發展初中生數據分析素養的教學實踐研究

夏瑞

摘 要：數據分析模塊教學中主要遇到兩處難點：一是準確選擇描述集中趨勢或離散趨勢的統計量;二是隨機觀念的培養和概率意義的理解。“統計與概率”模塊的教學資源開發不夠，缺乏成熟好用的教學資源，涉及統計量意義的理解時概念體系坍塌。傳統教學設計中側重強調概念，大多知識通過直白敘述而缺乏基本活動經驗。文章主要談談作者在數據分析教學過程中的幾點思考。

關鍵詞：數據分析觀念;概念名詞解釋;隨機觀念;概率意義

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：2095-624X（2020）11-0002-02

一、問題提出

作為一線教師，在“統計與概率”模塊教學中，若要發展學生的數據分析素養，還存在以下制約因素。第一，“統計與概率”模塊的教學資源開發不夠，缺乏成熟好用的教學資源，涉及統計量意義的理解時概念體系坍塌。第二，傳統教學設計中側重強調概念，大多知識通過直白敘述而缺乏基本活動經驗。例如，2018年1月廈門九年級數學質檢卷第21題學生意識到要用樣本估計總體，但是估計的方法有誤。對“平均數”“中位數”“眾數”“方差”等統計量的意義和“頻率估計概率”的意義掌握不深刻，做題時不知選擇哪個統計量。在做2018年5月廈門九年級數學質檢第21題時，學生知道要計算加權平均數，但是理不清哪一行是“數據”，哪一行是該數據的“權重”，容易將“數據”與“權重”混淆。

二、教學思考

本研究者節選“加權平均數”“列舉法求概率”“用頻率估計概率”等重點內容，著重分析了學生在學習“統計與概率”時的學習行為和學習成效。筆者通過教學實踐發現，學生對“權”“結果”“頻率”等概念的理解混淆導致了后續學習障礙和綜合運用掣肘。筆者緊扣“權”“結果”“頻率”等核心概念的教學設計，輔以數學游戲（數學試驗），提高學生對這些核心概念的體驗，提出如下建議。

1.注意數學名詞解釋，示范辨析變式概括

學習數學也是需要“咬文嚼字”的，對數學名詞的準確理解是學習知識的必要前提。“統計與概率”模塊中“加權平均數”“中位數”“眾數”“方差”“結果”“頻率”等名詞的解釋是發展學生數據分析素養的關鍵。結合課本例題所給的背景，或對比辨析，或游戲體驗，以達成對概念的理解，將生活的體驗能用概率統計的語言和書寫方式輸出。

例如，在“加權平均數”的教學設計中，我們可以比較細致地列舉“權”的形式，“權”可以是題目直接賦予的整數、百分數、數據出現的次數，更是直接明了地指出在“數據”和“權”樣式容易混淆時，跟題目要求（或給定）的“平均數”的單位一致的是“數據”，不一致的就是其相應的“權”。這樣學生只需要根據問題特征判斷這是一道求加權平均數的題，而這個問題，根據“平均”這個關鍵詞就可以肯定。這也是物理學科常用的單位法。

例如，在“隨機事件與概率”的教學設計中，學生對隨機事件的“結果”的準確理解十分重要。什么是概率的“結果”：有限個、等可能。反過來講，如果不滿足上面兩個條件則不可作為隨機事件的“結果”。例如，一個袋中裝有三個黃球兩個白球，除顏色外無差別。從袋中取出一個球，如果學生列舉所有可能的結果：黃，白。那么學生思維里是根據顏色不同來劃分的，但很顯然，黃色和白色不是等可能的被取到的，所以不能直接作為結果并列列舉。實際上五個球每個球都有可能被摸到，它們被摸到的可能性是相等的。列舉所有可能的結果應該是黃1，黃2，黃3，白1，白2。

例如，在“用頻率估計概率”的教學設計中，“頻率”是什么？是小數還是分數/百分數？這些問題并不是所有學生都能理解。試驗一和試驗二在講解時應停頓，讓學生理解頻率如何計算，作為結果它可以是小數或分數。但是為了跟概率進行比較，需要將其化為小數才能看清趨勢。

2.重視隨機觀念的培養，加強概率意義的理解

深挖教材，注重知識的前后聯系。例如對“結果”的兩個限制①有限個，②等可能，緊扣這兩個條件，發現很多我們生活中的“結果”是一種感性認知，不同于數學意義上的“結果”是一種理性分析。

例如，拋擲一枚質地均勻的硬幣，朝上一面的所有結果：“正面向上”或“反面向上”。對于一步完成的簡單隨機事件，我們可以直接鋪陳列舉所有結果，通過小試驗就能驗證，思想試驗與真實試驗同步。

