考慮決策者權(quán)重和核心評(píng)級(jí)的模糊排序方法

郭皓月，樊重俊

上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093

1 引言

決策問(wèn)題的關(guān)鍵是從備選方案中選擇一種目標(biāo)最優(yōu)化的方案，及時(shí)性和科學(xué)性是高質(zhì)量決策的核心。通常情況下，現(xiàn)實(shí)決策問(wèn)題的評(píng)價(jià)對(duì)象具有復(fù)雜性，決策者的偏好具有差異性，決策者的思維具有模糊性，評(píng)價(jià)語(yǔ)言具有不確定性，這類決策問(wèn)題稱之為模糊多屬性決策（Fuzzy Multiple Attribute Decision-making，F(xiàn)MAD）。傳統(tǒng)的決策方法很難依據(jù)決策者的模糊評(píng)價(jià)語(yǔ)言給出合理的方案排序，進(jìn)而增加了最終方案選擇的困難。因此，研究模糊多屬性決策問(wèn)題對(duì)提升組織與企業(yè)的生產(chǎn)、運(yùn)營(yíng)、管理的效率有著重要意義。

模糊集（Fuzzy Set）率先由美國(guó)控制論學(xué)者Zadeh于1965 年提出，這是一種十分符合客觀實(shí)際且應(yīng)用廣泛的描述方法，其核心是引入隸屬度概念以描述“是”與“非”的中間狀態(tài)，突破傳統(tǒng)決策中“非此即彼”的桎梏[1]。1976年，F(xiàn)uzzy Set引入我國(guó)后，發(fā)展十分迅速，已在決策科學(xué)等眾多領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。FMAD 一直是模糊集理論（Fuzzy Set Theory，F(xiàn)ST）的熱門課題之一，也是貼近真實(shí)評(píng)價(jià)、極具挑戰(zhàn)性的研究熱點(diǎn)。國(guó)內(nèi)外研究一方面集中在模糊評(píng)價(jià)語(yǔ)言的量化處理上，Herrera和Martinez 等提出了關(guān)于語(yǔ)言信息集結(jié)的二元語(yǔ)義分析方法[2-4]。徐澤水等[5]給出了一種將決策者的定性語(yǔ)義判斷轉(zhuǎn)化為定量權(quán)重信息的決策支持方法，這大大降低了決策者的工作量。蔣紹忠[6]通過(guò)集結(jié)不同專家綜合意見(jiàn)，豐富了模糊多屬性決策的賦權(quán)理論。

另一方面，針對(duì)多屬性決策（Multi-Attribute Decisionmaking，MAD）方法的改進(jìn)，也備受國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。李存斌等[7]將前景理論引入模糊數(shù)；李超群等[8]構(gòu)建了方案與正負(fù)理想解的猶豫模糊“垂面”之間的距離公式，從而克服了傳統(tǒng)TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）評(píng)價(jià)某一方案同時(shí)接近正負(fù)理想解的局限；寶斯琴塔娜和齊二石[9]在有序模糊數(shù)[10-11]的基礎(chǔ)上，增加了一個(gè)方向?qū)傩?，提出了灰色關(guān)聯(lián)的TOPSIS 優(yōu)選算法，使具有歧義語(yǔ)言的標(biāo)度更加清晰，并減少信息損失。孫世巖和朱惠民[12]在改進(jìn) PROMETHEEII（Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluations）的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析參數(shù)的魯棒性配置優(yōu)選函數(shù)的參數(shù)。另外，一些新的FMAD方法被相繼提出。楊威等[13]在方案排序前，運(yùn)用TOPSIS 給出各評(píng)價(jià)專家權(quán)重，這克服了決策者自身知識(shí)結(jié)構(gòu)的不完備。曾三云和龍君[14]在已知屬性優(yōu)先序的情況下，通過(guò)期望值算子得到各方案量化后的期望效用值，并在此基礎(chǔ)上對(duì)備選方案進(jìn)行排序。Yatsalo等[15]在模糊環(huán)境下提出了一種新的MAD 方法用以方案排序，此方法給出了模糊可接受性分析（Fuzzy Rank Acceptability Analysis，F(xiàn)RAA），進(jìn)一步研究并修正了模糊算法中過(guò)估計(jì)的問(wèn)題。

