哲學思維：超越數學基本思想的思維認知

李 靜

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》把數學教學中的“雙基”發展為“四基”，在基本知識和基本技能的基礎上增加了基本思想與基本活動經驗。數學基本思想是指數學產生與發展所依賴的思想，是人學習數學以后具有的思維能力。數學學科層面之上的思想應該超越數學，上升到哲學的高度。教師在數學教學中有意識地培養學生的哲學思維能力，將有助于學生從更高的角度認識數學。那么，什么是哲學思維？數學基本思想中能挖掘出哪些哲學思維？該如何實現數學基本思想到哲學思維的超越呢？本文將結合具體的教學實踐進行初步的闡述。

一、解讀：數學與哲學的關聯

數學是從數量、結構、變化、空間和信息等角度探究世界規律的學問。哲學是從思辨角度研究世界觀和方法論的學問。數學和哲學有著天然的聯系。正如數學家B.德莫林斯說的：“沒有數學，我們無法看透哲學的深度；沒有哲學，人們也無法看透數學的深度。”數學中蘊含著諸多哲學思想，如現象和本質、一和多、部分和整體、永恒和變化等，它們影響著數學的發展。在哲學思維的指導下研究數學，有助于人們認識和理解數學的本質。用哲學思維指導的數學教學，不只在知識內部就事論事，往往還能從數學思想的高度找出解決問題的方法。

二、審視：數學基本思想中的哲學思維

東北師范大學史寧中教授認為，我們可以把數學基本思想歸結為三個核心要素，即抽象、推理和模型，三者之間先后關聯、起承轉合、相互交織。數學思想或隱性或顯性地存在于數學教學中，除了能從數學的角度傳授知識和方法，還能從哲學的角度進行適度的辯證剖析。

1.抽象思想中的哲學——“日取其半，萬世不竭”。

抽象是指從眾多對象中抽取出共同且本質的特征，舍棄其非本質特征，它是數學活動中最基本的思想，包括分類、集合、變與不變、符號、對應、有限與無限等。其中，極限思想是用無限逼近的方式來刻畫數量變化的趨勢，這里要抓住兩個關鍵點：其一是變化的量是無窮多個；其二是無限變化的量趨于一個確定的常數。傳統的小學數學計算是有限個數的計算，經過有限的運算次數可以得到一個確定的結果。計算常見幾何圖形的面積，可以通過分割、平移把它們轉化成長方形來推導面積計算公式。但對于不能直接轉化成長方形的圓、橢圓等圖形來說，又該如何精確計算它們的周長和面積呢？其實，圓也可以分割轉化成長方形，只不過一般直邊圖形是通過有限次分割來轉化成長方形的，而圓是通過無限次分割、拼接、逼近來轉化成長方形的。這樣操作的依據便是極限思想，因而極限思想在小學數學教材及教學中不但有，而且在計算和公式推導中已經真正應用了，是小學數學教材和課堂教學中客觀存在的數學思想。

數學的極限思想只是科學的一小部分，往深層次挖掘，就可以看到哲學的成分。《莊子·天下篇》有云：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”這句話轉化為數學語言來描述就是：長度為單位1 的線段，第一天取走全長的一半，以后每天取走剩下的一半，永遠有剩余。其實，這句話只說對了一半。根據極限思想，這個無限變化的結果最后一定有極限，這句話只看到了無限，而沒有看到無限中蘊含著有限，無限取下去，剩下線段的長度趨于0，取走的長度趨于1。為了計算圓的面積和圓周率，我國古代數學家劉徽創立了割圓術，先做圓的內接正六邊形，再做圓的內接正十二邊形，隨著正多邊形越來越接近圓，它的面積和周長也越來越接近圓的面積和周長。劉徽在描述這種做法時說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣。”也就是說，隨著正多邊形的邊數無限增加，圓就可以轉化為邊數無限的圓內接正多邊形，即化圓為方。劉徽看到了有限與無限的對立統一，比莊子的認識更全面、更客觀。由上可知，極限思想是一種用無限逼近的方式來研究數量變化趨勢的哲學思維，同時也是微積分理論的基礎，本質上體現了辯證關系，即圓與方、曲與直、靜與動、有限與無限對立統一的哲學思維。

