時間尺度上變質量非完整系統的Lie對稱性與守恒量

闕朝月，朱建青

(蘇州科技大學數理學院，江蘇 蘇州 215009)

約束力學系統的對稱性與守恒量具有重要的研究意義，在現代數學、力學、物理學中有著重要的地位，是分析力學的一個近代發展方向[1].時間尺度是一個較為新穎的課題，它統一和拓展了連續和離散系統.在時間尺度上建立的動力學方程將連續系統的微分方程與離散系統的差分方程融為一體，使得動力學方程具有了更為一般的性質.結合時間尺度與動力學系統，近年來有關學者陸續給出了時間尺度上的一些理論[2-7].

隨著空間技術及其它工業的發展，變質量系統應用得越發廣泛.19世紀中葉，人們提出了變質量問題.1897年，俄國學者Мещерский建立了變質量質點的動力學基本方程.1929年，蘇聯力學家Циолковский提出用多級火箭實現宇宙飛行，對變質量力學作出了重要貢獻.對于變質量系統的對稱性與守恒量，人們已經給出了變質量系統的Noether理論、Lie對稱性理論、Mei對稱性理論等[8-15]，而時間尺度上的變質量非完整系統的Lie對稱性理論還未有涉及.本文討論了時間尺度上變質量非完整系統的Lie對稱性與守恒量，利用時間尺度上微分方程在無限小變換下的不變性給出了時間尺度上變質量非完整系統的Lie對稱性確定方程，當存在規范函數滿足結構方程時，可解得相應守恒量.最后給出算例進行說明．

1 時間尺度上變質量系統的D’Alembert-Lagrange原理與Routh方程

1)時間尺度上變質量系統的D’Alembert-Lagrange原理

在時間尺度T上，設變質量力學系統由N個質點所構成.在時刻t，變質量系統的質量可表示為

(1)

注：本文所涉時間尺度上符號可參考文獻[16]．

在t+Δt，由質點分離(或并入)的微粒質量為Δmi，則時間尺度上第i個質點的Мещерский方程[17]可表示為

(2)

(3)

其中ui表示質點分離(或并入)的微粒對應于質點本身的相對速度．

將式(2)兩端點乘虛位移δri，并將方程對i進行求和，則得到

(4)

理想約束條件為

(5)

將式(5)代入式(4)則可得如下方程

(6)

設時間尺度上變質量系統的位形由n個廣義坐標qs(s=1，…，n)來確定，則矢徑

ri=ri(t，qs) (i=1，2，…，N;s=1，2，…，n).

(7)

虛位移條件為

(8)

將式(8)代入式(6)得

(9)

在時間尺度上，系統的動能可表示為

(10)

又由文獻[16]求導法則得

(11)

從而可知

(12)

(13)

(14)

將式(12)與(14)代入式(9)，則可得到時間尺度上變質量完整系統的D’Alembert-Lagrange原理的Lagrange形式

(15)

對于完整約束系統，式(15)中的δqs是相互獨立的，從而變質量完整系統在時間尺度上的運動微分方程可表示為

(16)

其中

(17)

(18)

(19)

將Qs分為有勢的Q′s和非有勢的Q″s，有

Qs=Q′s+Q″s，

(20)

設L=T-V，并將式(20)代入式(16)，從而有

(21)

2)時間尺度上變質量系統的Routh方程

假設變質量系統的運動受到g個理想非完整約束

fβ(t，q，qΔ)=0(β=1，…，g)，

(22)

約束(22)施加于虛位移δqs上的限制條件可表示為

(23)

利用式(21)，由文獻[18]不定乘子法可得時間尺度上變質量系統的Routh方程

(24)

由式(22)和(24)可求得λβ為t、q、qΔ的函數，將λβ代入(24)則可得到

(s=1，…，n).

