平面齒輪副的約束及自由度計算

朱玉泉 ,于景華

(1.朔州市農業機械服務中心 農機安全監理所，山西 朔州 036002；2.中北大學朔州校區 能源與機械工程系，山西 朔州 036002)

0 引言

齒輪機構是我們常用的一種機構，齒輪副在平面機構自由度計算時常按照一個高副提供一個約束計算，忽略了兩個高副的情況，因此常常出錯。本文結合工程實例對齒輪副約束情況進行分析，得出齒輪副引入一個高副和兩個高副的條件，為正確計算含齒輪副機構的自由度提供參考。

1 含齒輪機構自由度計算時出現的問題

平面機構自由度F計算公式為[1]：

F=3n-(2pl+ph-p′)-F′.

(1)

其中：n為活動構件數目；pl為低副數目；ph為高副數目；p′為虛約束數目；F′為局部自由度數目。

圖1為兩種周轉輪系[2]。在兩種周轉輪系中都有兩個齒輪副，即1與2和2與3。兩個周轉輪系自由度都為1，但在用公式(1)計算自由度時，出現下面的結果：

(1) 圖1(a)周轉輪系中，1、3為太陽輪，2為行星齒輪，4為系桿。活動構件數目n=3，低副數目pl=3，高副數目ph=2，則自由度F=3×3-(2×3+2)=1。

(2) 圖1(b)周轉輪系中，齒輪2與3之間沒有系桿，活動構件數目n=2，低副數目pl=1，高副數目ph=2，則自由度F=3×2-(2×1+2)=2。

通過以上計算可知，圖1(b)用公式(1)計算出的自由度與實際自由度不符，分析其錯誤原因就在于齒輪副中齒輪1與2和 2與3之間都是按照中心固定，一個齒輪副引入一個高副計算，忽略了圖1(b)中齒輪2中心不固定，齒輪副是兩個高副的情況。因此計算自由度時齒輪副引入一個還是兩個高副約束要看齒輪副的接觸形式，下面從齒輪副的接觸形式分析約束情況。

2 齒輪副引入約束的判斷

齒輪接觸分為單側接觸和雙側接觸，單側接觸為有側隙嚙合，雙側接觸為無側隙嚙合，如圖2所示。所謂側隙是指兩個相互配合的齒輪工作面接觸時， 相鄰的兩個非工作齒間形成的間隙。齒輪嚙合傳動時，為了在嚙合齒廓之間形成潤滑油膜，避免因輪齒摩擦發熱膨脹而卡死，齒廓之間必須留有間隙，此間隙即為側隙。當兩輪輪齒做有側隙嚙合時，兩輪輪齒單側接觸，非工作側齒廓之間存在間隙，此齒輪副應該算1 個高副，即它提供1 個約束[3]。當兩輪輪齒做無側隙嚙合時，輪齒的兩側都參加接觸，且接觸點的公法線方向并不彼此重合，此齒輪副應該算2個高副，即它提供兩個約束。齒輪副有、無側隙嚙合與中心距有關，當構成齒輪副的兩齒輪中心距可變化，這時齒輪做無側隙嚙合提供兩個約束，齒輪副為兩個高副；當構成齒輪副的兩齒輪中心距受其余構件約束，齒輪做有側隙嚙合，齒輪副為一個高副。

圖2 齒輪嚙合示意圖

3 平面齒輪副的低副代替機構

為了進一步說明有側隙和無側隙齒輪副的約束實質，分別對以上齒輪副進行高副低代[4]。高副低代要求：①替代前后機構的自由度不變；②原有構件的運動參數不變。代替方法為:用處于兩構件接觸點曲率中心的兩個低副和其間的虛設構件代替原來的高副。因此有側隙嚙合時引入一個高副約束，用一桿兩轉動副代替，如圖3(a)所示。其中，o1、o2分別為兩齒輪的中心，N1、N2分別為兩輪齒接觸點處漸開線的曲率中心，N1N2之間的桿和兩個轉動副代替齒輪高副。無側隙嚙合時引入兩個高副約束，用一個轉動副代替，如圖3(b)所示，這樣在無側隙嚙合時齒輪副可直接按照一個低副計算。

圖3 平面齒輪副的低副代替機構

4 驗證計算

根據以上方法對圖1輪系再一次進行自由度計算。

(1) 圖1(a)中，齒輪2與3之間有系桿，活動構件數目n=3；齒輪2與3之間的系桿固定了中心距，因此齒輪1與2和2與3之間都按高副引入一個約束計算，即Pl=3、Ph=2，則自由度F=3×3-2×3-2=1。

(2) 圖1(b)中，齒輪2與3之間沒有系桿， 活動構件數目n=2；齒輪2與3互相約束，中心距可以變化，齒輪做無側隙嚙合，齒輪副按照兩個高副引入兩個約束的低副計算，即Pl=2；齒輪2與3之間互為約

束，齒輪1為機架，因此齒輪1與2之間中心距不可變，齒輪做有側隙嚙合，為一個高副，即Ph=1，則自由度F=3×2-2×2-1=1。

以上計算結果與實際自由度值相符，驗證了此方法計算齒輪機構自由度的正確性。

5 結論

本文通過實例分析得出齒輪副引入一個還是兩個高副的條件：當兩齒輪中心距已經通過構件或運動副確定，齒輪副則按照引入一個約束有兩個自由度的高副計算；當中心距不確定，需要通過齒輪副本身提供的約束確定時，齒輪副按照引入兩個高副計算，即相當于一個低副。這樣我們在計算含齒輪機構自由度時只要定出兩齒輪的中心距是不是固定，就可以知道其提供的約束，可使自由度的計算更為方便。