基于赫茲接觸理論的核桃破殼分析與試驗研究

王 超，鄭甲紅，霍啟新，趙佳龍

(陜西科技大學 機電工程學院，陜西 西安 710021)

【研究意義】核桃又名胡桃、羌桃，屬胡桃科胡桃屬植物，與扁桃、腰果、榛子并列為世界四大干果[1]。核桃營養豐富，食用價值高，是一種集脂肪、蛋白質、糖類、膳食纖維、維生素五大營養要素于一體的優質堅果，已成為我國重要的木本油料樹種之一[2]。破殼作為核桃深加工的重要環節，不僅技術要求高，而且直接影響核桃的后續加工質量。【前人研究進展】國內外核桃破殼裝備采用的破殼技術主要有化學腐蝕破殼法、真空破殼法、超聲波破殼法、機械破殼法。機械法破殼包括擊打式、擠壓式、滾壓式離心式和剪切式[3]。擠壓式和擊打式的破殼方式的接觸面主要是平面，如Michael 等發明的一種凸輪擊打式核桃破殼機、Eisel發明的平板擠壓破殼機構以及王亞雄等人研究的多點擠壓式核桃破殼機[4-6]，輥壓式的擠壓面是圓弧面如Kim研制的單棍子擠壓破殼機構[7]，McSwain發明的雙輥子滾動擠壓式破殼機構[8]，以及朱德泉等設計的6HS-6型山核桃破殼機[9]，另外塔里木大學郭文松等人研制的尖點輥壓式核桃破殼機。尖點對輥破殼裝置在對置輥上布置尖點釘以實現更好的破殼效果[10]。 【本研究切入點】目前還沒有學者在使用擠壓破殼原理破殼時，對與核桃接觸的表面的最優曲率半徑做出研究。【擬解決的關鍵問題】本文基于赫茲接觸理論在4點破殼機構，設計出擠壓面的最優曲率半徑，以提高核桃破殼的整仁率和高露仁率。

表1 核桃物理參數

1 材料與方法

1.1 核桃物理參數的測量

本次隨機選取200個陜西香玲核桃，對各個物理參數進行了測量，其中長徑、短徑、棱長、殼厚為直接測量的結果，間隙和球度是計算得到的結果，然后根據測量結果對核桃進行了分級，參數如表1所示。

1.2 數據分析

如表1所示，I級核桃的核仁間隙最小，間隙為2.44 mm；II級別的核仁間隙為2.88 mm；III級別的核仁間隙最大，間隙可達3.54 mm。3個及級別的核桃殼厚在1.42～1.50 mm，差別很小， II級的核桃占核桃總量的比例最大，是破殼的主要研究對象，此外除了核桃的尺寸大小因素不同之外，其他的物理參數差別并不明顯，因此選擇II級的核桃作為建模對象。

1.3 設定三維坐標系

本文為方便后邊的對核桃的表述，對核桃的三維尺寸進行定義，如圖1所示，以核桃的中心建立坐標系，以核桃的縫合線方向為X軸，垂直于核桃的縫合線的位置為Y軸，核桃的長軸為Z軸。

圖1 核桃的簡化模型

1.4 計算接觸面曲率半徑

擠壓破殼原理是接觸體和核桃相互接觸擠壓，使核桃殼破碎來達到取仁的效果，接觸應力隨著外載荷的變化而變化，還與接觸體的邊界條件、剛度以及曲率半徑有關，研究核桃外殼的力學性能，需要將其納入線彈性的范疇，因此需滿足材料的各向同性、彈性變形和微小變形3個基本假設[15]，赫茲接觸理論是研究兩物體間因外部載荷而相互擠壓產生的接觸應力的分布規律。核桃在被擠壓過程中，會經過彈性變形、塑性變形和突然破裂3個階段[16]。基于彈性的赫茲接觸理論一般假定:①接觸系統由兩個相互接觸的物體組成，物體之間不發生剛體運動；②接觸變形為小變形，接觸尺寸遠小于物體尺寸；③接觸表面光滑且作用力垂直于接觸面；④變形處于彈性范圍內；⑤不考慮接觸面的介質，不計動摩擦影響[17]。