拋擲兩枚質地均勻的硬幣，直接想象結果（正正、一正一反、反反）難以保證“等可能”，這點可以通過試驗驗證不是等可能出現的。于是，我們先進行思想試驗解決該問題，分為“兩步”，先扔一枚硬幣再扔一枚硬幣，與同時扔兩枚硬幣的結果是一致的。通過列表格，第一步所有等可能的“結果”并列列舉在橫行，第二步所有等可能的“結果”并列列舉在豎行。同理畫樹狀圖，第一步所有等可能的“結果”并列列舉在第一層，第二步所有等可能的“結果”并列列舉在第二層。直至多步問題的教學設計，我們都是一以貫之地強化了“結果”的“等可能性”。這種一以貫之的教學設計有助于學生抓住核心知識，融會貫通，有利于教師進行整體教學。

3.鼓勵學生參與試驗，緊密聯系生活實際

在第25章“概率初步”的教學設計案例中，都可以將平時教學時容易忽略的試驗“用”起來。借助撲克牌、硬幣、計算機模擬軟件等師生常見的道具，遵循“精簡實用”原則，進行試驗模擬，讓學生充分參與活動，增加基本活動經驗，形成深刻體驗。

例如，在對“用頻率估計概率”進行教學設計時，可以問題為線索組織學習活動。

主線1：（少量試驗時）頻率與概率差別很大，看不出關聯;

主線2：（大量重復試驗時）頻率趨于穩定;

主線3：（大量重復試驗時）頻率的穩定值就是理論概率，數學家已經通過嚴密的邏輯推理證明了這一點。

只有躬身入局，才能體驗深刻。作為初學者，學生經常看到那些看似無解的局面，但是往往忘了，如果把自己放進去，置身其中，也許對局面就會有所了解。每一個初學者都曾經站在數學學科面前，抄著手只顧表態，這不僅無濟于事，甚至這種姿態本身就影響學生更好地觀察和感知數學知識。應該讓學生都成為躬身入局者，成為一個用真實體感和數學融為一體的人。

4.核心思想兩種“估計”，發展數據分析素養

用樣本估計總體，用頻率估計概率是“統計與概率”模塊的兩大核心思想。

用樣本估計總體。具體說是用樣本的特征值——平均數，中位數，眾數，方差，頻率，概率（大量重復試驗），分布等，來估計總體相應的特征值——平均數，中位數，眾數，方差，頻率，概率（大量重復試驗），分布。樣本容量越大，估計就越精確。

用頻率估計概率。在拋擲硬幣50次，次數累加500次時，得到的“頻率”有可能很接近“理論概率”，但這是因為試驗的結果也具有偶然性。很可能這500次的頻率趨于穩定，換一個班級做另外的500次試驗，頻率不一定趨于穩定，所以我們的500次試驗結果也具有偶然性。因此，數學歷史上要由不同的數學在不同的時候做成千上萬次試驗，而最終需要再通過嚴密理論進行證明：在大量重復試驗下，隨機事件發生的頻率穩定于理論概率（事實上數學家已經證明）。反之，我們可以抽取樣本進行大量重復試驗，先得到隨機事件的概率，再反過來進行相關計算。

三、反思與展望

盡管試驗體驗式學習具備諸多價值，通過數學游戲來學習數學激發了學生的學習動機，讓學習的過程變得不再枯燥無味。但是，把游戲融入教育視域中，有一個不可回避的事實是：游戲激發的到底是游戲動機還是學習動機，激發的動機是否可以遷移到其他學習活動中？如果學生只喜歡做游戲而沒有領悟數學游戲（試驗）的意義和內涵，那么這么上課是不可取的。我們必須警醒地意識到，試驗與教學的融合必須是教育式的，而不是簡單地把教學的內容披上試驗的外殼，背后要輸入的是試驗的思想。

我們還可以更深入地做一些基礎研究。運用現代教育技術手段（模擬實驗、微視頻等），選擇典型的、具有時代氣息的現實問題作為例子進行教學設計，幫助學生學習數據處理的方法，理解統計的概念和原理。通過梳理數據分析素養的內涵以及初中統計與概率相關內容的課程要求和相關內容的數學發展史，提高研究者自身的學科素養。同時，研究成果可供一線教師直接使用，共享資源，減少教學損耗，幫助學生深刻理解一些基本統計量和概率模型的算理，開發有價值的案例，促進教學長效發展。

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課題項目：廈門市思明區教育科學“十三五”規劃2018年立項微型課題“發展初中生數據分析素養的教學實踐研究”研究成果（Z2018W0104）。

作者簡介：夏 瑞（1985—），女，一級教師，碩士，研究方向：基礎教育、初中數學教學。