立體幾何平面化的研究

羅海遠(yuǎn)

1.引言：

數(shù)學(xué)上，立體幾何就是我們所熟知的三維歐氏空間的傳統(tǒng)名稱，也就是我們所生活的空間。雖然有的平面幾何定理在空間問(wèn)題上不一定成立，但對(duì)于空間的每一個(gè)平面，平面幾何的結(jié)論都是成立的。因此，在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)可以選取或構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠矫妫沟脝?wèn)題在所選取或構(gòu)造的平面上獲得突破性進(jìn)展，為解決問(wèn)題帶來(lái)方便。

2.立體幾何平面化思想的幾類問(wèn)題

2.1空間圖形畫(huà)法的平面化

在我們的生活中，總會(huì)遇到多種多樣的事物，每個(gè)事物都有它們自己特有的形狀，那么，我們?cè)撊绾蚊枋鍪挛铮?zhǔn)確地將之畫(huà)出來(lái)呢？這就涉及到將立體的圖形畫(huà)在一個(gè)平面上的問(wèn)題。

斜二測(cè)畫(huà)法是空間圖形最主要的畫(huà)法，此畫(huà)法將空間圖形轉(zhuǎn)化為它的直觀圖，也就是將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，為學(xué)生對(duì)空間圖形的理解帶來(lái)方便，為解題帶來(lái)便捷[1]。例如：下面兩個(gè)六面體，圖2.1.1中，陰影面是我們所看不到的背面，而圖2.1.2中，陰影面是我們所看得到的正面，正因?yàn)樘摼€不同，看上去圖形就大不一樣了。

空間圖形畫(huà)法的平面化，可以幫助我們將空間圖形平面化，還可以幫助我們對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步加深，從而更好地解決有關(guān)于立體幾何的問(wèn)題。

2.2空間角的平面化

空間角主要是指異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角這三類角[2]。在一個(gè)問(wèn)題中，如果條件或結(jié)論中有涉及空間角的概念，首先要以概念為指導(dǎo)，作出有關(guān)的空間角，然后逐步轉(zhuǎn)化為平面角去解決。對(duì)這種方法的掌握尤為重要，若能掌握并運(yùn)用之，在一定程度上可以反映研究空間問(wèn)題的水平以及質(zhì)量。

2.2.1異面直線所成的角

異面直線所成的角的定義[3]：如圖2.2.1，已知兩條異面直線，，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)作直線//，//，我們把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）。

異面直線所成的角的范圍：.

從上述定義可知，兩條相交直線可以確定一個(gè)平面，所以異面直線所成的角是用平面內(nèi)兩相交直線所成角來(lái)定義的，即用平面角來(lái)定義的。所以在求異面直線所成角時(shí)，應(yīng)該先將要求的兩條直線平移到同一個(gè)平面上，之后在求解。

2.2.2直線與平面所成的角

直線與平面所成的角的定義[3，4]：

如圖2.2.2，一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足。過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影。平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。

直線與平面所成的角的范圍：.

從上述定義可知：在碰到求斜線與平面所成角的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該先將要求的斜線在平面上的射影畫(huà)出來(lái)，之后通過(guò)上述方法求解，便能順利解決此類問(wèn)題。

2.2.3二面角

二面角的定義[3]：如圖2.2.3，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。棱為、面分別為，的二面角記作二面角。

二面角的平面角[3]：如圖2.2.3，在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角。

二面角的平面角的范圍：.

從上述定義可知：我們就用二面角的平面角的大小來(lái)表示二面角的大小，即二面角的描述是通過(guò)其平面角來(lái)描述的。二面角的求解比較復(fù)雜，知道了二面角的定義之后，在計(jì)算角度的時(shí)候也應(yīng)該注意仔細(xì)求解。

2.3空間距離的平面化

空間距離包括點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面的距離，直線與直線、直線與平面的距離以及平面與平面的距離。上述六種不同的距離，實(shí)則都可以化為平面上兩點(diǎn)的距離。一般而言，立體幾何中的所有的距離問(wèn)題，都可以遵照它們的定義，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，這就為空間距離的平面化打下了理論依據(jù)。

3.立體幾何平面化的幾種方法

3.1平移法

平移的定義：平移是指在同一平面內(nèi)，將某個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱平移。

直線或平面在空間平行移動(dòng)，不改變它們與其他線面所成角的大小。因此，常用平移法將分散在不同平面的有關(guān)量，納入同一平面內(nèi)進(jìn)行求解，為解題帶來(lái)了方便。

3.2射影法

作平面的一條斜線，該斜線與該平面所成的角，就是該斜線與它在這一平面內(nèi)的射影所成的角。判定該斜線與平面內(nèi)某一直線垂直的問(wèn)題，就相當(dāng)于去判定該斜線在該平面內(nèi)的射影與該平面內(nèi)的一條直線垂直的問(wèn)題，這就將一個(gè)本該在立體幾何中解決的問(wèn)題引到一個(gè)平面上來(lái)解決。

3.3旋轉(zhuǎn)法

旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)。其中，點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：一、對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;二、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;三、旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。

一直線繞某定直線旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)前后該直線與定直線所成角不變，且該直線上任一點(diǎn)到定直線的距離不變。因此，為了實(shí)現(xiàn)將空間問(wèn)題平面化，旋轉(zhuǎn)是有效方法之一。

4.本研究的結(jié)論

此次研究課題主要的目的是為了簡(jiǎn)化立體幾何問(wèn)題，主要簡(jiǎn)化的方法是將立體幾何平面化，也就是將空間的問(wèn)題引到平面上來(lái)解決，這樣更有利于理解。為了將立體幾何平面化，本課題主要從有關(guān)于立體幾何平面化的幾類問(wèn)題和立體幾何平面化的幾種常用方法來(lái)著手研究。本課題對(duì)例題的分析與解答上做得較詳盡，但本課題所討論的立體幾何平面化的方法種類較少，在將來(lái)，有望改進(jìn)。

參考文獻(xiàn)

[1] ?魏秋梅.空間問(wèn)題平面化思想教學(xué)淺析[J].新課程（中旬），2013，（7）：26-29.

[2] ?曹曉華.立體圖形平面化探究[J].陜西教育，2011，（7）：38.

[3] ?劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（必修）數(shù)學(xué)2[M].河南：人民教育出版社，2012：40-75.