矩-面積定理的擬圖乘法證明及局部圖乘法導出

闕仁波

(廈門大學嘉庚學院土木工程分院 福建漳州 363105)

0 引言

矩-面積第一定理和第二定理是直接從梁的撓曲線近似微分方程出發，將積分表達式從梁的撓曲線幾何性質角度進行解釋，從而求出彎矩圖面積和面積矩來代替直接求積分而求解兩截面間由于彎曲所引起的相對轉角和相對撓度的方法[1-6]。若兩截面中其中一個的絕對轉角或絕對撓度為已知，則可以之為參考點，其絕對轉角和絕對撓度為兩截面之間的剛體轉動和剛體平動，容易求得由它們所引起的、待求截面處的轉動和平動，再疊加上相對轉角和相對撓度，即可得待求截面處的絕對轉角和絕對撓度。但該方法在運用時，往往存在為確定方向而要畫變形示意圖和建立局部坐標系的麻煩。

圖乘法亦是將積分表達式從彎矩圖的幾何性質角度進行解釋，從而以求兩個彎矩圖的幾何參數之積來代替直接求積分、以求解由于彎曲所引起的兩截面間的相對轉角和相對撓度或指定截面處的絕對轉角和絕對撓度的方法[7]。但該方法必須對結構的所有構件都進行圖乘，計算量較大。

為此，本文先采用擬圖乘法對矩-面積定理進行證明，找出兩者的統一性。并將兩者的思想相融合，導出局部圖乘法。采用該方法，對于某些問題，可在一定程度上減少了上述兩種方法各自的麻煩和計算量。

1 矩-面積定理簡介

1.1 矩-面積第一定理

光滑連續彈性撓曲線上任意兩點的轉角之差，等于M/(EI)圖中這兩點間曲線所圍的面積[1-5]。

如圖1(a)和(b)所示：

(1)

其中，AAB表示M/(EI)圖中AB段的面積，它前面的負號表示正的彎矩面積將引起兩點間產生逆時針方向的相對轉角，即:B點切線相對于A點切線逆時針轉動。

1.2 矩-面積第二定理

光滑連續彈性撓曲線上B點相對于A點切線的偏移量tB/A，等于M/(EI)圖中A、B兩點間曲線所圍的面積對過B點鉛垂線的靜矩[1-5]。

如圖1(a)和(b)所示：

(2)

圖1 撓曲線、M/(EI)圖和M圖

2 圖乘法證明

2.1 位移的分解

如圖2(a)所示，可設想將桿件從AB變位到A′B′的過程分解為有先后順序的3個，即沿豎向剛體平動ωA到A′B″、然后剛體轉動θA到A′B?、再變形即相對側移ΔωB/A和相對轉動ΔθB/A到A′B′，則：

θB=θA+ΔθB/A

(3)

在小變形情況下：

ωB=ωA+θAlAB+ΔωB/A

(4)

注：圖2(a)中之所以讓B′點位于A′B?下方而不是像圖1(a)中讓B點位于AC上方，主要是為了讓幾個位移之間不相重疊，看起來更清楚，更便于闡釋。

圖2 位移的分解

2.2 類比與證明

若不考慮剛體平動和轉動，以A′B″為基線重繪圖2(a)可得圖2(b)。

根據前述正負號的規定，由圖1(a)可得：

θB=θA+θB/A

(5)

ωB=ωA+θAlAB+tB/A

(6)

對比式(3)和(5)、式(4)和(6)、以及圖1(a)和圖2(b)可得:

ΔθB/A=-θB/A

(7)

ΔωB/A=-tB/A

(8)

(9)

負號表示方向與施加的單位力偶相反，即逆時針。

圖3 B端單位力偶所引起的彎矩圖

(10)

圖4 B端單位豎向力所引起的彎矩圖

負號表示方向與施加的單位力相反，即從C點到B點沿y軸負向。

由上述可看出，矩面積第一定理和第二定理，亦可按擬圖乘方式推導得出，但與要對所有構件都進行圖乘的通常的圖乘法(在此不妨稱之為全局圖乘法)相比，擬圖乘法僅對要求相對轉角和相對撓度的A點和B點之間的節段進行圖乘，且將AB段看成是一端固定的懸臂梁，故在此不妨稱之為局部圖乘法。

但需注意，圖4和圖1(c)中AB段圖乘的結果與圖5和圖1(c)中AB段圖乘的結果(等于tA/B)一般不相等，故一般tB/A≠tA/B。

圖5 A端單位豎向力所引起的彎矩圖

由式(4)可見，若ωB=ωA=0，如支座在A點和B點處的簡支梁或伸臂梁、或A點和B點處無垂直于桿軸向側移的剛架桿等，則：

θA=-ΔωB/A/lAB

(11)

即此時可將θA的求解轉換為tB/A的求解。

3 局部圖乘法的實施步驟和應用要點

由上述可得到啟示，可將矩-面積定理改用局部圖乘法來實現。實施步驟和應用要點如下：

(1)B點相對于A點的轉角之差ΔωB/A，可由實際荷載作用下A點和B點之間的彎矩圖(圖1(c))，與將A端固定、B端自由的懸臂梁在B端施加單位力偶所產生的彎矩圖(圖3)進行圖乘而得到。若所得結果為正，則表示B點切線相對于A點切線的轉動方向與單位力偶同向；反之，反向。