由表1可知，核桃的球度都在90%以上，因此核桃和接觸面相互擠壓可以看成是赫茲接觸理論中的2個球體相互接觸，是典型的線性接觸問題，接觸體承受法向荷載后，接觸體在接觸線附近產生變形，從而形成直徑為2a的圓形擠壓區域，接觸最大應力分布在接觸面中心法線上，其余各點接觸應力按圓形分布。(1)式為赫茲接觸應力兩球體接觸的擠壓區域半徑公式。

(1)

II級核桃的球度為0.95，因此將核桃近似為球體進行計算，核桃的直徑為 34 mm，殼厚1.43 mm，核仁間隙為2.88 mm，由于I級核桃的核仁間隙為2.44 mm，核仁間隙最小，因此設計的時候核仁間隙應該按照I級核桃來計算，簡化模型為圖2-a，核桃殼和核仁的幾何關系為圖2-b，圖2-c是核桃和接觸面發生擠壓時核桃和接觸面的狀態簡圖，R1為核桃的曲率半徑，R2為接觸面的曲率半徑，a表示核桃和接觸體的擠壓區域半徑，b表示核桃仁的半徑，c表示核桃的外徑，擠壓時，核桃的最大擠壓區域所在的平面不能接觸到核仁，根據圖2-b的幾何關系，可得核桃的最大破壞直徑:

圖2 核桃接觸簡化模型

(2)

因此，

(3)

通過在萬能材料機上的破殼試驗可知：核桃的最大破殼力為250 N，因此P=250 N。取核桃半徑R1=17 mm,μ1=0.29,E1=13100 MPa[18,20]，接觸面μ2=0.3，E2=206 GPa。

解(3)式得R2≤-17 mm，因此核桃和接觸面的接觸為凹球面接觸，接觸時候的狀態簡圖為圖2-d，由于擠壓時不能傷到核仁，就要保證接觸面的弧頂不能接觸到核仁，因此可以得到式(4):

(4)

將數值帶入利用MATLAB解出該方程的結果為R2≥33.64 mm。

根據擠壓半徑算的R2≥33.64 可以達到不傷害核桃仁，令f(R2)=a3

(5)

所以f(R2)單調遞減，而擠壓區域的半徑在不傷著核仁的情況下越大越好，所以接觸面的最佳曲率半徑R2=33.64 mm。

2 結果與分析

2.1 最佳集中應力對數的分析

2對集中應力的作用下，外殼作用點的位移最大，也說明殼中產生的內力最大，外殼容易發生破裂[21]，因此本次建立的接觸模型的對數也是2對接觸體作用在核桃殼體上。

2.2 接觸模型的建立

為了降低碎仁率，本文對核桃殼體創建了3種不同的接觸體，如圖3所示，其中，圖3-a表示平面和核桃發生擠壓破殼，圖3-b表示凹球面和核桃發生擠壓破殼，圖3-c表示尖點和核桃發生擠壓破殼，分別對于每個接觸體軸向施加250 N的力，在ANSYS workbench中得到需要的云圖來驗證不同曲率半徑的接觸面對于核桃的擠壓破殼效果，從而得到最優的接觸面的曲率半徑。

2.3 3種不同接觸體的仿真

2.3.1 材料屬性的定義 核桃殼的材質類似于木材，在定義材料屬性時，核桃的彈性模里取13 100 MPa，泊松比0.29，密度470 kg/m3，將模型導入以后，接觸體的材料定義為結構鋼，其參數取默認值。

2.3.2 網格劃分 有限元分析的關鍵一步是網格劃分，對分析結果影響很大[22]，將模型導入以后對其進行自由網格劃分生成有限元模型，核桃接觸體的節點數9447，單元數為4990。

