混合非凸非光滑正則化約束的模糊圖像盲復(fù)原

耿源謙，吳傳生，劉 文

（1. 武漢理工大學(xué)理學(xué)院，武漢430070； 2. 武漢理工大學(xué)航運(yùn)學(xué)院，武漢430063；3. 交通物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（武漢理工大學(xué)），武漢430063）

（?通信作者電子郵箱wenliu@whut.edu.cn）

0 引言

在圖像的成像過程中，由于成像設(shè)備與被拍攝物體之間的相對運(yùn)動等原因，獲得的圖像會存在一定的模糊現(xiàn)象。近年來，隨著便攜式成像設(shè)備在日常生活、醫(yī)療、通信、視頻監(jiān)控、太空探索等各個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，如何從捕獲到的模糊圖像中復(fù)原出清晰圖像，從而為其他領(lǐng)域提供高質(zhì)量的圖像成為了圖像處理領(lǐng)域亟待解決的問題。因此，研究圖像復(fù)原有著重要意義。

圖像復(fù)原根據(jù)模糊核是否已知可分為非盲復(fù)原和盲復(fù)原。圖像非盲復(fù)原是已知模糊圖像和模糊核的情況下，估計(jì)出清晰圖像；而盲復(fù)原則是僅由觀測到的模糊圖像復(fù)原出清晰圖像。在實(shí)際生活中得到的模糊圖像的模糊核往往是未知的，所以圖像盲復(fù)原更加符合實(shí)際情況。圖像盲復(fù)原是一種病態(tài)的反問題，為解決此類不適定問題，往往需要借助一些額外的先驗(yàn)知識對模糊核和清晰圖像進(jìn)行正則化約束。因此，建立合適準(zhǔn)確的正則項(xiàng)是正則化方法成功的關(guān)鍵。

早年間一些方法認(rèn)為，大多數(shù)清晰圖像的梯度近似服從一種嚴(yán)重的重尾分布，而模糊圖像梯度不具有這樣的分布，并將該性質(zhì)作為清晰圖像的正則化約束進(jìn)行圖像復(fù)原［1-2］。Fergus 等［1］在多尺度復(fù)原框架下提出一種零均值的混合高斯分布來近似圖像梯度重尾分布的特性；同時，采用混合指數(shù)分布來擬合模糊核的稀疏性。Shan等［2］提出一種分段函數(shù)的方法來近似這種重尾分布；然后對模糊核采用L1范數(shù)進(jìn)行稀疏約束。2011 年，Krishnan 等［3］利用L1/L2范數(shù)對自然圖像梯度添加正則化稀疏先驗(yàn)，而對于模糊核則采用與Shan 等［2］相似的方法來約束模糊核的稀疏特性。2016年，Pan等［4］發(fā)現(xiàn)模糊圖像的暗通道不具有稀疏性，提出了基于暗通道的圖像先驗(yàn)。隨后，Yan 等［5］在暗通道基礎(chǔ)上結(jié)合圖像亮通道，提出了混合亮暗通道先驗(yàn)。近年來，基于圖像梯度的稀疏性，常利用圖像梯度的L0范數(shù)［6-9］來加強(qiáng)模糊核估計(jì)的精度，這種方法模型簡單，在保證精度的同時還提升了運(yùn)算速度。但進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，不僅一階圖像梯度存在稀疏性，二階情況下也同樣存在［10-13］。除了基于正則化的圖像復(fù)原方法，深度學(xué)習(xí)作為一種有效的工具已被應(yīng)用到模糊圖像復(fù)原問題當(dāng)中［14-18］。這一方法需要大量的樣本數(shù)據(jù)，因不同場景下的模糊圖像復(fù)原問題存在較強(qiáng)的特異性，很大程度上限制了深度學(xué)習(xí)方法在模糊圖像盲復(fù)原領(lǐng)域的應(yīng)用。同時，基于深度學(xué)習(xí)的模糊圖像復(fù)原方法不能夠有效處理模糊程度較大的情況。因此，本文將基于圖像先驗(yàn)的正則化方法開展模糊圖像盲復(fù)原研究。