2.推理思想中的哲學——“塞翁失馬，焉知非福”。

推理是從一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程，包括歸納、演繹、數形結合、轉化、類比等。以其中典型的轉化思想為例，數學學習中有數的轉化、計算的轉化、圖形的轉化等問題，當學生束手無策時，教師若能引導他們運用未知化已知、復雜化簡單、一般化特殊、抽象化具體等轉化思想來解決，將有助于學生撥開思維的迷霧。在數學教學中，眾多現實引發筆者思考：轉化思想是引導數學學習和工作的靈魂，如果我們站位更高、眼光更遠，能否將轉化的思想和意識滲透至我們的生活中呢？

答案是肯定的。我國有句成語叫“塞翁失馬，焉知非福”，是說塞翁丟了馬，人們都來慰問他，他說：“這怎么就不能是一件好事呢？”幾天后馬不僅回來了，還帶回了許多匹塞外良馬，人們都來祝賀他，他說：“這怎么就不能是一件壞事呢？”又過了幾天，塞翁的兒子從馬上摔下腿斷了，人們都來安慰他，他說：“這怎么就不能是一件好事呢？”之后國家征兵打仗，塞翁的兒子因為腿瘸而免于征戰。這是一個循環往復、極具戲劇性的故事，闡述了禍與福的對立統一關系，揭示了“禍兮福之所倚，福兮禍之所伏”的道理。如果單從哲學的角度來看，這個成語啟發人們用轉化的思維、發展的眼光辯證地去看問題。無論是遇到福還是遇到禍，都要辯證地看待未知的結果。

當然，生活中還有很多蘊含著哲學思維的轉化思想，如形容情緒大起大落的“樂極生悲”、說明憂患意識重要性的“人無遠慮，必有近憂”等成語或俗語。如果教師能在數學教學中加以滲透，學生運用辯證思維看待、分析問題的心態將會更加成熟、平和，這對于現實教學和學生將來的發展都具有實際意義。

3.模型思想中的哲學——“愚者千慮，必有一得”。

數學模型是為解決現實生活中的問題而建立的概念、公式、定義、定理、法則、體系等，一般用語言、符號、數量關系或圖形來呈現。模型思想包括簡化、量化、函數、方程、優化、隨機、統計等。以簡化思想為例，它強調將復雜的問題用簡單的符號或圖示模型來進行表征。如著名的哥尼斯堡七橋問題：一個步行者怎樣才能不重復、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發點呢？瑞士數學家歐拉把它簡化成了一個幾何問題的模型——一筆畫問題，不僅解決了問題，給出了連通圖，還提出一筆畫的重要條件在于它們是連通的，而且奇頂點（通過此點弧的條數是奇數）的個數為0 或2。

有人可能會說，這是大數學家才能想到的方法，我們這些平凡人是難以解決這些高深的問題的。我國西漢史學家司馬遷在《史記·淮陰侯列傳》中寫道：“智者千慮，必有一失；愚者千慮，必有一得。”這是說智者在多次的考慮中也會出現個別錯誤；而愚者經過千百次的思考，偶爾想出一條主意也可能是正確的。這些所謂的愚者實際上是在踐行簡化的思想，他們在用最簡單的方法下“笨”功夫，這種“笨”功夫實則就是按照一定的模型，循環往復地進行模型化嘗試和體驗，很好地印證了“實踐出真知”的哲學道理。

三、實踐：兒童哲學思維的培養對策

1.化隱為顯，明晰哲學思維的關鍵點。

（圖1）

（圖2）

解題過程中蘊含著復雜的極限思想。此時，若教師適時點撥，將微觀放大，引導學生找到其中哲學思維的生長點，即量變引起質變，其和無限逼近1，將有助于學生加深對極限思想的認識。

2.化弊為利，找準哲學思維的切入點。

在數學教學中，我們不僅應關注知識的傳承，還要發現兒童的“獨特之處”。首先是“容”錯，更重要的是“榮”錯，學生的錯誤是一種寶貴的教學資源，這其實與之前提到的“塞翁失馬，焉知非福”的哲學思維不謀而合。下面，我們來看特級教師周衛東執教蘇教版五上《平行四邊形的面積》一課的兩個片段：