綜上，多屬性決策的不確定性一般不能完全由統(tǒng)計(jì)概率模型處理，這也是增加MAD 復(fù)雜性的主要原因之一。諸如 AHP（Analytic Hierarchy Process）[16]、MAVT（Multi-Attribute Value Theory）[17]、MAUT（Multi-Attribute Utility Theory）[18]之類的傳統(tǒng)決策方法依賴于決策者的主觀判斷，而現(xiàn)有的MAD 方法沒(méi)有考慮語(yǔ)言評(píng)價(jià)的模糊性與偏好的差異性，如TOPSIS[13]和PROMETHEE[12]等。鮮有國(guó)內(nèi)外模糊多屬性決策研究，綜合考慮決策者和評(píng)價(jià)對(duì)象屬性權(quán)重對(duì)方案排序的影響。對(duì)此，本文針對(duì)模糊多屬性決策問(wèn)題，在設(shè)計(jì)決策者權(quán)重迭代算法和評(píng)價(jià)對(duì)象屬性權(quán)重確定方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合模糊理論與積分式偏好函數(shù)，構(gòu)造積分式模糊排序方法，同時(shí)通過(guò)算例分析和決策結(jié)果的對(duì)比，以期證明該方法的一致性、可行性、有效性及優(yōu)越性。

2 模糊理論及定義

相對(duì)于數(shù)學(xué)上的集合來(lái)說(shuō)，現(xiàn)實(shí)評(píng)價(jià)對(duì)象不能簡(jiǎn)單用“屬于”“不屬于”某個(gè)集合來(lái)描述元素與模糊集的關(guān)系，而是通過(guò)反映某元素隸屬于模糊集合的程度來(lái)衡量，即隸屬度。隸屬度函數(shù)的值在閉區(qū)間[0，1]內(nèi)取任意值，其值越接近于1表示隸屬度越大，取值為0表示元素不屬于模糊集合，取值為1表示元素屬于模糊集合。

2.1 模糊集及隸屬函數(shù)

定義1 給定論域X，從X到單位區(qū)間[0，1]的映射，稱為X上的模糊集，記作A，映射稱為模糊集A的隸屬函數(shù)，μA(x)表示x∈X屬于模糊集的程度。

由定義1可以看出，模糊集A由元素和對(duì)應(yīng)的隸屬度兩部分組成，可表示為A={(x,μA(x)):x∈X}，所有模糊集組成的集合，記為F。在現(xiàn)實(shí)情形中，A表示評(píng)價(jià)對(duì)象，如屬性、方案等。常見(jiàn)的模糊集有區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)、梯形模糊數(shù)、語(yǔ)言變量等[6]，其中三角模糊數(shù)的應(yīng)用較為廣泛。令三角模糊數(shù)為，其隸屬度表達(dá)式為：

其中，0＜a ＜b ＜c,a稱為的評(píng)級(jí)下限，c稱為的評(píng)級(jí)上限，b稱為的核心評(píng)級(jí)。

2.2 模糊截集

定義2 若A∈F,α∈[0,1],A的α截集為Aα={x∈X|μA(x)≥α}。不同水平的α對(duì)應(yīng)x的下、上邊界分別記為Uα、Vα，模糊集A也可以表示為：

