基于MATLAB的高空飛翔運行參數計算

趙九峰，張勁松，史皓天，張麗麗，郭 飛，劉冬冬

(1.河南省特種設備安全檢測研究院，河南 鄭州 450000;2.中國特種設備檢測研究院，北京 100029)

0 引言

游樂設施的運行參數，不僅是游樂設施分級的依據，也直接影響到整個設備運行的安全性、穩定性和耐久性，因此游樂設施主要參數的計算是游樂設施設計中的一個重要組成部分。高空飛翔是一種高空、高速的大型游樂設施，屬于《中華人民共和國特種設備安全法》中規定的涉及生命安全、危險性較大的特種設備，其運行參數直接關系到設備的安全性和乘客的人身安危。高空飛翔設備運行參數的分析計算一直以來都是生產企業急需解決的問題[1]。

MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數學軟件，它們在數值計算方面功能強大。求解方程是工科學習和工程計算中最基礎、最常見的問題，掌握利用現代化工具求解方程的方法對于提升我們的工科素養至關重要[2]。本文利用MATLAB數學計算軟件對高空飛翔運行計算參數進行分析求解，以此提高設計效率和計算精度。

1 高空飛翔設備運行參數的數學模型

高空飛翔是集旋轉、升降運動于一體的游樂設施，是飛行塔類游藝機中的一個品種。高空飛翔設備主要由塔體、提升系統、座椅、臂架和旋轉提升體等幾部分組成，如圖1所示。塔體與基礎預埋螺栓連接，高空飛翔運行過程中，旋轉提升體繞豎直中心軸旋轉并提升。旋轉功能通過回轉機構來實現，回轉機構由回轉支承裝置和回轉驅動裝置兩部分組成，以回轉支承分界，上部是回轉部件，下部是提升體部件，旋轉提升體的旋轉動力由4臺減速電機提供，回轉支承外側為齒圈結構，并與小齒輪嚙合，通過電機驅動小齒輪達到回轉的目的[3]。座椅由環鏈均勻固定在旋轉臂架的端部，完成圓周運動。乘人和座椅受到環鏈的拉力、向心力F2和重力F1，如圖2所示。

座椅和乘人在運動過程中始終受到重力作用，受到的重力大小為：

F1=(m1+m2)g.

(1)

其中：g為重力加速度，取g=10 m/s2；m1為座椅組件質量，kg；m2為兩個乘人的質量(一個座椅乘坐兩名乘客)，kg。

1-塔體；2-提升系統；3-座椅；4-臂架；5-旋轉提升體

圖2 高空飛翔設備中乘人和座椅的受力分析

F2=(m1+m2)ω2r.

(2)

其中：ω為乘人和座椅做勻速圓周運動時的角速度，rad/s；r為座椅質心相對于回轉軸的回轉半徑,m。

在重力和座椅環鏈拉力的共同作用下，乘人和座椅在豎直方向處于平衡狀態，由三角函數關系得：

F1=Fcosθ.

(3)

其中：F為座椅環鏈的拉力，N；θ為座椅環鏈與豎直方向的夾角。

乘人和座椅在水平方向受到向心力，由三角函數關系可知：

F2=Fsinθ.

(4)

由式(1)～式(4)可得：

(5)

式(5)表明座椅的擺角(座椅環鏈與豎直方向的夾角)與質量無關，即無論座椅是滿載還是空載，擺角相同。由于座椅擺角θ始終為銳角，故由三角函數關系可得：

(6)

由式(5)、式(6)得：

從圖7 中可以看出，正常交易序列中每一步交易的轉移概率都大于風險概率臨界值，而黑客交易序列中存在轉移概率小于風險概率臨界值的交易。

(7)

由圖2三角函數關系可得：

r=L+lsinθ.

(8)

其中：L為臂架端部到回轉中心的距離，m；l為座椅環鏈的有效長度，m。

聯立式(7)和式(8)，可得到高空飛翔運行參數的數學模型：

(9)

綜上可知，高空飛翔運行參數的求解可歸結為方程(9)的求解。如果函數為一次多項式時，稱方程為線性方程；如果方程中包含三角函數、指數函數等超越函數時，則稱方程為超越方程。超越方程與n次代數方程統稱為非線性方程[4]。

超越方程一般沒有通用的求根公式，無法知曉根的個數，甚至無法判斷根的存在性[5]。如果采用手工數值解法，需要不斷地迭代和試算才可能得到一個粗糙的根(如果根存在的話)，計算工作量大且不能保證計算精度，甚至難以計算。

2 MATLAB求解方程

MATLAB是美國MathWorks公司出品的商業數學軟件，它將數值分析、矩陣計算、科學數據可視化以及非線性動態系統的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平[6]。

在MATLAB中，solve函數主要是用來求解線性方程組的解析解或者精確解,語法格式如下[7]：

Y=solve('eq1'，'eq2'，…，'var1'，'var2'，…).

(10)

其中：eq代表方程；var代表變量。

圖3為MATLAB求解方程流程。令高空飛翔運行參數數學模型中的sinθ=x、r=y，則可得方程組：

(11)

將式(11)的二元方程轉化為MATLAB函數語言為：

[x，y]=solve('x/((1-x∧2)∧0.5)=(ω∧2)*y/10','y=L+l*x','x','y').

(12)

圖3 MATLAB求解方程流程

3 實例計算

本文以32 m高空飛翔為計算對象，共有16組臂架(8組長臂架，8組短臂架)，每個臂架下端吊掛一個座艙，座椅組件質量m1=109 kg，一個座艙乘坐兩名乘客，共32 人，高空飛翔的旋轉角速度ω=1 rad/s，臂架端部到回轉中心的距離L長臂架=5.9 m、L短臂架=5.0 m，座椅環鏈的有效長度l=6.0 m。

《大型游樂設施安全規范》的6.1.2.2規定：乘坐成人1人～2人時按不低于750 N/人計算[8]。高空飛翔每個支臂上一個座艙乘坐兩人，因此按照750 N/人(75 kg)計算，兩個乘人的質量m2=150 kg。

將以上數據代入MATLAB公式(12)得：

長臂架：[x，y]=solve('x/((1-x∧2)∧0.5)=1*y/10','y=5.9+6*x','x','y').

短臂架：[x，y]=solve('x/((1-x∧2)∧0.5)=1*y/10','y=5.0+6*x','x','y').

利用MATLAB軟件求得：

4 結語

以某32 m高空飛翔為工程背景，利用數學計算軟件MATLAB對高空飛翔的運行參數進行分析計算。計算結果表明：編制MATLAB函數求解超越三角函數方程，使復雜繁瑣的高空飛翔運行參數計算過程變得十分快捷，有利于提高游樂設施的設計效率和設計質量，縮短了設計周期，對實際生產具有重要意義。