘米或1分米、1米的正方形。

師：既然這樣，用面積單位擺一擺的方法測量圖形面積時，哪種圖形的面積更容易測量？

生14：長方形和正方形。

師：對。正如華羅庚爺爺所說，“量，起源于量。”你知道這句話是什么意思嗎？

生15：我的理解是，比如像長度、面積、重量等這樣的量，都是用度量單位測量出來的。

生16：我明白了！長方形的面積能直接用面積單位來測量，而平行四邊形、三角形、梯形、圓這幾個圖形的面積不能直接用面積單位測量出來，所以我們先學習的就是長方形的面積。

子日：“溫故而知新”，然“復習課難上”卻是許多教師經常感嘆的。復習課既不像新授課那樣有“新鮮感”，又不像練習課那樣有“成就感”，“復習課就是回憶概念、公式，重復做以前做過的題”。那么，復習課，尤其是總復習課該如何“溫故”，又該如何“知新”？

1.溫故：追本溯源

復習課的基本任務在于“理”與“通”，即系統整理、融會貫通。長方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積計算方法是什么？這些圖形的面積計算之間又有著怎樣的內在統一性？平面圖形的面積的學習從三年級開始，一直持續到六年級，時間跨度大，知識點比較分散。上述教學通過“追本”，喚醒學生已有的面積計算經驗;通過“溯源”，溝通不同圖形面積計算之間的邏輯關聯，厘清知識的來龍去脈，讓零散的知識一一再現并形成條理化、系統化的樹形結構圖，增強學生對平面圖形的面積的整體認識，使得轉化思想得到進一步的彰顯。

2.知新：深度建構

復習課的基本任務還在于“發展”，即知識得到新的生長、學生得到新的發展。面積學習的背后，更為深層的數學思想又是什么？面積是最基本的幾何學概念，面積的大小就是看一個面包含有多少個面積單位。上述教學憑借層層遞進的問題串，在迂回中殺了個漂亮的“回馬槍”：其他圖形的面積計算公式可以做“樹根”嗎？你能只用一個公式就計算出長方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積嗎？如果由你來編寫教材，你會按什么順序安排這幾個平面圖形的面積學習？課本上一直是按“先長方形，再平行四邊形、三角形、梯形、圓”的順序來研究，這又是為什么？……一系列問題接踵而至，直逼教材，學生在“詰問——批判——重構”中一次次突圍，獲得對知識本質的深刻理解以及對知識之間內在結構的深度把握。長方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積計算之間的網狀溝通在多種可能中不斷地卷入、強化，在度量的本質意義中凸顯了面積單位的重要性以及長方形的面積作為平面圖形面積研究的核心地位，使學生在深度思辨中拾階而上。這樣，不僅實現了知識本質上的融合，而且能促進學生把問題想深想透，將思維與實踐引向更深更遠處。

復習是學習之母，復習是為了更好地出發。在追本溯源中深度建構，是一種理念，更是一種信念;是一種境界，也是一種行動。它超越當下，穿越時空，能給數學學習帶來無限的生機與活力。

【本文系河南省基礎教育教學研究項目“小學數學深度學習實驗研究”的研究成果。】

（責編金鈴）