由定義1和定義2，三角模糊數(shù)α截集如圖1所示。

2.3 模糊距離

定義3 若二者間的距離記為Aij，則：

其中，x,y,z∈X，代表關(guān)于對(duì)象的評(píng)價(jià)。

圖1 三角模糊數(shù)α 截集

本文記d+(Aij)、d-(Aij)分別表示由α和Aij圍成區(qū)域的正向面積和負(fù)向面積[19]，如下：

其中，θ+(y)、θ-(y)均為是階躍函數(shù)，有。由α和Aij圍成區(qū)域的總面積d(Aij)可表示：

2.4 模糊關(guān)系

定義4是模糊直積空間F×F下的模糊關(guān)系，表達(dá)式為：

基于定義3、定義4，對(duì)于模糊直積空間F×F中的積分式模糊關(guān)系，若有d(Aij)＞0，本文定義積分式模糊偏好函數(shù)如下：

根據(jù)任意兩個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象間的偏好度，比較二者間的優(yōu)劣。對(duì)任意Ai,Aj∈F，有：

3 IFRM設(shè)計(jì)

3.1 模糊評(píng)價(jià)量化

自然語(yǔ)言評(píng)價(jià)是生活中常用的模糊評(píng)價(jià)方式，包含決策者偏好中固有的主觀性。日常生活中，人們常用“很好”、“一般”和“差不多”等這些模棱兩可的語(yǔ)言變量展開(kāi)評(píng)價(jià)，甚至做決策，這顯然是不科學(xué)的。對(duì)此，可運(yùn)用模糊評(píng)級(jí)的方法將語(yǔ)言變量轉(zhuǎn)變?yōu)槟：龜?shù)。本文選取1-3-5-7-9評(píng)價(jià)等級(jí)，將屬性或方案評(píng)價(jià)的語(yǔ)言變量轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的三角模糊數(shù)評(píng)級(jí)[20]，如表1。

表1 語(yǔ)言變量對(duì)應(yīng)的模糊評(píng)級(jí)

把語(yǔ)言變量轉(zhuǎn)化為模糊評(píng)級(jí)后，運(yùn)用隸屬度函數(shù)，求得包含模糊評(píng)價(jià)信息的三角模糊數(shù)，進(jìn)而為備選方案排序奠定基礎(chǔ)。本文選取三角模糊數(shù)的隸屬度函數(shù)如圖2所示。

圖2 各評(píng)級(jí)隸屬度函數(shù)

3.2 綜合集結(jié)模糊評(píng)級(jí)的確定

本文將模糊的語(yǔ)言評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化為三角模糊數(shù)，進(jìn)而求得代表備選方案的綜合集結(jié)模糊評(píng)級(jí)，具體步驟如下：

步驟1 方案集和評(píng)價(jià)屬性的確定。

假設(shè)評(píng)價(jià)對(duì)象有n個(gè)備選方案、m個(gè)評(píng)價(jià)屬性、h名決策者，決策者來(lái)自p個(gè)群體，且p≤h，方案集S、屬性集Y、決策者集D及群體集O分別表示為：

令gk(k=1,2,…,h)表示第k個(gè)決策者的權(quán)重，由步驟4 中的決策者權(quán)重調(diào)整算法確定。第j個(gè)屬性對(duì)應(yīng)的權(quán)重為wj(j=1,2,…,m)，并由步驟5中的熵權(quán)法計(jì)算給出。

步驟2 模糊決策矩陣的構(gòu)建。

第k位決策者Dk對(duì)第i個(gè)方案Si(i=1,2,…,n)關(guān)于第j個(gè)屬性Yj的評(píng)價(jià)為（自然語(yǔ)言評(píng)價(jià)），轉(zhuǎn)化為三角模糊數(shù)，模糊數(shù)評(píng)價(jià)矩陣為，簡(jiǎn)稱評(píng)價(jià)矩陣。所有決策者的三角模糊數(shù)評(píng)級(jí)上、下限對(duì)應(yīng)的最大、最小值，代表集結(jié)模糊評(píng)級(jí)的上、下界限。在決策者權(quán)重下，所有決策者核心評(píng)級(jí)的加權(quán)累加值，表示集結(jié)模糊評(píng)級(jí)的核心評(píng)級(jí)。這樣集結(jié)模糊評(píng)級(jí)能考慮所有決策者的觀點(diǎn)和傾向，其中核心評(píng)級(jí)是關(guān)鍵。則第i個(gè)方案的第j個(gè)屬性的集結(jié)模糊評(píng)級(jí)表示為：

