“四基”及其培養

使學生獲得進一步學習、未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”），是新版《數學課程標準》的一個重要特征。

一、從“雙基”到“四基”

重視基礎知識、基本技能（即“雙基”）是我國基礎教育的歷史傳統。

1952年頒布的《小學算術教學大綱（草案）》在教學目的中指出：“主要使兒童能夠自覺地、正確地和迅速地進行整數計算，能夠運用已經獲得的知識、技能和技巧去解答算術應用題和解決日常生活中簡單的計算問題。算術教學必須有助于兒童智慧的發展和道德品質的培養，以促進全面發展的教育任務的實現，應該做到使數和量成為兒童認識周圍現實的工具。”明確提出小學算術教學的任務是保證兒童自覺地、鞏固地掌握算術知識和直觀幾何知識，并使他們獲得實際運用這些知識的技能，是小學數學“雙基”的最早表述。

1963年的《全日制小學算術教學大綱（草案）》《全日制中學數學教學大綱（草案）》和1986年的《全日制中學數學教學大綱》都重視數學“雙基”教學。1986年的《全日制中學數學教學大綱》中明確提出了數學“基礎知識”與“基本技能”，數學“雙基”教學理念在教學大綱中正式確立。1978年的《全日制十年制學校小學數學教學大綱（試行草案）》將“小學算術”發展為“小學數學”，同樣重視基礎知識、基本技能，并著眼數學思想與數學能力。2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》明確提出，讓學生“獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能”。表述中保留了基礎知識、基本技能，并將基本思想、基本活動經驗的原型列入其中。2011年12月頒布的《義務教育數學課程標準（2011年版）》首次明確將基本思想、基本活動經驗與基礎知識、基本技能并列為“四基”。新版的《數學課程標準》繼承了這種表述。

“四基”是“雙基”內涵豐富發展和分化的結果，是我國數學課程改革的一次重大突破，是數學課程目標的一種新要求。由傳統的“雙基”發展成“四基”，體現了我國基礎教育在繼承中發展的特色。

二、“四基”內涵分析

1.基礎知識、基本技能

基礎知識指數學中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學方法。基本技能指能夠按照一定的程序與步驟運算、作圖或畫圖，能夠進行簡單的推理。

對于“雙基”的內容，即對于什么是學生應該掌握的“基礎知識”和“基本技能”，在信息技術突飛猛進，獲取知識、技能的渠道大大增加的當今時代，應該與時俱進。新版的《數學課程標準》適當刪減了繁雜的計算（如三位數乘三位數等）、重復的內容（如等腰梯形）等，適當增加了數感、估算、算法、符號意識、收集和處理數據、統計初步、數學建模初步等內容，就是數學“雙基”內容與時俱進的具體體現。

2.基本思想

數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識，是現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。數學基本思想是數學產生和發展所依賴的思想，是學生領會之后能夠終身受益的數學思想。數學基本思想是體現或應該體現于基礎數學中具有奠基性、總結性的，最廣泛的數學思想，它含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特征，并且歷史地發展著。

數學發展所依賴的思想，本質上有三個，它們構成數學的基本思想。第一個是抽象。數學中的抽象指，把人們日常生活和生產實踐中那些和數學有關的東西析取出來，作為數學研究的對象。第二個是推理。數學自身的發展依靠的是推理，即在一些假設下，按照一定的邏輯規律進行推理，得到命題和定理。第三個是模型。模型是溝通數學與外部世界的橋梁。模型是在講故事，是用數學語言表達的現實生活中的故事。

數學思想不同于數學方法或數學思想方法。數學思想往往是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內在的、概括的，而數學方法往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的。數學思想常常通過數學方法去體現，而數學方法又常常反映了某種數學思想。

數學思想是數學教學的核心和精髓，數學教學中應該努力反映和體現數學思想，讓學生體會和領悟數學思想，提高數學素養。

3.基本活動經驗

基本活動經驗指學生親自或間接經歷了活動過程而獲得的經驗。基本活動經驗是個體在經歷了具體的學科活動之后留下的具有個體特色的內容，既可以是感覺知覺的，也可以是經過反省之后形成的經驗。基本活動經驗包含策略性內容，模式性、方法性內容與體驗性內容等，又可以區分為操作的經驗、探究的經驗、思考的經驗與復合的經驗。基本活動經驗包含歸納概括、類比推廣、數學表達、證明四個核心成分，也可以簡單區分為思維的經驗和操作的經驗。

數學活動經驗從本質上講是關于數學活動的緘默知識，它儲存于人的潛意識中，對數學直覺思維的產生起著重要的作用。

數學基本活動經驗與基礎知識不同。知識可以傳遞;數學基本活動經驗不能被傳遞，需要親身經歷和感悟。數學基本活動經驗也不同于數學能力。能力能被人為細化，直接影響活動效率;數學基本活動經驗更為綜合，沒有直接載體說明經驗的有無或強弱，但一定時間積淀的思維模式反映數學基本活動經驗積累的結果。數學基本活動經驗是經歷和感悟了數學歸納推理和演繹推理后積淀的思維模式，最終建立一定的數學直觀。