客觀地說，研究“動點(diǎn)路線問題”就是追蹤點(diǎn)的運(yùn)動路線，這種路線就是符合某些條件的所有點(diǎn)的集合，本質(zhì)上就是軌跡問題.初中“點(diǎn)的集合”體現(xiàn)在兩個方面：一個方面是平面幾何中的“集合”，如角平分線、線段垂直平分線、圓(或圓弧);另一方面是“函數(shù)的圖像”，坐標(biāo)滿足一定函數(shù)關(guān)系的點(diǎn)的集合就是該函數(shù)的圖像，初中主要有“一次函數(shù)—直線”、“反比例函數(shù)—雙曲線”和“二次函數(shù)—拋物線”.

綜上分析，現(xiàn)存方法大多對清晰圖像只進(jìn)行了單一的正則化約束，因此不能準(zhǔn)確地表達(dá)出其內(nèi)在特性，從而降低了復(fù)原圖像的質(zhì)量。針對此問題，本文提出一種混合正則化約束的模糊圖像盲復(fù)原方法。大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明所提方法在定量和定性評價指標(biāo)上都具有更好的性能。

1 混合正則化模糊核估計(jì)模型

圖像模糊退化過程的數(shù)學(xué)模型為:

其中:B 表示模糊圖像；I 為清晰圖像；k 為模糊核；n 為加性噪聲；“?”表示卷積算子。由于圖像盲復(fù)原是一類病態(tài)反問題，現(xiàn)存方法常利用圖像的先驗(yàn)知識來改善其不適定性。其中基于極大后驗(yàn)分布（Maximum a-Posteriori，MAP）框架下的模糊核估計(jì)模型為:

其中:γ，λ 為正則項(xiàng)參數(shù)；D(I，k，B)為數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)；Φk(k)和ΦI(I)分別為模糊核和清晰圖像的先驗(yàn)分布。由式（2）可知，如何正確選取模糊核和圖像的先驗(yàn)知識是基于MAP 框架下復(fù)原技術(shù)的關(guān)鍵。

1.1 模糊核估計(jì)模型

首先，結(jié)合模糊核稀疏性的特點(diǎn)，采用模糊核L0范數(shù)正則項(xiàng)對模糊核進(jìn)行稀疏約束，與現(xiàn)有的模糊核稀疏約束方法［2-3］相比，本文則采用L0范數(shù)進(jìn)行稀疏約束。眾所周知，L0范數(shù)可以很好地解釋稀疏性，但由于L0范數(shù)在優(yōu)化上存在非凸和非光滑的特性，現(xiàn)存很多方法都將L0范數(shù)轉(zhuǎn)化為它的最優(yōu)凸近似L1范數(shù)進(jìn)行求解。為解決L0范數(shù)最小化的NP問題，本文采用交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）將其化為幾個簡單的子問題，該算法能夠保證每個子問題都有閉合解，進(jìn)而估計(jì)出準(zhǔn)確的模糊核。然后，基于圖像梯度的稀疏性，提出了混合梯度稀疏約束的方法，即混合一階和二階圖像梯度的L0范數(shù)。與單一的稀疏約束方法相比，本文算法能較好地保留圖像結(jié)構(gòu)特征和細(xì)節(jié)。混合正則化的模糊核估計(jì)模型如下:

本文提出的模糊核估計(jì)方法基于傳統(tǒng)的MAP 框架，因此可分為如下兩步來計(jì)算:1）模糊核估計(jì)；2）清晰圖像梯度估計(jì)。

《燕丹子》以在秦漢之際流傳頗廣的荊軻刺秦故事為題材，敘述戰(zhàn)國燕太子丹為報質(zhì)秦之仇和解社稷之危，募得壯士荊軻入秦，陛刺秦王。主要情節(jié)可分為逃歸、募士、刺秦三節(jié)，涉及有名有姓的人物達(dá)10人之多，而以太子丹和荊軻為主。