在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建方案集S與屬性集Y的模糊決策矩陣，簡(jiǎn)稱決策矩陣：

步驟3 評(píng)價(jià)矩陣和決策矩陣的規(guī)范化。

若對(duì)應(yīng)的Yj為正向指標(biāo)（或效益型指標(biāo)），=，其中；若對(duì)應(yīng)的Yj為負(fù)向指標(biāo)（或成本型指標(biāo)），，其中=min{aij,bij,cij}。同理，按照上述方式規(guī)范化為。

步驟4 決策者權(quán)重調(diào)整。

為了決策的科學(xué)性，決策者通常來(lái)自不同的群體，他們?cè)谥R(shí)背景、個(gè)人偏好等方面均存在著顯著差異。這也使得在決策過(guò)程中，決策者的評(píng)價(jià)有不同的權(quán)重，如行業(yè)專家的評(píng)價(jià)更具參考價(jià)值，其權(quán)重相對(duì)較大。

（1）初始群體權(quán)重與個(gè)體權(quán)重

根據(jù)決策中所屬群體和決策問(wèn)題的特點(diǎn)，運(yùn)用AHP給出p個(gè)群體的主觀權(quán)重 (λ1,λ2,…,λq,…,λp)。各決策者的初始權(quán)重等于所屬群體的權(quán)重平均值，例如若決策者Dk屬于群體Oq,評(píng)價(jià)的權(quán)重為λq/card(Oq)。令G0=為決策者的初始權(quán)重。進(jìn)一步，由步驟2、步驟3給出G0下的規(guī)范化評(píng)價(jià)矩陣和決策矩陣。

（2）權(quán)重調(diào)整規(guī)則

在初始權(quán)重G0下，評(píng)價(jià)矩陣偏離決策矩陣越大，評(píng)價(jià)可參考的價(jià)值越小，權(quán)重的調(diào)整幅度θ也越小。第k位決策者的第τ次權(quán)重調(diào)整規(guī)則如下：

其中，τ表示決策者權(quán)重迭代的次數(shù)，‖ ‖2表示歐式距離，分別代表第τ-1 次迭代中決策者k的規(guī)范化評(píng)價(jià)矩陣與決策矩陣。

個(gè)體評(píng)價(jià)矩陣和決策矩陣間的偏離度可近似由二者核心評(píng)價(jià)標(biāo)度間的偏離度衡量，如下：

（3）權(quán)重調(diào)整終止條件

判斷相鄰迭代的決策者權(quán)重相差不大于某個(gè)足夠小的常數(shù)ε時(shí)，即，權(quán)重調(diào)整終止，Gτ作為決策者的穩(wěn)定權(quán)重，并計(jì)算出轉(zhuǎn)入步驟5。否則，繼續(xù)迭代，τ的計(jì)數(shù)加1。

