淺談確界原理的教學體會

【摘要】確界原理是實數完備性的理論基礎。確界原理簡單明了、構造性強的特點使其在證明與實數相關的命題中有廣泛的應用。本文結合實例分析，歸納總結了確界原理在數學分析中的部分應用。

【關鍵詞】確界原理 實數完備性 有界

確界原理是實數完備性的六個等價定理之一，與單調有界定理、柯西收斂準則、區間套定理、有限覆蓋定理和聚點定理構成了實數完備性的基本理論框架。華東師范大學版的《數學分析（第四版）》就是在確界原理的基礎上建立實數完備性及數學分析的理論體系。確界原理簡單易懂、構造性強的特點使其在證明與實數及與實數相關的集合相關的命題方面有著廣泛的應用。

一、主要教學內容簡述

設S是R中的一個數集，若存在實數η滿足：（i）對一切x∈S，有x≤η（即η是S的上界）;（ii）對 ? ? ? ，存在x0∈S，使得x0>η-ε（即η是S的最小的上界），則稱實數η為數集S的上確界，記作η=supS。同理，可定義S的下確界infS。

確界原理是給出確界的存在性的條件。

定理1（確界原理）：設S為非空數集。若S有上界，則S必有上確界;若S有下界，則S必有下確界。

為了方便歸納確界原理的應用，特別是處理不等式相關的應用，我們先列出確界的兩個簡單的性質，其詳細證明見文獻。

性質1.設A，B為非空數集，滿足：對一切x∈A和y∈B有x≤y，則數集A有上確界，數集B有下確界，且supA≤infB。

性質2.設A，B為非空有界數集，定義A+B={z│z=x+y，x∈A，y∈}，則suo（A+B）=supA+supB，inf（A+B）=infA+infB。

二、確界原理的應用

在證明與實數相關的命題中，確界原理有廣泛的應用，例如證明閉區間上連續函數的最大值和最小值定理、介值性定理、一致連續性定理等。對于閉區間上連續函數整體性質的證明，可以采用不同的思路與方法。通常選擇方法的出發點是簡單易懂、利于推廣?；诖嗽瓌t，通常用確界原理證明最大（?。┲荡嬖谛远ɡ?，用有限覆蓋定理或致密性定理證明有界性定理和一致連續性定理，用區間套定理證明介值性定理。也可以用確界原理證明。

例1：用確界原理證明：若函數f在閉區間上連續，則f在[α，b]上有界。

分析：設S={x│f在[α，X]上有界，x∈[α，b]}。由連續函數的局部有界性得f在點α局部有界，從而S是非空數集，且點b為其上界。由確界原理，supS存在。只需證明b=supS，且b∈S，從而S=[α，b]，即F在[α，b]上有界。

證明：設S={x│f在[α，X]上有界，x∈[α，b]}。由分析可知，集合S為非空有上界的數集。由確界原理得，存在η=supS。現用反證法證明η=b。

若η0使得f（x）在區間[η-δ，η+δ]上有界，即存在x0∈S，使x0>η，與η的取法矛盾，故η=b。

再證函數f在[α，b]上有界。因為f在點b連續，則存在ε>0，函數f在[b-δ，b]上有界，從而f在[α，b]上有界。

在定義數列的上（下）極限、實數指數冪等方面確界原理都有應用。在初等數學中只給出了有理數指數乘冪。借助確界原理定義無理指數冪，得到實指數乘冪，并利用確界的性質證明實數指數冪的性質等等。確界原理的應用非常廣泛。本文結合實例分析，總結確界原理的部分應用。

下面用確界原理證明連續歸納法為例說明其應用。數學歸納法反映了自然數集的基本性質，而連續歸納法則反映了實數集的基本性質—-實數連續性。設I為一個有限或無限區間，若對每個x∈I命題Px都為真，則稱P在I上為真，如存在x0∈I，使Px0不真，則稱P在I上不真。連續歸納法是指：設對任意實數X對應命題Px。如果（i）存在x0∈I，使對I上一切x0，使Px對一切xx0，從而集合A非空有下界，由確界原理知A有下確界infA，從而存在實數y0，使得infA=y0≥x。由下確界定義，P在（-∞，y0）∩A上為真，由連續歸納條件（ii），必存在εy>0，使P在（-∞，y0+εy）∩A上為真，這與y0=infA矛盾，故A必為空集，即連續歸納法成立。

確界原理在初等數學中也有獨特的應用。初等數學中有一些問題，特別是不等式相關的問題，用初等數學知識去解決比較復雜，通過靈巧地應用確界原理，對處理不等式問題能起到事半功倍的作用。下面我們就用實例來展示其應用。

例2：對任意α∈（3，5）與b∈（0，1）滿足<4α/3-2b，求x的最值。

解：由α∈（3，5），b∈（0，1）得inf（4α/3）=4，inf（-2b）=-2，。由性質2得，inf（4α/3-2b）=inf（4α/3）+inf（-2b）=2。再由性質1可得x≤2，即x的最大值為2。

三、教學總結與反思

統計類專業、大數據相關的專業，數學分析都是必修課程，課時卻比較少。比如我校統計類與大數據類專業，數學分析只開設一學年。在如此短的時間內要上完數學分析的課程，就需要教師抓住數學分析的基本知識點和理論框架。讓學生對數學分析有一個基本的知識結構。確界原理是實數完備性的基石之一。確界原理簡單易懂的特點使很多數學分析的教材都選其作為公理來建立實數的完備性理論和數學分析的理論基礎。教師在講授數學分析課程時如能重點突出確界原理的基礎性作用，并結合不同的知識點講授其應用，將會起到事半功倍的作用。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析（第4版）[M].高等教育出版社，北京，2010.

[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法（第2版）[M].高等教育出版社，2006.116-120.

[3]劉念.閉區間上連續函數性質的探討[J].職業技術，2007，（72）：161-162.

作者簡介：黃木根（1979-），男，江西新余人，博士研究生，講師，研究方向為應用數學。