上述樣品均加溶劑適量，機(jī)械振搖至分散均勻，再超聲處理10 min使溶解，放冷，用溶劑稀釋至刻度，搖勻，離心，濾過，取續(xù)濾液進(jìn)樣，記錄色譜圖。

1.2 數(shù)值計(jì)算

1.2.1 模糊核估計(jì)

國內(nèi)高校旅游管理專業(yè)中，重點(diǎn)本科院校以理論學(xué)習(xí)為主，旅游管理專業(yè)所涉及的管理類課程較多，專業(yè)課程也基本以基礎(chǔ)課為主，注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)術(shù)科研思維，培養(yǎng)學(xué)生的管理能力，實(shí)踐環(huán)節(jié)所占的比重比較低，缺少實(shí)習(xí)過程，如華東師范大學(xué)、廈門大學(xué)等。招收普通本科的院校基本都采取了理論學(xué)習(xí)與實(shí)踐相結(jié)合的方式，人才培養(yǎng)方案當(dāng)中實(shí)踐教學(xué)所占比重在30%左右，多數(shù)學(xué)校采用“理論學(xué)時+實(shí)驗(yàn)學(xué)時”的課程安排，注重實(shí)習(xí)尤其是頂崗實(shí)習(xí)的作用，讓學(xué)生走進(jìn)企業(yè)，直接參與企業(yè)的生產(chǎn)管理活動，如臨沂大學(xué)、濰坊學(xué)院等。

對兩組患者在臨床治療過程中的血糖情況進(jìn)行檢測和比較，同時對患者的神經(jīng)疼痛度通過VAS評分[5]進(jìn)行評價，最高為10級，等級越高表示疼痛度越高[6]。同時對患者的血糖指標(biāo)情況進(jìn)行對比，從護(hù)理前后的餐后2小時進(jìn)行比較。對患者的用藥依從性進(jìn)行對比，其中用藥依從性采用本院自制依從性評定量表進(jìn)行評定，總分100分，依從性等級分為3級，分為完全依從（70～100分）、部分依從（40～70）和不依從（0～40分）三個等級，分?jǐn)?shù)越高表示患者的依從性越高，在臨床上能夠更好的按照醫(yī)生的要求來進(jìn)行相關(guān)的活動。

在模糊核估計(jì)過程中，給出已知的?It，模糊核在第t + 1次的外部循環(huán)中的優(yōu)化問題等價于求解如下問題:

為獲取此非凸非光滑優(yōu)化問題的最優(yōu)解，采用ADMM［19］對其進(jìn)行求解。首先引入輔助變量w，將此無約束優(yōu)化問題（4）轉(zhuǎn)化為如下的帶約束優(yōu)化問題:

此時，可得此帶約束優(yōu)化問題（13）的增廣拉格朗日函數(shù)為:

為適應(yīng)藥物制劑學(xué)的發(fā)展需要，本校在藥學(xué)、中藥學(xué)、臨床藥學(xué)三個本科專業(yè)同時開設(shè)了藥用高分子材料學(xué)課程。本課程主要研究各種藥用高分子材料的來源、制備、結(jié)構(gòu)與性質(zhì)、應(yīng)用等內(nèi)容，為藥物新劑型設(shè)計(jì)與新劑型處方提供新型高分子材料和新方法。該課程在大四第一學(xué)期設(shè)置，旨在使學(xué)生了解藥用高分子材料學(xué)的基本理論和藥物研發(fā)、藥品生產(chǎn)中常用的高分子材料的性能和應(yīng)用，初步利用相關(guān)知識理解和研究高分子材料在一般藥物制劑、緩釋制劑、控釋制劑及新型藥物傳遞系統(tǒng)中的應(yīng)用；進(jìn)一步加深學(xué)生對藥劑學(xué)課程的學(xué)習(xí)與實(shí)踐，深入理解高分子材料在藥品研發(fā)和生產(chǎn)中的重要地位[3]。

