帶電粒子在矩形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)的問(wèn)題

周 勝

(安徽省宿城第一中學(xué) 安徽 宿州 234000)

帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一直都是高考中的高頻考點(diǎn)，2019年也不例外，3套全國(guó)卷分別以不同的方式考查了這一內(nèi)容．全國(guó)Ⅰ卷以計(jì)算題的形式考查了帶電粒子在三角形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)問(wèn)題，全國(guó)Ⅱ卷以選擇題的形式考查了帶電粒子在正方形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)問(wèn)題，全國(guó)Ⅲ卷也以選擇題的形式考查了帶電粒子在兩個(gè)直線邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)問(wèn)題，總體難度不大．事實(shí)上，在平時(shí)的教學(xué)中，關(guān)于帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)問(wèn)題，題目變化多種多樣，采用的方法也不盡相同，因此也是教師教學(xué)以及學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．為了突破這一難點(diǎn)，教學(xué)同行們從各個(gè)角度對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了分析與研究．有教師總結(jié)了帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的基本模型[1]，不同有界磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)的處理方法[2]，確定圓周運(yùn)動(dòng)確定帶電粒子在直線邊界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的方法[3]，利用“旋轉(zhuǎn)圓”與“縮放圓”方法解決帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題[4]，以及利用巧妙方法處理帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)問(wèn)題[5，6]等等．2019年全國(guó)Ⅱ卷的第17題以及平時(shí)在教學(xué)中遇到的問(wèn)題，引起了筆者對(duì)帶電粒子在矩形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)的問(wèn)題的思考．

1 遇到的問(wèn)題

如圖1所示，正方形abcd區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)．若一個(gè)帶正電的粒子(不考慮重力)從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t0剛好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng)．現(xiàn)設(shè)法使該粒子從O點(diǎn)沿著紙面以與Od成30°的方向(如圖1中虛線所示)，以各種不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說(shuō)法正確的是( )

A.該帶電粒子不可能剛好從正方形的某個(gè)頂點(diǎn)射出磁場(chǎng)

B.若該帶電粒子從ab邊射出磁場(chǎng)，它在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間可能是t0

分析：對(duì)于B，C，D 3個(gè)選項(xiàng)而言，通過(guò)幾何分析與計(jì)算可以較為輕松地判斷出選項(xiàng)B和C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．而本題比較復(fù)雜的就是對(duì)選項(xiàng)A正誤的判斷，即粒子能否從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)，通常可以采用“伸縮圓”[4]的方式通過(guò)圓規(guī)逐個(gè)畫圓來(lái)判斷隨著粒子速度的增大，粒子先與ad邊相切還是能夠直接經(jīng)過(guò)a點(diǎn)，也可以進(jìn)行理論分析與證明．但是花費(fèi)的時(shí)間較長(zhǎng)且可能分析出錯(cuò)，能不能通過(guò)圖形的幾何關(guān)系更快地得到相應(yīng)的結(jié)果呢？

2 解決思路

為了更加快捷地解決這一問(wèn)題，筆者在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生采用以下思路，如圖2所示.

圖2 判斷粒子能否從a點(diǎn)射出的方法示意圖

對(duì)于本題而言，根據(jù)幾何關(guān)系可得

tan(θ+30°)=2

α>θ

因此選項(xiàng)A也正確．可以采用以下兩種方法進(jìn)行證明.