積累基本活動經驗可以幫助學生理解數學知識，感悟數學學科思維方式。在數學課程教學中，基本活動經驗是綜合實踐活動的基本目標之一，是過程與方法目標的具體化，它與基礎知識、基本技能、基本思想同等重要。

4.四基之間的關系

（1）“雙基”教學是我國的教學傳統，但是已經不能適應當今時代的發展。從方法論的角度分析，我國中小學數學教育的優勢在于基礎知識（概念記憶與命題理解）扎實、基本技能（證明技能與運算技能）熟練，這與數學“雙基”教育所希望達到的目的是一致的。但是，從人發展的角度、從培養創新性人才的角度考慮，這種知識靠記憶、技能靠熟練的方法依賴于“熟能生巧”的傳統模式，是不夠的、甚至是不利的。事實上，真理的發現主要靠歸納（即廣義的歸納，也稱之為合情推理），而驗證、證明真理需要靠演繹。所以，必須將基本思想、基本活動經驗放置到與基礎知識、基本技能同等重要的位置。這正是新版《數學課程標準》的亮點之一。

（2）讓學生獲得基本思想和基本活動經驗是培養創新能力的需要。創新，本質上源于歸納，而歸納能力是建立在實踐基礎上的。歸納能力的培養可能會更多地依賴于“過程的教育”，依賴于經驗的積累。這種積累正是基本思想、基本活動經驗的積累和形成過程。也就是說，基本思想、基本活動經驗只能在過程中加以培養，而不能采取簡單的結果式的教育方式。這里的“過程的教育”并不是指在授課時要講解，或者讓學生經歷知識產生的過程，甚至不是指知識的呈現方式，而是指學生思考的過程、探究的過程、預測的過程、抽象的過程、推理的過程、反思的過程等。通過這些過程，學生親身感悟歸納、演繹的思想和方法，逐漸積累歸納、演繹并舉的思考與實踐的直接經驗，而這些恰恰是傳統數學課堂教學中被忽視的東西。

（3）隱性的基本思想、基本活動經驗必須與顯性的基礎知識、基本技能相結合。基礎知識和基本技能是數學教學的主要載體，需要花費較多的課堂時間;數學思想是數學教學的精髓，是統領課堂教學的制高點;數學活動是不可或缺的教學形式與過程。從知識的角度來看，“雙基”是一種理性的、形式化的結果性知識，而基本活動經驗則是一種感性的、情景化的過程性知識。它們各自強調了數學內容的一個側面，前者形成的是一種知識系統，后者形成的是一種經驗系統，二者的有機結合才能形成完整的數學知識結構。就方法而言，“雙基”以演繹法為主，而結論的預測與發現、推理思路的探索與調整以及知識的實際應用等，靠演繹法是推不出來的。

三、如何培養

首先，基本思想、基本活動經驗必須融于基礎知識、基本技能的教學之中。義務教育數學教學就是要幫助學生在獲得必要的基礎知識和基本技能、感悟數學基本思想、不斷積累數學基本活動經驗的過程中，逐步提高發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，逐步發展數學實踐能力及創新意識，樹立初步的科學精神，促進學生學會學習。

一方面，在數學概念、公式、法則、命題等的形成過程中培養學生的抽象思想，是數學抽象思想、思維經驗培養的主渠道。數學課程教學中，在展示數學對象逐級抽象的同時，也要充分展示數學知識發生發展的鮮活過程，即通過直覺、借助歸納，進而思考、預測結論，通過演繹推理驗證結論。另一方面，我們要在數學概念、數學技能和命題、法則等的教學中，注重培養學生的歸納、類比、邏輯推理等數學思想。歸納、類比、邏輯推理等數學基本思想的培養，必須融入基礎知識、基本技能的日常教學之中，這是中小學數學教學的主渠道。

其次，基本思想、基本活動經驗也需要專門、專題培養。

第一，綜合實踐領域的教學是積累基本活動經驗的主渠道之一。數學課程標準中明確提出：“參與綜合實踐活動，積累綜合運用數學知識、技能和方法等解決簡單問題的數學活動經驗。”這個過程與發展“四能”是融為一體的。例如：

觀察下列問題：

（1）計算：15×15? 25×25

（2）你能發現什么共性規律？能推廣嗎？

（3）如何向別人說明其正確性呢？

問題（1），學生通過計算得出15×15=225，25×25=625。

其共性規律，即問題2，在學生觀察、思考的基礎上，教師出示：□5×□5=25，其中的=□×（□+1）。學生通過計算發現：問題（1）中的兩道計算題，“”的數字都是相同因數十位上的數字乘這個數字加1。這個發現對不對，需要進一步驗證。學生用“45×45”驗證發現，用“4×（4+1）”的方式，得到的結果“2025”與筆算的結果“2025”是一致的。從而，證明猜想的規律可能是正確的。