(25)

稱方程(25)為時間尺度上變質量非完整系統(22)(24)相應于完整系統的運動方程．

假設此時間尺度上變質量非完整系統非奇異，即

(26)

展開式(25)，則可求得所有的廣義加速度，記作

(27)

2 時間尺度上變質量非完整系統的Lie對稱性與守恒量

在時間尺度上，引入無限小變換

t*=t+εξ0(t，qs)，

(28)

引入時間尺度上生成元向量[19]

(29)

它的一次擴展式為

(30)

二次擴展式為

(31)

于是方程(27)在變換(28)下的不變性可概述為

(32)

從而有確定方程

(33)

定義1若生成元ξ0、ξs使確定方程(33)成立，則稱變換(28)為與時間尺度上變質量非完整系統相應的完整系統的Lie對稱變換，相應的對稱性稱為Lie對稱性．

考慮到非完整約束，式(22)在無限小變換(28)下的不變性可概述為限制方程

X(1)(fβ(t，q，qΔ))=0.

(34)

約束(22)施加于虛位移δqs上的限制(23)對生成元存在如下附加限制方程

(35)

定義2若生成元ξ0、ξs使確定方程(33)和限制方程(34)成立，則相應的對稱性稱為時間尺度上變質量非完整系統的弱Lie對稱性．

定義3若生成元ξ0、ξs同時使確定方程(33)、限制方程(34)和附加限制方程(35)成立，則稱相應的對稱性為時間尺度上變質量非完整系統的強Lie對稱性．

定理1對于使確定方程(33)成立的生成元ξ0、ξs，當滿足結構方程

(36)

的規范函數G=G(t，q，qΔ)存在時，時間尺度上變質量非完整系統有如下形式的守恒量

(37)

證明由文獻[20]在時間尺度上有

于是

證畢．

定理2如果生成元ξ0、ξs使確定方程(33)和限制方程(34)成立，當滿足結構方程(36)的規范函數G=G(t，q，qΔ)存在時，時間尺度上變質量非完整系統有形如式(37)的弱Lie對稱性守恒量．

定理3如果生成元ξ0、ξs同時使確定方程(33)、限制方程(34)和附加限制方程(35)成立，當滿足結構方程(36)的規范函數G=G(t，q，qΔ)存在時，時間尺度上變質量非完整系統有形如式(37)的強Lie對稱性守恒量．

若T=R，有σ(t)=0，μ(t)=0，式(33)則成為經典變質量非完整系統的Lie對稱性確定方程[21]

(38)

式(36)則成為經典變質量非完整系統的Lie對稱性結構方程[21]

(39)

式(37)成為經典變質量非完整系統的Lie對稱性守恒量形式[21]

(40)

3 算例

在時間尺度T={t:t∈N∪{0}}上研究一個變質量質點，其質量為

m=m0e-t(m0=const),

(41)

Lagrange函數為

(42)

受到非完整約束

(43)

非勢廣義力為

(44)

假設微粒分離的絕對速度為零，即

u=-rΔ=0,

(45)

試討論該變質量非完整系統在時間尺度上的Lie對稱性．

第一步，求λ并解出廣義加速度.由式(17)，(19)和(44)可得

P1=P2=0，Φ1=Φ2=0,

(46)

方程(24)，(42)和(44)給出

(47)

由式(43)(47)解得

(48)

從而有

(49)

將式(49)代入式(47)解得廣義加速度

(50)

第二步，求生成元.將式(50)代入確定方程(33)得到

(51)

方程(51)有如下解

ξ0=0，ξ1=0，ξ2=1.

(52)

第三步，檢驗生成元是否滿足限制方程與附加限制方程.由式(34)(35)(43)可得限制方程與附加限制方程分別為

(53)

(54)

可知生成元(52)能夠使限制方程式(53)成立，但不滿足附加限制方程(54)，從而相應的對稱性為時間尺度上變質量非完整系統的弱Lie對稱性，對應的守恒量為弱Lie對稱性守恒量．

最后，求得規范函數并計算守恒量.將式(52)代入結構方程(36)可得

(55)

由此求得規范函數

G=-q1-q2,

(56)

守恒量(37)成為

(57)

4 結束語

本文討論了時間尺度上變質量非完整系統的Lie對稱性與守恒量.基于時間尺度上變質量系統的D’Alembert-Lagrange原理，建立了時間尺度上變質量系統的Lagrange方程，進一步給出了系統的Routh方程與Lie對稱性的定義和定理，根據Lie對稱性，利用規范函數求出相應的Lie守恒量.本文提供了一種研究時間尺度上變質量系統對稱性的新方法，其思想方法還可推廣到時間尺度上其它力學系統的對稱性研究中．