方法一：如圖3所示，假定粒子從a點(diǎn)入射，c點(diǎn)出射，粒子入射速度方向與直線ac夾角為θ，對(duì)于直線邊界而言，粒子以與邊界成θ角入射，出射的速度方向也與邊界成θ角(已在圖3中標(biāo)出)．通過(guò)改變矩形磁場(chǎng)邊界cd與直線ac的夾角α，可得到,若α<θ(如圖3邊界cd′所示)，粒子必然經(jīng)過(guò)邊界cd′線之外，即在邊界限定的區(qū)域內(nèi)粒子不可能經(jīng)過(guò)c點(diǎn)，若以最大速率偏轉(zhuǎn)且不離開磁場(chǎng)邊界，則必然會(huì)與cd′邊界相切；若α≥θ，磁場(chǎng)區(qū)域“足夠大”，不影響粒子在邊界內(nèi)的偏轉(zhuǎn)，粒子必然可以從c點(diǎn)射出．

圖3 方法一示意圖

方法二：假設(shè)粒子先和dc邊界相切，如圖4所示，根據(jù)粒子偏轉(zhuǎn)的對(duì)稱關(guān)系可得，圓心角β=2θ，cd邊是軌跡的切線，則切點(diǎn)e與圓心的連線必然垂直于cd邊，通過(guò)幾何關(guān)系可以證明，粒子經(jīng)過(guò)e時(shí)所對(duì)應(yīng)的圓心角φ=α+θ，由于經(jīng)過(guò)e點(diǎn)后才經(jīng)過(guò)ac邊，因此β>φ，進(jìn)而α<θ；當(dāng)α=θ時(shí)，粒子通過(guò)c點(diǎn)的同時(shí)與cd邊相切，當(dāng)α>θ時(shí)，粒子可以從c點(diǎn)射出．

圖4 方法二示意圖

3 舉例

通過(guò)角度的比較判斷粒子能否經(jīng)過(guò)邊界頂點(diǎn)，可以簡(jiǎn)化判斷步驟，節(jié)省判斷時(shí)間，也能夠簡(jiǎn)化思路更加準(zhǔn)確快速地得到相應(yīng)問(wèn)題的結(jié)果．筆者對(duì)2019年高考全國(guó)卷Ⅰ中帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了改編，采用這一方法可以快速解決．

(1)若粒子剛好經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，求粒子的入射角度范圍；

(2)若磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里，粒子源可以沿著y軸移動(dòng)，且能夠垂直于y軸發(fā)射速度足夠大的粒子，試問(wèn)粒子源在哪些位置發(fā)射粒子時(shí)，粒子能夠通過(guò)P點(diǎn).

圖5 高考改編題示意圖

分析：對(duì)于這一問(wèn)題，如果采用“伸縮圓”的方式分析，需要分析討論多種情況，需花費(fèi)較多時(shí)間．但若采用根據(jù)角度判斷粒子能否通過(guò)某一點(diǎn)的方法，就簡(jiǎn)便很多．

圖6 第(1)問(wèn)示意圖

圖中O′為粒子偏轉(zhuǎn)的圓心，由于半徑與ON′相等，則△OO′N′為等邊三角形，因此∠O′N′O=60°，速度方向與y軸負(fù)方向成30°角．根據(jù)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，粒子若通過(guò)O點(diǎn)，其速度方向與y軸負(fù)方向間的夾角必須不大于∠NOP，因此粒子的入射角度范圍為與y軸負(fù)方向成30°到60°角．

對(duì)于第(2)問(wèn)，粒子的速度足夠大，偏轉(zhuǎn)過(guò)程中可以先不考慮粒子的速度問(wèn)題．根據(jù)粒子的偏轉(zhuǎn)規(guī)律，先連接N′P，如圖7所示，速度方向與N′P的夾角為θ，N′P與邊界OP的夾角為α．若粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，必須要求α≥θ，又因?yàn)?/p>

α+θ=30°

得到

θ≤15°

即

∠NPN′≤15°

于是

點(diǎn)N′的位置起始坐標(biāo)為

所以，點(diǎn)N′的坐標(biāo)yN′范圍是：0.55d≤yN′

圖7 第(2)問(wèn)示意圖

以上內(nèi)容，僅是筆者對(duì)這一問(wèn)題的粗淺認(rèn)識(shí)，不足之處，望請(qǐng)讀者批評(píng)指正．