圖3 3種不同的接觸體

2.3.3 施加載荷和約束 破殼的最佳位置為：1對接觸體在Y=X方向，一對接觸體在Y=-X方向[5]，下面來研究不同接觸面對核桃的破殼效果的影響，第1種接觸面是平面，第2種是通過赫茲理論計算出來凹球面，第3種接觸面是尖點，3種不同的接觸面和核桃的裝配邊界條件設置如圖4所示，圖4-a中核桃的接觸表面為平面核桃的Z軸施加Fixed Support，接觸體的外圓表面添加Cylindrical Support，設置軸向可以移動，徑向和切向固定，使得接觸體在施加的力的作用下可以沿著接觸點向核桃的中心擠壓，在4個接觸體的軸向分別添加250 N的力，指向核桃中心，接觸類型設定為No Separation。第2和3種接觸體的邊界條件設置方式和第1種完全一致。 圖5～7分別是接觸面為平面、凹球面和尖點的變形、應變、應力云圖。

2.4 接觸面為尖點時變形應變應力分析

從圖7可以看出，尖點擠壓的核桃，核桃表面雖然應力大，但是應力分布面積非常小，變形云圖上可以看出，變形面積也非常小，因此可以判斷出核桃擠壓以后大多數不會整體開裂，而是和接觸位置對應，在接觸位置開出有很小的面積被壓潰，從圖5～7的

圖4 不同接觸體的邊界條件設置

圖5 接觸面為平面時核桃的變形、應變和應力

圖6 接觸面為凹球面時核桃的變形、應變和應力

圖7 接觸面為尖點時的變形、應變、應力云圖

表2 仿真數據

比較中可以看出，凹球面擠壓核桃時，核桃殼表面的變形面積更大。接觸面為平面的擠壓效果次之，接觸面對尖點的效果最差。

表2為3種接觸體的仿真數據，編號1為接觸面為平面的數據，編號2為接觸面為凹球面的數據，編號3為接觸面為尖點的數據，最大變形量最大應變是3>1>2，最大應力是3>2>1，方案3由于接觸表面是尖點，雖然最大應力、最大變形量大，但是根據應力云圖來看，變形量和應力云圖面積分布都比較小，所以很容易傷害到核仁，而且會導致破殼不完整，并且壓潰面積太小，導致露仁率太低，方案1和方案2的數據相比較，方案2的變形和應變小于方案1，但是方案2的應力分布面積大于方案1，最大應力方案2大于方案1，因此方案2的接觸類型更有利于核桃殼的整體開裂。

綜合仿真數據，以及云圖分析，曲率半徑為33.64 mm的接觸面對核桃的破殼效果最好。

2.5 實驗設計

2.5.1 試驗設備與材料 試驗所用設備為自制的多點擠壓式核桃破殼試驗臺如圖8所示，所需要的儀器如表3所示。

如圖8所示，法蘭固定在機架面板上，法蘭中間孔為單個核桃進料口，法蘭里面設置核桃支撐墊塊，核桃從進料口下來可以定位，法蘭四周安裝4個無油襯套，導向軸在無油襯套中往復運動，導向軸靠近法蘭一側安裝有接觸接頭，用于擠壓核桃，接觸接頭設計3種形式，第1種接觸面是平面，第2種接觸面是凹球面，第3種接觸面近似一個尖點，導向軸遠離法蘭一側連接滾輪支架，用于安裝滾輪，由于復位彈簧作用，滾輪與滾道圓盤相互接觸，滾道圓盤內圓面有缺口，滾輪初始位置在滾道圓盤切口最深的圓弧處，逆時針轉動把手，導向軸向靠近法蘭的方向移動，此時接觸接頭擠壓核桃，當核桃擠壓完成時，在彈簧的作用下復位。

表3 儀器設備參數表

2.5.2 試驗指標 核桃破殼的時候主要是核桃的整仁和核桃破殼的完整情況，本文采用加權評分方法將破殼率P、整仁率Z和高露仁率G3個指標進行綜合計算，將所得到的綜合評價值Q作為試驗指標，破殼率：將核桃殼的破碎率達到總面積3/4以上的核桃數量和總核桃數量之比；高露仁率：破殼后1/4及以上大小的核桃仁質量占總試驗核桃仁質量之比；整仁率：整仁的質量占破殼后得到核仁的總質量之比，公式為：

(6)