【片段1】

師：同學們課前都自己嘗試求了這個平行四邊形的面積，我們先來看看這位同學的想法。（出示圖3）

（圖3）

師：你覺得他的想法對嗎？

生：不對。因為他算的不是面積而是周長。

師：這個想法雖然不正確，但它的價值在哪里？

生：提醒我們要看清楚求的是面積還是周長。

周老師用藝術化的處理告訴大家這樣一個哲學道理：學生的錯誤都有它的價值，都有它存在的意義。

【片段2】

師：剛剛，我們通過切割和平移把平行四邊形轉化成了長方形，得出平行四邊形面積=底×高。有同學課前是這樣想的（出示圖4），他的想法對嗎？（大多數學生搖頭）錯在哪里了？

生：把這個平行四邊形轉化成長方形，轉化后的長方形的寬是5 而不是8，也就是說高是5，所以不能用12×8。

（圖4）

師：你覺得12×8 算出來的面積比實際面積大還是小？

生：我覺得這樣算應該比實際面積大。

師：能說明理由嗎？

學生畫出相應的圖，教師課件（如圖5）演示說明。

（圖5）

師：在這樣的變化過程中，面積為什么會變大呢？

生：因為角度在逐漸變大。

師（出示圖6）：對，a 和b 兩條邊之間的夾角越大，這兩條邊相乘得出的面積就越大……

周老師把學生的錯誤轉化成了一種有效的教學資源。從學生的錯誤出發，找準知識結構之間的關聯，潛移默化地滲透初中相關知識的學習，讓學生真正經歷體驗、探索、再發現的過程。

（圖6）

3.化繁為簡，把握哲學思維的延伸點。

從數學思維的角度來看，問題解決實際上是以問題為載體，引導學生經歷抽象和概括的過程。筆者前面談到了模型思想，簡言之，數學模型就是借助數學的語言講述現實生活的故事。特級教師華應龍“投石問路”的教學方法就是一個很好的例證。

課始，華老師出示微信朋友圈中的一個話題——“徒弟問：‘師父，您多大了？’師父答：‘我在你這年紀時，你才5 歲；等你到我這年紀時，我就71 歲了。’”并提問：徒弟幾歲？師父幾歲？問題一出來，大部分學生面面相覷。華老師讓學生多讀幾遍，提煉出幾個關鍵詞：過去、現在、將來，并畫出如圖7 所示的示意圖。進而提出如圖8 所示的“投石問路”畫圖法，讓學生也像這樣舉例并畫圖表示。

（圖7）

（圖8）

師：投石是為了什么？

生：問路，找到問題之間的關系。

師：真好，你發現什么關系了嗎？

生：通過投石問路，能看出從徒弟過去的5歲到師父將來的71 歲，中間共相差66 歲，里面有3 段年齡差，每一段年齡差就是22 歲。

…………

華老師這節課旨在引導學生建構相應的數學模型，搭建幫助理解的思維腳手架，題目中的實質性知識并不重要，他要以此聚焦、凸顯比“魚”更重要的“漁”，而且這“漁”并非由他所傳授，他只是在“導人自漁”。“投石問路”的方法看似愚笨，實則是一種簡化的理性思維訓練。“愚者千慮，必有一得”，就在這笨與不笨的沖突中，學生向下“沉潛”，在試錯與摸索中觸及知識內蘊，進而“向上飛揚”，沉潛似“笨”，飛揚為“智”。

數學教學的最終目標，是讓學生會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。而數學的眼光就是抽象，數學的思維就是推理，數學的語言就是模型。學生通過數學學習掌握數學思想方法，學會思考和判斷，可以更容易地理解哲學的基本原理，形成哲學思維。教師應不斷提升自己的哲學素養，用數學基本思想背后的哲學思維來指導教學，這樣不僅有助于學生潛移默化地掌握哲學的思維方法，也能使他們從更高的角度認識數學、理解數學，進而提高思維能力、推理能力和創新能力。