其中:ζ表示拉格朗日乘子；ρ1為懲罰因子。

利用ADMM 將式（6）分解為兩大子問題的優(yōu)化求解，即k子問題和w子問題。接下來，對k子問題和w子問題進(jìn)行交替求解，并更新拉格朗日乘子ζ直至結(jié)果按要求收斂到最優(yōu)解。

在第s+ 1 次潛在圖像梯度內(nèi)循環(huán)中，當(dāng)固定變量(Ys，Zs)和(ξs，φs)時，?I子問題可表示為如下問題:

在第s+ 1次的模糊核內(nèi)循環(huán)中，固定ws和ζs時，k的子問題可表示為:

因此，針對w 子問題，可通過硬閾值算子（Hard-Thresholding operator）Γ得到該子問題的數(shù)值解為:

乙醇濃度對AB-8大孔樹脂解吸的影響：已吸附飽和的樹脂分別用體積分?jǐn)?shù)為20%、40%、60%、80%和100%的乙醇溶液進(jìn)行洗脫，靜態(tài)解析時用100 mL乙醇解析3 h，動態(tài)解析時用100 mL乙醇以1 mL/min的流速沖柱洗脫，記錄洗脫的花色苷溶液的濃度。

其中:F表示傅里葉變換；F-1表示逆傅里葉變換。

2）w子問題的求解。

當(dāng)固定變量kt，s+1和ζs時，w 子問題是一類典型的帶L0正則化項(xiàng)的最小二乘問題:

其中:s= 0，1，…，Smax表示模糊核內(nèi)循環(huán)次數(shù)，并且每次內(nèi)循環(huán)中kt，0= kt，kt，Smax= kt+1。kt，s+1可通過最小二乘問題解決:

其中:Γa，b(x)= sign(max(|x|- 2a b，0))°x 表示硬閾值算子；sign(?)表示符號函數(shù)。

3）ζ拉格朗日乘子更新。

在每一次交替迭代過程中，為保證數(shù)值求解過程的穩(wěn)定性，拉格朗日乘子更新如下:

其中:τ為迭代步長，本文取τ = 1.618。

綜上所述，針對非凸非光滑的模糊核估計(jì)模型（4），本文提出了一種基于ADMM 的數(shù)值優(yōu)化算法對其進(jìn)行求解。首先，通過引入輔助變量w，將無約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為帶約束優(yōu)化問題，并得到其增廣拉格朗日函數(shù)；然后，通過固定相應(yīng)的變量將原問題分解為k 子問題和w 子問題；最后，利用快速傅里葉變換對k子問題進(jìn)行迭代求解，并根據(jù)硬閾值算子求得w子問題的數(shù)值解。

(3) 隨著圍巖彈性模量的增加，地表沉降值逐漸減小。圍巖彈性模量為 400 MPa、800 MPa 和1 200 MPa時，最大地表沉降值分別為 1.8 mm、3.5 mm 和 6.2 mm。

構(gòu)建一個線上展廳，此展廳涵蓋：新疆博湖縣大型節(jié)日的時間地點(diǎn)、安排節(jié)日期間需要展示的非遺商品，以視頻展示該節(jié)日當(dāng)日盛況。

中國科學(xué)技術(shù)信息研究所出版的“中國科技論文統(tǒng)計(jì)源期刊”，又稱“中國科技核心期刊”，學(xué)科范疇主要為自然科學(xué)領(lǐng)域，是目前國內(nèi)比較公認(rèn)的科技統(tǒng)計(jì)源期刊目錄。其受科技部委托，權(quán)威性名列國內(nèi)首位 。2018年11月，中國科學(xué)技術(shù)信息研究所公布了《2018年版中國科技期刊引證報告(核心版)》，《中國安全生產(chǎn)科學(xué)技術(shù)》再次被收錄。

兒童來生信念與父母來生信念得分以及死亡話題親子談話的相關(guān)矩陣如表5所示。BA量表總分與兒童來生信念總分有顯著負(fù)相關(guān)，說明父母越相信存在死后生活，他們的孩子越傾向認(rèn)為死后功能繼續(xù)。PDCA量表總分與知覺問題、情緒問題、愿望問題以及兒童來生信念測量的總分有顯著負(fù)相關(guān)，說明父母與兒童談?wù)撍劳鰰r的越多地使用描述死后生活、心理狀態(tài)的詞匯，他們的孩子越傾向認(rèn)為死后功能繼續(xù)。