步驟5 決策屬性權(quán)重的確定。

（1）計(jì)算屬性Yj的信息熵

其中，φ是系數(shù)，且表示取三角模糊數(shù)的核心評(píng)價(jià)標(biāo)度。

（2）確定屬性的權(quán)重

在求得第j個(gè)屬性信息熵ej的基礎(chǔ)上，計(jì)算第j個(gè)屬性的權(quán)重wj，如下：

其中，lj表示屬性集中第j個(gè)屬性信息熵的冗余，有：

步驟6 計(jì)算加權(quán)規(guī)范化決策矩陣。

基于已求得的評(píng)價(jià)屬性權(quán)重wj，計(jì)算加權(quán)規(guī)范化決策矩陣：

其中，“·”表示廣義乘子。

步驟7 綜合集結(jié)模糊評(píng)級(jí)。

整體考慮各屬性的模糊評(píng)價(jià)，形成方案Si的綜合集結(jié)模糊評(píng)級(jí)：

其中，ai=min{a′ij}，ci=max{c′ij}。

3.3 模糊集的排序

在決策理論中，模糊排序描述更符合人們的直覺(jué)，模糊排序置信度能夠給出該直覺(jué)的概率。

（1）模糊排序表示

模糊排序表示（Fuzzy Rank Expression，F(xiàn)RE）即通過(guò)符號(hào)表達(dá)式說(shuō)明備選方案排序的規(guī)則。令{A1,A2,…,Ai,…,An}?F是模糊集一個(gè)有限集。本文定義模糊排序描述為：

Tit=(Ai,t)={Ai排在第t位 },i,t=1,2,…,n

對(duì)于Tit，在模糊集集合{A1,A2,…,Ai,…,An}中存在t-1 個(gè)模糊集排在Ai的前面，n-t個(gè)模糊集排在Ai的后面。備選方案選取原則為：

在相對(duì)偏好μR～(Ai,Aj),i,j∈{1,2,…,n}下，Tik∈F×Nn(Nn={1,2,…,n})的表達(dá)式如下：

若模糊集Ai排在第一位：

若模糊集Ai排在第二位：

若模糊集i排在第t位：

若模糊集Ai排在末位：

其中，(∨)、(∧)分別表示取大和取小的廣義模糊算子。

（2）模糊排序置信度

令B(i,t)表示模糊集Ai排在第t位的置信度，稱作模糊排序置信度（Degree of Fuzzy Rank Confidence，DFRC）或模糊排序的可接受度指數(shù)。某個(gè)模糊排序表示Tit，其對(duì)應(yīng)的排序可接受度計(jì)算規(guī)則如下：

模糊集i排在第一位的置信度為：

模糊集i排在第二位的置信度為：

模糊集i排在第t位的置信度為：

模糊集i排在末位的置信度為：

模糊排序置信度（DFRC）在理論上進(jìn)一步驗(yàn)證了模糊排序表示（FRE）的可行性。從概率角度來(lái)看，式（22）～（25）分別表示式（18）～（21）模糊排序出現(xiàn)的可能性大小。顯然，可將各備選方案看成模糊集，備選方案最佳的模糊排序Tit是最大化排序置信度，即。

3.4 IFRM流程

本文針對(duì)模糊多屬性決策問(wèn)題，首先將多個(gè)決策者的評(píng)價(jià)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為三角模糊數(shù)。然后采用AHP主觀給出各群體和決策者初始權(quán)重，并基于個(gè)體評(píng)價(jià)矩陣和決策矩陣間的差距，更新決策者權(quán)重。在最終迭代的規(guī)范化決策矩陣基礎(chǔ)上，運(yùn)用熵權(quán)法計(jì)算出方案各屬性權(quán)重，進(jìn)而求出加權(quán)規(guī)范化決策矩陣和各方案對(duì)應(yīng)的綜合集結(jié)模糊評(píng)級(jí)。最后通過(guò)積分式模糊偏好函數(shù)，求出置信度最大的方案排序。這個(gè)過(guò)程稱為積分式模糊排序方法（Integral Fuzzy Ranking Method，IFRM），它是一種改進(jìn)了的模糊方案排序方法。IFRM流程如圖3。

步驟1 輸入方案集S、屬性集Y、群體集O、常數(shù)ε∈[0,1]及所有決策者對(duì)每個(gè)方案對(duì)應(yīng)屬性的模糊語(yǔ)言評(píng)價(jià)，并令最佳方案排序的位序?yàn)閜os=1，決策者權(quán)重計(jì)算迭代次數(shù)τ=0。

