淺談導數知識在經濟學利潤最大化的應用

摘要導數的基礎運用首先是體現在基礎數學中，包括求函數的極值、函數的單調性以及函數的最小和最大值;導數在高等數學中的應用包括偏微分、定積分與不定積分的運用。經濟學的發展又以數學的發展作為基礎的載體，隨著我國社會地位的提高，經濟生活的水平也得到極大的提升，導數在經濟學生活中扮演著極為重要的角色。人們通常會把導數運用在邊際成本、邊際利潤以及邊際效應的分析上。本文就以導數在經濟學中利潤最大化和成本最小化的運用上面進行分析，從而說明導數在經濟學中的重要意義。

關鍵詞：導數的運用;利潤最大化;邊際利潤

中圖分類號：F224文獻標識碼：A

一.引言

導數最開始起源于17世紀初，由于生產力的發展從而推動了科學的發展。著名的科學家牛頓、萊布尼茨提出了導數的用法，但是此時導數的概念并沒有被提出，直到十九世紀二十年代，偉大的科學家柯西提出了導數的概念，從此導數被人們所熟知、運用。導數的出現解決了數學界很多之前無法解決或者說不能得到精確答案的問題，導數的提出也為之后的微分學奠定的基礎。導數不僅僅在高等數學中占有重要的地位，導數在經濟學中也扮演著極為重要的角色。

在如今科技成為第一發展力的時代里，激烈的競爭不再以單純的勞動力為主，企業面臨的不僅僅是要提升自身的產品質量問題，在投資決策方面也要做好工作，企業需要對比分析每一次決策的利潤與成本才能更好的使得企業利潤最大化，從而實現股東利潤最大化的目標。

二.導數的數學與經濟學定義

2.1導數的數學定義

導數又名導函數值，是高等數學中的基礎的也是重要的概念。假設一個函數?y =f（x），自變量x在其中的任意一點x₀的附近有意義，此時x發生一個變化量為Δx時，f（x）發生變化量為Δy。當Δx趨向于0，此時自變量的變化量Δx與函數值的變化量Δy的比值的極限存在的話，記為A，稱A為在x₀處的導數。

導數數學表達式為：f′（x₀）=或者為?f′（x₀）=

2.2導數的經濟學意義

經濟學中，把一個函數f（x）的導函數f′（x）稱作f（x）的邊際函數，那么在x₀這個特定的點上的值稱作函數在這一定點上的邊際值，通常是變化速度或者變化率。當函數的自變量x在某一個點x₀的附近再變化一個單位的值時，此時函數y的變化量就是自變量變化量的導數。

三.導數在經濟學中的運用問題

在討論企業生產的成本最小化和生產利潤最大化的問題時，其實本質上都歸于一個問題的討論，那就是企業的最優問題的研究。企業的最優決策就是在控制生產成本一定的的情況下選擇使得企業利潤最大的投資決策或者在利潤一定的情況下選擇生產成本最小化的方案。利潤的最大化主要討論的是邊際利潤的大小，同時成本最小化也是主要討論邊際成本的大小，邊際利潤與邊際成本的計算就涉及到導數在經濟學中的運用。下面我們分別從四個方面討論導數在經濟學中的具體應用。

3.1導數與企業成本最小化

在經濟學計算過程中，成本最小化一般用邊際成本來表達。邊際成本既是在其他條件不變的情況下，每多生產一單位的商品從而帶來的總成本的變化量。

一般來說邊際成本隨著生產量的增加而減少，這是由于規模效應存在。假如生產一輛坦克的生產成本很高，那么生產一萬輛架坦克每一輛的成本就會降低。但是也不乏邊際成本隨著生產量的增加而增加的情況，這通常是由于沉默成本的存在。

邊際成本的數學公式： MC =公式中的MC代表的是邊際成本，ΔTC是變化的總成本，ΔQ代表的是變化的總產量。當變化的產量無限趨近于零時，邊際成本MC的值就是關于成本的函數在Q這一點的導數。

3.2導數與企業利潤最大化

經濟學中的利潤最大化通常用邊際利潤來表示，邊際利潤是指在其他條件不變的情況下，每增加一個單位的的商品所帶來的經濟利潤的變化量。

邊際利潤是分析企業利潤最大化中的一個重要的概念。邊際利潤又叫邊際收益，與邊際成本相似在其他情況不發生改變的情況下，當把一種可變的生產要素加入到另外的要素中去的時候，開始的時候總產量會隨著某一種生產要素的增加而增加，但是到達了某一固定的時刻時，增加速度隨著要素投入的增加而減少，最后會使總產量減少這種現象叫做邊際收益遞減。與此同時還有邊際收益遞增的現象，不過這種現象極少發生，暫不討論。

邊際利潤的數學公式：MR =

公式中的MR代表的是邊際利潤，ΔTR代表的是變化的生產量帶來的變化的總利潤，ΔQ代表的是變化的總產量。當變化的產量無限趨近于零時，邊際成本利潤的值就是關于利潤的函數在Q這一點的導數。

3.3企業利潤最大化的條件

企業追求的是股東利潤最大化，想要達到利潤最大化就必須在成本一定的條件下實現利潤最大或者在利潤一定的情況下控制成本最小。在經濟學中，想要實現這種情況的原則就是使企業生產商品的邊際成本與邊際利潤相等，即MC=MR。假如企業的邊際成本大于邊際利潤，此時企業每多生產一單位商品帶來的成本大于帶來的利潤，企業一定不會再多生產;假如企業的邊際成本小于邊際利潤，此時企業每多生產一單位商品帶來的成本小于帶來的收益，企業一定會增加商品的生產，直到每多生產一單位的商品帶來的成本與收益相等時，企業才不會調整生產策略。所以企業想要實現利潤最大化，其邊際成本既不能大于邊際利潤也不能小于邊際利潤，而是兩者正好相等才達到最優的效果。