同樣采用ADMM 算法對問題（12）進(jìn)行求解，求解過程同1.2.1節(jié)。

首先引入輔助變量Y和Z，將此無約束優(yōu)化問題（12）轉(zhuǎn)化為如下的帶約束優(yōu)化問題:

此時，可得此帶約束優(yōu)化問題（5）的增廣拉格朗日函數(shù)為:

其中:(ξ，φ)表示拉格朗日乘子；(ρ2，ρ3)為懲罰因子。

同理，利用ADMM 算法將問題（14）分解為兩大子問題的進(jìn)行優(yōu)化求解，即?I子問題和(Y，Z)子問題。接下來，將?I子問題和(Y，Z)子問題進(jìn)行交替求解，并更新拉格朗日乘子(ξ，φ)直至結(jié)果按要求收斂到最優(yōu)解。

1）?I子問題的求解。

1）k子問題的求解。

A段旋律是一條小小的拋物線，旋律從低到高，再從高到低，最高音是固定音高小字二組的2，最低音到達(dá)固定音高的小字一組的2。A段旋律停在主音上。接著一個八度的大跳進(jìn)行到了B段的b1，b1在“沖開封建家庭的牢籠，去尋求自由的愛情，去尋求自由的愛情”這三句是第三拍的節(jié)奏的后半拍開始，節(jié)奏以八十六為主，增強(qiáng)了歌曲的力度，表現(xiàn)了子君沖破牢籠的決心。接下來節(jié)奏用長音加三連音了歌曲的高潮部分，使樂曲節(jié)奏緊湊又舒緩，在這段中還加入了升下屬音，加強(qiáng)了力度上的變化和戲劇性。A1是再現(xiàn)樂段，使用了“同頭換尾”的手法，讓歌曲結(jié)束時意猶未盡，給人想象。

其中:s= 0，1，…，S′max表示潛在圖像梯度內(nèi)循環(huán)次數(shù)，且?It，0= ?It，?It，S′max= ?It+1。用 快 速 傅 里 葉 變 換 即 可 得 到?It，s+1的數(shù)值解:

在kt+1已知的情況下，潛在圖像梯度在第t + 1 次外部循環(huán)中可通過如下問題求解:

其中:

2）(Y，Z)子問題求解。

當(dāng)固定變量?It，s+1和(ξs，φs)時，(Y，Z)子問題是一類典型的帶L0正則化項(xiàng)的最小二乘問題，可表示為:

采用與1.2.1節(jié)相同的硬閾值算子方法求得:

其中:τ為迭代步長，本文取τ = 1.618。

1.2.2 清晰圖像梯度估計(jì)

本文模糊核估計(jì)模型（3）的數(shù)值求解過程如算法1所示。

2 清晰圖像復(fù)原

估計(jì)出模糊核后，采用非盲反卷積的方法復(fù)原清晰圖像。最簡單的方法是RL算法，但RL算法對模糊核很敏感，一旦模糊核估計(jì)出現(xiàn)錯誤，復(fù)原出的圖像將會出現(xiàn)較為嚴(yán)重的振鈴效應(yīng)。本文采用L1范數(shù)數(shù)據(jù)擬合性項(xiàng)和全變分（Total Variation，TV）的方法進(jìn)行非盲反卷積:

印度外交部長今年早些時候表示，印度不會接受美國的單方面制裁，但由于印度對美國金融體系的敞口，印度不得不減少對伊朗原油的依賴。印度是伊朗第二大石油客戶，僅次于中國。中國也表示將繼續(xù)購買伊朗原油。

其中數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)采用L1范數(shù)，與L2范數(shù)相比能夠克服奇異值對圖像復(fù)原過程的影響，更具有魯棒性［20］，有利于提升復(fù)原質(zhì)量。本文根據(jù)文獻(xiàn)［20］，采用交替最小化算法（Alternating Minimization Algorithm，AMA）求解式（23）。

