基于Legendre-Fourier-Galerkin譜方法求解薛定諤方程

(云南財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院 云南 昆明 650221)

本文我們主要研究薛定諤方程，薛定諤方程分為帶有時(shí)間方向的初邊值問題以及不帶時(shí)間方向的初邊值問題，我們將針對(duì)在極坐標(biāo)系下的薛定諤方程設(shè)計(jì)算法.下面首先介紹帶有時(shí)間方向的二維薛定諤方程在極坐標(biāo)下的初邊值問題：

(1)

我們?cè)O(shè)計(jì)基于Legendre-Fourier-Galerkin(LFG)譜方法求解上述問題.

一、Fourier譜方法降維過程

假定未知函數(shù)φ=φ(r,θ,t)有如下傅里葉展開式：

(2)

其中N為給定正整數(shù)，展開式中基函數(shù)eimθ滿足如下正交性質(zhì)：

(3)

當(dāng)整數(shù)m≠n時(shí),δmn=0；當(dāng)整數(shù)m=n時(shí),δmn=1，γ為常數(shù).

將(2)式代入(1)式中有：

(4)

我們利用基函數(shù)eimθ的正交性，用e-inθ同時(shí)乘以(4)式的兩端，并在區(qū)間[0,2π]上對(duì)θ求積分，整理可得：

(5)

這一過程通過傅里葉變換將二維含時(shí)薛定諤方程轉(zhuǎn)換為一維含時(shí)薛定諤方程，目的在于減少計(jì)算量.

二、Legendre-Galerkin譜方法多項(xiàng)式展開

假設(shè)-1=x0

結(jié)合LGL quadrature結(jié)點(diǎn)構(gòu)造在r方向上的結(jié)點(diǎn)，將徑方向r的取值范圍轉(zhuǎn)換到區(qū)間[-1,1]上，即：

(6)

(7)

將(6)式代入(7)式，并將v(r)依次換成

可得到如下解析式：

(8)

此時(shí)，方程只剩下時(shí)間變量.

三、時(shí)間方向使用Crank-Nicolson方法

在時(shí)間方向上我們采用Crank-Nicolson方法離散(8)式，即

(9)

其中

其中p=0,1,2,….(迭代次數(shù)，自行選擇).

設(shè)用向前的歐拉公式可以得到：

如此反復(fù)進(jìn)行得：

本文通過求解具體例子來詳細(xì)介紹基于基函數(shù)φi(x)，eimθ的Legendre-Fourier-Galerkin 譜方法在薛定諤方程初邊值問題的求解實(shí)現(xiàn)過程：先假定方程中的未知函數(shù)能夠用基于基函數(shù)φi(x)，eimθ的展開式來逼近，然后將該未知函數(shù)的逼近展開式代入方程之中，再利用LFG 譜方法得到關(guān)于未知函數(shù)的微分方程組的初邊值問題和邊值問題，最終通過求解該薛定諤方程的近似解的信息。

基于基函數(shù)φi(x)，eimθ的LFG譜方法具有精度高、實(shí)現(xiàn)過程簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)， 本文的算法實(shí)現(xiàn)過程及數(shù)值例子顯示了該譜方法的這些優(yōu)點(diǎn)。所有的計(jì)算結(jié)果都通過我們撰寫的Matlab程序得到。在將來我們將討論如何利用LFG譜方法求解含有更為復(fù)雜勢(shì)能場(chǎng)的薛定諤方程的求解問題，給研究薛定諤方程現(xiàn)象的物理學(xué)家提供更為精準(zhǔn)的數(shù)值解。