式中，P：破殼率；G：高露仁率；Z：整仁率；KP：每組試驗中大部分被完全擠壓破殼的核桃個數；KZ：每組核桃總數；Rg：每組試驗中所得到1/4仁及以上的核桃仁質量；RZ：每組試驗中所得到核桃仁的質量；Zg：每組試驗中所得到的完整的核桃仁質量；Q：核桃評價指標。

1.滾輪，2.滾道圓盤，3.螺栓，4.滾輪支架，5.把手，6.復位彈簧，7.導向軸，8.接觸接頭，9.法蘭，10.支撐墊塊，11.無油襯套，12.機架面板

表4 試驗因素及水平表

2.5.3 試驗方法 為了研究不同接觸面對于核桃破殼的影響，本次試驗對核桃進行浸泡，使其達到規定的含水率，調節3種接頭的位置來調節核桃擠壓破殼的行程，替換3種不同的接頭來測試不同接觸面對核桃破殼的影響。不考慮交互作用，研究各個因素與破殼效果之間的關系，選出最佳的工作參數，得出不同接觸面在不同的含水率和擠壓行程的作用下對核桃破殼的影響。

以綜合評價值Q作為試驗指標，考慮到含水率，擠壓行程，以及不同的接觸表面對于核桃的影響，因此選擇這3個因素進行L9(34)正交試驗。正交試驗共進行9組，每組選用30個核桃進行破殼試驗，試驗因素水平表如表4所示。

2.5.4 試驗結果及分析 由表5可以看出，影響破殼效果Q的因素主次順序為C接觸面類型、A含水率、B擠壓行程，在K值中K2A、K2B、K2C的相對最大，所以破殼效果最好的是A2、B2、C2，由極差分析可以看出，影響核桃破殼效果總值的主次順序是C、A、B，所以破殼的最優方案是C2A2B2。

2.5.5 方差分析 本試驗為三因素三水平的正交試驗，不考慮交互作用，在進行正交試驗后，對影響核桃破殼效果的3個因素指標進行方差分析[23]，首先選擇置信度為90 %，如表6所示，經過分析得出：3個因素中，對于試驗結果影響最為顯著的是接觸面類型，而含水率和擠壓行程對于破殼效果不顯著。

2.5.6 效應曲線圖 如圖9所示，含水率為20 %的時候破殼效果最好，行程為6 mm的時候效果最好，a、b、c分別表示接觸面為平面、凹球面、尖點，接觸面為凹球面時破殼效果最好，平面的曲率半徑為∞，尖點的曲率半徑接近0，無法確定33.64 mm附近還有沒有最優解，因此進行了3組最優條件試驗和3組接觸面曲率半徑的試驗，試驗結果如表7所示。

表5 正交試驗設計與結果

表6 方差分析表

表7 驗證試驗結果

圖9 效應曲線圖

2.5.7 驗證試驗 根據正交試驗得到，最好的因素條件為A2、B2、C2，即含水率20 %，行程6 mm，接觸面曲率半徑為33.34 mm的凹球面，為此重新做了3組不同曲率半徑的接頭，分別為-50、-20、20 mm(凹球面曲率半徑取-，球面曲率半徑取+)來驗證試驗，由表7可知，前3組為最佳因素，3組試驗結果較為接近，后3組試驗為不同的接觸面曲率半徑的試驗結果，在-33.64 mm附近取的3組值試驗結果表明，明顯不如前3組，破殼效果相對較差。

3 結 論

(1)通過赫茲理論計算得到的接觸面最優曲率半徑為33.64 mm的凹球面。

(2)通過ANSYS workbench仿真，接觸面為曲率半徑33.64 mm的凹球面時，核桃的變形云圖變形面積最大，更有利于施加載荷時核桃外殼整體開裂，接觸面為平面效果次之，接觸面為尖點時效果最差。

(3)根據正交試驗結果可得，確定了各個因素對于核桃破殼效果影響的先后順序，即接觸面類型C，含水率A、擠壓行程B。最優方案為C2A2B2，即含水率為20 %、擠壓行程為6 mm，接觸面類型為曲率半徑為33.64的凹球面，其中接觸面類型對于破殼效果影響尤為顯著。