步驟2 運(yùn)用AHP 確定p個(gè)群體的主觀權(quán)重，在此基礎(chǔ)上，計(jì)算決策者初始權(quán)重G0。依據(jù)表1 將模糊評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化為三角模糊數(shù)，形成評(píng)價(jià)矩陣。然后運(yùn)用式（8）整合出第i個(gè)方案第j個(gè)屬性的集結(jié)模糊評(píng)級(jí)，并形成原始決策矩陣。接著通過(guò)式（9），給出對(duì)應(yīng)的規(guī)范化評(píng)價(jià)矩陣和決策矩陣。

步驟3τ=τ+1，按照式（10）和（11）更新第τ代所有決策者的權(quán)重Gτ，參照式（8）和（9）記錄規(guī)范化決策矩陣。

步驟4 判斷個(gè)體權(quán)重更新是否滿足終止條件。若，導(dǎo)出并轉(zhuǎn)入步驟 5；否則轉(zhuǎn)入步驟3。

步驟5 取中每個(gè)三角模糊數(shù)的核心評(píng)價(jià)標(biāo)度，代替對(duì)不同方案屬性的評(píng)價(jià)。在此基礎(chǔ)上運(yùn)用熵權(quán)法（式（12）～（15））確定第j個(gè)評(píng)價(jià)屬性的權(quán)重wj，進(jìn)而通過(guò)式（16）和（17）分別計(jì)算加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化模糊決策矩陣、第i個(gè)備選方案的綜合集結(jié)模糊評(píng)級(jí)。

步驟6 判斷是否仍有備選方案未被排序，即pos≤n?若是，轉(zhuǎn)到步驟7；否則轉(zhuǎn)到步驟10。

步驟7 基于積分式模糊偏好（式（2）～（6））和方案i排在第pos序位的概率計(jì)算規(guī)則（式（22）～（25）），給出各方案排在第pos序位的置信度，然后選擇對(duì)應(yīng)置信度最大的方案s*作為最佳方案，并將方案s*和置信度分別記錄在數(shù)組Choice_s和Choice_B中。

圖3 IFRM流程圖

步驟8 更新待排序的備選方案集。從原方案集S中剔除已排序的方案s*作為新的方案集，即S=S-s*。

步驟9 最佳方案排序的位序pos向前移動(dòng)一位，即pos=pos+1。然后，返回步驟6。

步驟10 輸出數(shù)組Choice_s和Choice_B，結(jié)束算法。

從中可以分析出，AHP確定群體初始權(quán)重的時(shí)間復(fù)雜度為O(p2)。決策者權(quán)重更新算法的迭代次數(shù)與終止條件ε和決策者規(guī)模h有關(guān)，式（10）執(zhí)行的次數(shù)記為f(h,ε)。ε取值越小，該算法的時(shí)間復(fù)雜度越大，記為O(f(h,ε))，本文ε取0.05?；诜e分式模糊偏好，對(duì)備選方案兩兩對(duì)比過(guò)程的時(shí)間復(fù)雜度為O(n2)。因此，針對(duì)模糊多屬性決策問(wèn)題，IFRM 綜合考慮了決策者評(píng)價(jià)和評(píng)價(jià)對(duì)象屬性間的差異，并給出了最佳決策的置信度，算法的復(fù)雜度為max{O(p2),O(f(h,ε)),O(n2)}。