如何向別人說明其正確性呢？“□5”用字母表示就是“10·□+5”，于是，“□5×□5”可以寫成“（10·□+5）·（10·□+5）”，利用乘法對加法的分配律，可以得到其結果是“100×□×（□+1）+25”。從而，發現的規律是正確的。

上述案例在鞏固“兩位數乘兩位數”基礎知識、基本技能的過程中，讓學生再次經歷歸納和猜測的思維過程、推理過程，獲得了“個案1、…、個案n→歸納出一個共性規律，猜測→驗證自己的猜測→得出一般結論”的直接經驗和體驗，經歷了一次“數學家式”的思考過程。教學的層次性并不是在知識技能的簡單重復上下功夫，而是按照知識技能的復雜程度、學科思維的深廣度、待解決問題的繁難程度等多條線索，交替螺旋上升，進而讓學生獲得知識技能形成的經驗、獨立思考的經驗、猜測發現的直接經驗和體驗，最終形成良好的數學學科直觀，提升其數學學科素養。這種過程性教學正是數學教育的魅力之所在。

第二，數學抽象思想存在于數學概念、命題的發展過程之中，在獲得概念、命題的同時也要關注數學抽象思想的培養。

教學“兩位數加一位數的進位加法”“27+5=？”時，我們可以借助“十個雞蛋一盒”這個經驗。學生已經擁有相對豐富的類似經驗或經歷——“27”表示兩盒雞蛋+一盒不滿的雞蛋（即盒子里有7個雞蛋，這意味著空著3個空位），另有5個雞蛋。一共幾個雞蛋呢？借助生活經驗，學生很自然地將5個雞蛋中的3個拿出來，填補在第三盒雞蛋的3個空位上，即將空位補齊，湊成一整盒，余下2個雞蛋。這就是將5分成3與2的和，用3與27湊成30，因而，結果是32。這是最樸素的“湊十進位”，而這里的“一（整）盒”就是最直接、最形象的“十位”原型，屬于典型的借助“實物”的直接抽象。

在上面的過程中，學生一方面能夠獲得操作的經驗，另一方面逐漸積淀“十進位”的抽象經驗，逐步感知位置制，形成“兩位數加一位數的進位加法”的運算技能。

第三，數學模型思想的培養往往與基本活動經驗的積淀融為一體。例如，“雞兔同籠”問題：今有雞兔同籠，上有35個頭，下有94只足，問雞兔各有幾只？

這道題用列方程的方法解答比較簡單。采取列方程法解決問題，關鍵在于建立方程“模型”的抽象過程：

①發現問題中的等量關系。即：雞腳數與兔腳數之和，就是總腳數;雞頭數與兔頭數之和，就是總頭數;每只雞的腳數比每只兔的腳數少2”。

②用等式表達關系。即：雞腳數+兔腳數=總腳數;雞頭數+兔頭數=總頭數;每只雞的腳數=每只兔的腳數-2。

③用符號語言表達關系。即：雞+兔=94;雞+兔=35。其中，“雞”表示雞的總腳數，“兔”表示兔的總腳數;“雞”表示雞的總頭數，“兔”表示兔的總頭數。

④用含有未知數的方程表達關系。即：設籠中有兔[x]只，由第二個關系知道雞有（35-x）只，于是，兔的總腳數為4x，雞的總腳數為2·（35-[x）。將這個關系帶入另一個等式，得：4x+2（35-x）=94.

解方程的基本思路是，將含有未知數的項放在方程的一邊，將不含未知數的項放在另一邊，進行代數式化簡和計算。即，將方程化為“ax=b”的形式，進而求出解：[x=12]。解方程的要點在于“化繁為簡、化生為熟”的化歸思想。

利用列一元一次方程解決問題，核心在方程建模的過程，即：發現問題中的等量關系-用等式表達關系-用符號語言表達關系-用含有未知數的方程表達關系-一元一次方程。

總之，數學基本思想的培養、基本活動經驗的積淀，必須融入數學知識、技能的日常教學之中，而不能“孤軍奮戰”。同時，充分利用綜合實踐領域的教學，是培養學生基本活動經驗不可缺少的載體。

責任編輯? 姜楚華

孔凡哲

教育學博士，中南民族大學教育學院副院長、二級教授、博士生導師，中南民族大學教育碩士學位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全國高考數學命題專家，國家義務教育數學課程標準研制組核心成員，高中數學課程標準研制組成員，教育部中學教師專業標準研制組成員、義務教育質量監測專家、教育現代化縣級示范區評估專家、哲學社會科學重大重點項目評審專家;主持完成國家、省部級以上科研項目12項;出版專著47部;先后獲得教育部第七屆高等學校科學研究（人文社會科學）優秀成果獎著作獎、教育部第四屆全國教育科學優秀成果獎著作獎、教育部第五屆全國教育科學優秀成果獎著作獎等獎項。