3.4企業利潤最大化的經濟學應用

利潤最大化與成本最小化密不可分，廠商生產商品時往往遵循邊際利潤與邊際成本相等的原則，從而達到利潤最大的目標。下面就關于利潤最大化的經濟學應用舉出以下案例解釋說明。

例1.A汽車制制造商2018年1月份制造汽車的最大極限是100輛，汽車的銷售函數為R（x）=5000x-25x²，汽車的成本函數為C（x）=600x+600，求該汽車制造商制造多少輛汽車可以得到最大的利潤？

由題意了解到：?汽車得利潤函數為R（x）=5000x-25x²，此時求導得到汽車邊際利潤函數為R′（x）=5000-50x.汽車的成本函數為C（x）=600x+600，求導得到汽車邊際成本函數為C′（x）=600.此時令汽車邊際成本等于邊際利潤，即5000 -50x=600，得出X=88。將X=88帶入汽車銷售利潤函數中，R（x）=5000x-25x²=5000*88-25*88²=246400。由此得到A汽車制造場一月份制造的汽車輛數為88輛時利潤最大，為246400元。

例2.?居民大樓現在有100間單人間可以出租，假如每個房間的價格為1000元 的時候可以全部出租。但是出租的房間每個月要上交30元錢的水電費，水電費由房東上繳。假如房租每個月漲價一個100元的話，就會留下一個空余的單人間，分析當每個月的房價為多少時房東的利潤最多？

由題意了解到：假設每一個房間漲價x個100元的話，那么房租的費用為R（x）=（100-x）*（1000+100x）=-100x²+9000x+10000，此時的水電費為30*（100-x），此時的收益函數h（x）=（100-x）*（1000+100x）-30*（100-x）=-100x²+9030x+7000。因為x要考慮到實際具體的情況，那么x的取值范圍在1-100之間，即1≤x≤ 100，此時要求收益的最大值既是求函數h（x）在 [1，100]上的最大值。當h′（x）= -200x+9030= 0，解得?x=45，h″（x）=-200< 0，所以 x= 45處取極大值。因此h（x）在x=45處取得最大值，即h（x）=-100x²+9030x+7000=210850。那么當月的收益為210850，此時有45個單人間被租出去，閑房為55間。由此分析并不是把所有的房間都租出去才能使得利潤最大化，薄利多銷也是有條件的。

例3.?B工廠是制造杯子的， 當杯子的內容量一定的時候，考慮杯子的高度、直徑，從而使得杯子的用量最少。

由題意得知：假設杯子的高是h，杯子的半徑為 r，那么杯子的側面積與上下底面積S=2πrh+2πr²。杯子的體積V=πr²h，由此可知?h=，由此可得S（r）=+2πr²=2rV+2πr²，再對S（r）求導得到S（r）=4πr-2πr²= 0。由此得到h=2r。又因為?S（r）的極值是唯一的，那么實際問題的值也是理論意義上的值，即h=2r。

四.總結

導數對于解決經濟生活中的最優問題最為有效，而最優問題主要是解決利潤最大化和成本最小化的問題，導數在此間的核心就是解決極值問題。根據以上問題的分析比較，不難發現導數在現實生活中的應用很普遍，尤其是涉及到經濟生產商品與求極大值極小值的應用最為廣泛，當要求最大最小值時，往往牽扯到函數的求導，對于二階函數的求導來判斷一階函數是極大值還是極小值，對一階函數的求導來確定臨界的點。在使用導數解決實際問題的過程中往往還存在著實際問題的答案與理論上答案的相悖，此時就要求我們關注實際的問題，不能一味的追求理論答案，假設對于求導得到的結果往往不止一個，那么我們需要排除不符合實際情況的答案，選擇符合實際情況的答案。在使用導數解決經濟中的實際問題時我們需要關注實際問題的自變量是不是連續的，因為導數存在的前提需要保證自變量是連續存在并且有意義的，此時求出的導數才具有實際意義。

[1]謝金云.導數在經濟學利潤最大化中的運用[J].湘南學院學報，2011，32（05）：84-86.

[2]張志芳.淺談利潤最大化之成本控制戰略[J].財經界（學術版），2017（21）：34-35.

[3]唐慧.導數在經濟學中的應用[J].現代交際，2012（12）：194.

[4]李玉海，賈敬堂.試論導數在經濟學中的應用[J].邯鄲職業技術學院學報，2013，26（04）：41-44.

[5]曹斯琪.導數在經濟學中的應用[J].科技視界，2016（26）：250.

[6]徐艷艷.導數與原函數在經濟學中的應用初探[J].技術與市場，2009，16（08）：77-78.

[7]崔俊峰，魏玉芬.導數在經濟學中的幾點應用[J].黑龍江科技信息，2008（31）：149.

[8]張麗玲.導數在微觀經濟學中的應用[J].河池學院學報，2007（05）：38-42.

[9]譚雪云.導數概念在經濟學中最優值確定方面的應用[J].山西廣播電視大學學報，2002（02）：32-33.

[10]丁傳松，馬振民.導數概念在經濟學中的意義[J].數學教學研究，1985（01）：38-40.

作者簡介：楊瑞云（1982-），女，籍貫：陜西寶雞，講師，碩士學位，研究方向：高等數學教學研究和數學建模學生指導。