4 算例分析

4.1 問(wèn)題描述

共享單車作為環(huán)保、共享經(jīng)濟(jì)的代表性產(chǎn)業(yè)之一，不僅符合“綠色交通”“低碳出行”的生活理念，而且以其便捷、低廉等特性進(jìn)一步解決了出行“最后一公里問(wèn)題”。2015年以市場(chǎng)為主導(dǎo)的共享單車逐漸走入人們的生活，并為廣大的城市居民所接受，成為其青睞的出行方式。但是市場(chǎng)上各種品牌的共享單車繁多，目前用戶量較大的4 種品牌共享單車：A 品牌單車S1、B 品牌單車S2、C品牌單車S3和D品牌單車S4，它們各有側(cè)重、各有優(yōu)勢(shì)。例如A比較安全，置物能力強(qiáng)；B外觀漂亮；C用車押金較少，舒適度高；D用車單價(jià)低。居民在選擇何種品牌共享單車上往往“不知所措”。本文從共享單車8個(gè)屬性：舒適度Y1、置物能力Y2、客服質(zhì)量Y3、安全性Y4、美觀度Y5、找車難度Y6、用車押金Y7、用車單價(jià)Y8，其中Y1～Y5為正向指標(biāo)，Y6～Y8為負(fù)向指標(biāo)，設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)卷，以期收集用戶的模糊語(yǔ)言評(píng)價(jià)，進(jìn)而運(yùn)用IFRM方法給出4 種共享單車的居民傾向排序。同時(shí)，與其他MAD 方法排序結(jié)果對(duì)比，以期驗(yàn)證IFRM 方法的可行性、有效性和優(yōu)越性。

4.2 方案優(yōu)先度

第k位決策者對(duì)每個(gè)方案Si(i=1,2,3,4)關(guān)于屬性Yj(j=1,2,…,8)的語(yǔ)言評(píng)價(jià)為x~ijk，并將其量化為S與Y的決策矩陣，如表2所示。依據(jù)不同方案不同屬性對(duì)應(yīng)的三角模糊數(shù)的核心評(píng)價(jià)標(biāo)度，運(yùn)用熵權(quán)法求出8個(gè)屬性權(quán)重如表2，其中居民最看重用車押金，其次是安全性、舒適性、用車單價(jià)和找車難度，它們的權(quán)重均超過(guò)0.1。在共享單車領(lǐng)域，時(shí)常出現(xiàn)押金難退還的現(xiàn)象，導(dǎo)致決策者對(duì)騎車押金較為敏感。

表2中的模糊決策矩陣規(guī)范化后，與屬性權(quán)重做廣義乘法，得到加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣，如表3 所示。該矩陣從整體上考慮了不同性質(zhì)的屬性對(duì)最終模糊評(píng)價(jià)的影響。表3中含有各方案對(duì)應(yīng)的綜合集結(jié)三角模糊數(shù)a~i。

表2 共享單車方案與屬性的決策矩陣及屬性權(quán)重

表3 共享單車方案綜合集結(jié)模糊評(píng)價(jià)

圖4 決策者穩(wěn)定權(quán)重

運(yùn)用積分式模糊偏好函數(shù)，計(jì)算任意兩個(gè)方案間的模糊優(yōu)先度，得到方案間模糊偏好矩陣如表4，主對(duì)角線的元素均為0.5，對(duì)稱兩元素之和為1。

表4 方案間模糊相對(duì)偏好

4.3 排序結(jié)果及對(duì)比分析

在表4的基礎(chǔ)上，本文通過(guò)IFRM的步驟6～10，求出各個(gè)序位上的最佳方案及對(duì)應(yīng)的置信度，并對(duì)比AHP[16]、MAVT[17]、MAUT[18]、TOPSIS[13]、PROMETHEE[12]和 FMAA[15]下的方案最終排序，如表5?；贗FRM的最終排序：方案1—方案3—方案2—方案4，建議市民首選A 品牌單車，其次 C 品牌，然后B 品牌，最后 D 品牌單車，該種方案下總置信度為2.0807，且每個(gè)方案排序?qū)?yīng)的置信度均大于0.5。

表5 IFRM和其他MAD方法求得的排序結(jié)果對(duì)比

層次分析法（AHP）是依據(jù)決策思維的分解、判斷、綜合等特點(diǎn)，將待評(píng)價(jià)對(duì)象的屬性分成不同層次的主觀決策方法；多屬性價(jià)值理論（MAVT）和多屬性效用理論（MAUT）分別是基于價(jià)值函數(shù)與效用函數(shù)值確定指標(biāo)權(quán)重，進(jìn)而綜合排序的決策方法，這兩種函數(shù)均建立在決策者的偏好結(jié)構(gòu)之上。這三種方法均依賴于決策者的主觀，所求得的最終排序結(jié)果與IFRM的排序一致。