(2)B點相對于A點切線的偏移量ΔωB/A，可由實際荷載作用下A點和B點之間的彎矩圖(圖1(c))，與將A端固定、B端自由的懸臂梁在B端施加垂直于桿軸向的單位力而產生的彎矩圖(圖4)進行圖乘而得到。若所得結果為正，則表示從A點切線與經過B點的垂線交點(圖1(a)中的C點)到B點的偏移方向與施加的單位力同向；反之，反向。

(3)若ωA=ωB=0，則欲求解θA時，可按上述(2)的方法先求得ΔωB/A，再按式(11)求θA，負號表示θA沿從AB轉向AC的方向。因為ωB=0，故可根據ΔωB/A的正負確定出C點位于AB的哪一側，然后由AB到AC的轉向，即為θA的轉向。

若已知參考點A處的θA和ωA，則可進一步通過式(3)和(4)求得B處的絕對轉角和絕對撓度。

由于同一剛結點處的各根桿件的轉角相同，故，如圖6所示，對處于同一直線上的兩根桿件，求ωB用式(4)，而求ωB′則用：

ωB′=ωA-θAlAB′+ΔωB′/A

(12)

圖6 剛體轉動引起的位移示意圖

4 示例

4.1 例1

計算圖7(a)所示結構中的θA和ωc，設桿件的截面抗彎剛度為EI。

解：將圖7(b)的AB段彎矩與圖7(d)的彎矩進行圖乘，可得：

將圖7(b)的AC段彎矩與圖7(f)的彎矩圖乘，可得：

/(EI)=10Fa3/(3EI)(↓)

由式(4)可得：

ωC=ωA+θAlAC+ΔωC/A=-Fa2/(2EI)×4a+10Fa3/(3EI)=4Fa3/(3EI)(↓)

圖7 例1的結構受力圖和彎矩圖

4.2 例2

計算圖8(a)所示結構中的θB和ωC，設各桿件的截面抗彎剛度均為EI。

解：將圖8(b)的AB段彎矩與圖8(d)的圖乘可得：

圖8 例2的結構受力圖和彎矩圖

忽略桿件軸向變形,則由于BC和CE的水平向支撐，AB桿中B點無垂直于桿軸向的位移，即ωB=0，又ωA=0，故由式(11)可得：

將圖8(b)中的BC段彎矩與圖8(f)的圖乘可得：

忽略桿件的軸向變形,則由于AB桿的豎向支撐，BC桿中的B點無垂直于桿軸向的位移，即ωB=0，又因為同一剛結點處各桿件的轉角相同，故由式(4)可得：

ωC=ωB+θBlBC+ΔωC/B=Fa2/(3EI)×a+Fa3/(6EI)=Fa3/(2EI)(↓)

4.3 例3

圖9(a)所示的超靜定剛架，已通過力法求解得到了其彎矩圖，橫梁和立柱的截面抗彎剛度分別為2EI和EI[7]。試進一步求θB、θC和ωG。

解：將圖9(a)的BD段彎矩與圖9(b)的圖乘可得：

又θD=0，故:

將圖9(a)的BC段彎矩與圖9(c)的圖乘可得：

圖9 例3的結構受力圖和彎矩圖

將圖9(a)的GB段彎矩與圖9(d)的圖乘可得：

忽略桿件的軸向變形，則由于桿件BD的支撐，BG桿件中ωB=0，故應用式(12)可得：

ωG=ωB-θBlBG+ΔωG/B=-θBlBG+ΔωG/B

=-(-40)/(EI)×2-25/(EI)=55/(EI)(↓)

4.4 例4

圖10 例4的結構受力圖和彎矩圖

解：忽略桿件的軸向變形，則由于BA桿的豎向支撐，在BC桿中的B點處無垂直于桿軸向的位移，即ωB=0，又因為θB已通過位移法求出，故可選B點作為參考點來求BC跨中任一點的絕對轉角和撓度。

將圖10(b)的BH段彎矩與10(c)的圖乘可得：

將圖10(b)的BH段彎矩與10(d)的圖乘可得：

ωH=ωB+θBlBH+ΔωH/B=θBlBH+ΔωH/B=(0.737×4-1.84)/(EI)=1.11/(EI)(↓)

5 結論

基于采用擬圖乘法證明了矩-面積第一定理和第二定理，并導出了局部圖乘法；通過例子展示了局部圖乘法的應用；局部圖乘法不僅可用于靜定結構，若與力法或位移法相結合，還可用于超靜定梁和剛架；可總結出局部圖乘法具有如下特點：

(1)轉角和撓度的方向只需根據最后求得的結果的正負號并結合在懸臂梁上施加的單位荷載方向，即可確定，無需像矩-面積定理一樣要靠畫變形示意圖和建立如圖1(a)所示的坐標系，然后根據式(1)和(2)中正負號的含義來判斷。

(2)如例題所示，輔以適當的分析，很多問題可轉化為用局部圖乘法來求解，相比全局圖乘法，計算量可減少，畢竟圖乘中經常會涉及諸如求面積、求形心位置和對應的坐標、分段和分塊等繁瑣的工作。

(3)聯合力法或位移法，可用于求解超靜定梁和剛架的位移。

(4)在求絕對轉角和絕對撓度時，全局圖乘法無需選擇參考點，因為它已包含了剛體平移和剛體轉動；而局部圖乘法和矩-面積定理一樣，要選擇參考點，后兩種方法中，剛體位移與變形的概念涇渭分明。

(5)盡管相比矩-面積定理多了一些畫單位力和力偶作用下的彎矩圖，但對于懸臂梁而言，卻非常方便。