逼近理想解排序法（TOPSIS）通過(guò)量化備選方案與最優(yōu)、最劣方案的距離進(jìn)行排序；偏好順序結(jié)構(gòu)評(píng)估法（PROMETHEE）在保證評(píng)價(jià)信息完整的基礎(chǔ)上，運(yùn)用優(yōu)先函數(shù)依次比較兩種方案的優(yōu)先度；模糊多準(zhǔn)則可接受性分析（Fuzzy Multicriteria Acceptability Analysis，F(xiàn)MAA）采用模糊理論對(duì)備選方案排序，并分析每種排序的可接受性。PROMETHEE、TOPSIS 與 IFRM 的排序相近，只是方案3 和方案4 調(diào)換了位置。FMAA 的排序結(jié)果與IFRM完全一樣。

進(jìn)一步說(shuō)明，對(duì)于模糊多屬性決策問(wèn)題，IFRM的計(jì)算結(jié)果與其他MAD 方法的排序具有高度一致性，且有較高的可信度。相對(duì)而言，IFRM 的時(shí)間復(fù)雜度盡管有所增加，但仍為多項(xiàng)式階時(shí)間復(fù)雜度。IFRM 以時(shí)間復(fù)雜度為代價(jià)，不僅考慮了決策者評(píng)價(jià)的參考價(jià)值，而且將評(píng)價(jià)對(duì)象屬性的重要程度融入備選方案排序中，還量化了方案最佳排序的置信度，更貼合實(shí)際決策情境。因此，本文提出的IFRM對(duì)模糊多屬性決策問(wèn)題具有一定的可行性、有效性和優(yōu)越性。

5 結(jié)束語(yǔ)

評(píng)價(jià)語(yǔ)言的不確定性增加了多屬性決策問(wèn)題的難度，本文從模糊理論出發(fā)，考慮決策者權(quán)重，并由屬性核心評(píng)級(jí)確定屬性對(duì)評(píng)價(jià)的影響程度，設(shè)計(jì)了積分式模糊排序法（IFRM）。首先，將多屬性模糊評(píng)價(jià)語(yǔ)言量化為三角模糊數(shù)評(píng)級(jí)，并把三維評(píng)級(jí)拆分為評(píng)級(jí)下限、核心評(píng)級(jí)和評(píng)級(jí)上限。然后，采用AHP 給出各決策群體的權(quán)重和個(gè)體的初始權(quán)重，根據(jù)個(gè)體評(píng)價(jià)矩陣和決策矩陣的偏差，不斷更新個(gè)體權(quán)重。接著，對(duì)于迭代后的規(guī)范化決策矩陣，運(yùn)用熵權(quán)法給出評(píng)價(jià)屬性的權(quán)重，進(jìn)而形成代表各個(gè)備選方案的綜合集結(jié)模糊評(píng)級(jí)。隨后，通過(guò)積分式模糊偏好函數(shù)，給出最佳方案排序及每個(gè)序位方案對(duì)應(yīng)的置信度。最后，以居民出行選擇共享單車實(shí)際問(wèn)題為例，運(yùn)用IFRM計(jì)算出4種備選單車的排序，并與常見(jiàn)多屬性決策方法的結(jié)果對(duì)比，進(jìn)一步說(shuō)明了IFRM的可行性、有效性和優(yōu)越性。但I(xiàn)FRM僅依據(jù)核心評(píng)級(jí)確定屬性權(quán)重，沒(méi)有充分運(yùn)用語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息，存在一定局限性，這也是后續(xù)研究需要改進(jìn)的地方。