綜上，本文模糊圖像盲復(fù)原算法流程分為兩個步驟，分別為模糊核估計(jì)和清晰圖像復(fù)原，如圖1 所示。模糊核估計(jì)部分對應(yīng)文中的式（3），得到模糊核之后用式（23）非盲反卷積的方法復(fù)原出清晰圖像。本文采用交替求解的方法來解決式（3）中的非凸非光滑問題，即固定當(dāng)前潛在清晰圖像梯度的估計(jì)值，更新對模糊核的估計(jì)，然后在固定模糊核的基礎(chǔ)上更新圖像梯度，循環(huán)迭代直至結(jié)果收斂。

圖1 本文算法流程Fig. 1 Flowchart of the proposed algorithm

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文分別在合成模糊圖像和真實(shí)模糊圖像上進(jìn)行定量和定性分析，并且與當(dāng)前最為經(jīng)典的方法作比較，證明本文算法的有效性。

3.1 合成模糊圖像實(shí)驗(yàn)

本文合成圖像采用K?hler 等［21］公開提供的圖像數(shù)據(jù)集:模擬人手持相機(jī)拍攝時手抖動的環(huán)境，并記錄由抖動而造成的相機(jī)運(yùn)動軌跡，認(rèn)為這些運(yùn)動軌跡充分接近真實(shí)情況下的模糊核。從中挑選出12種軌跡用于數(shù)據(jù)集的建立，即將12個模糊核分別作用于4 張真實(shí)的清晰圖像，得到48 張模糊圖像來模擬現(xiàn)實(shí)的模糊情況。本文首先選取常用的峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）和結(jié)構(gòu)相似性（Structural SIMilarity，SSIM）作為定量評價指標(biāo)。表1 給出了8 種盲復(fù)原算法［1-3，6-7，22-24］與本文算法的PSNR 和SSIM 的對比結(jié)果。從表1 的數(shù)據(jù)中可以看出，本文算法有著最高的PSNR 與SSIM的平均值，說明本文算法的復(fù)原結(jié)果質(zhì)量更高，從顏色和結(jié)果上更加接近真實(shí)的清晰圖像；并且PSNR和SSIM標(biāo)準(zhǔn)差最小，說明本文算法更加穩(wěn)定，對不同模糊核大小的模糊圖像都有著較好的復(fù)原結(jié)果。Zhang 等［25］比較了幾種全參考圖像質(zhì)量評價算法，統(tǒng)計(jì)了每種全參考圖像質(zhì)量評價算法的客觀值和主觀值之間的相關(guān)系數(shù)，驗(yàn)證了特征相似性（Feature SIMilarity，F(xiàn)SIM）的評價結(jié)果準(zhǔn)確性最高。表2 給出了FSIM（灰度圖像）及FSIMC（彩色圖像）的結(jié)果對比，結(jié)果顯示本文算法有著最高的FSIM 及FSIMC值，說明本文算法復(fù)原出的圖像更接近真實(shí)的參考圖像。

表1 PSNR和SSIM的結(jié)果對比Tab. 1 Comparison of PSNR and SSIM

表2 FSIM和FSIMC的結(jié)果對比Tab. 2 Comparison of FSIM and FSIMC

為進(jìn)一步說明本文提出的混合正則化約束模型的有效性，圖2 給出一張合成模糊圖像的復(fù)原結(jié)果對比圖，實(shí)驗(yàn)所用的模糊圖像來源于K?hler 等［21］提供的數(shù)據(jù)集，其圖像模糊核大小為145× 145。由圖2 可以看出，針對模糊核較大的合成圖像，本文算法也可以估計(jì)出較為準(zhǔn)確的模糊核，并且復(fù)原出的圖像質(zhì)量明顯提高。綜上實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，針對合成的模糊圖像，本文算法在評價標(biāo)準(zhǔn)和視覺效果上都有顯著提升。

圖2 合成模糊圖像復(fù)原結(jié)果Fig. 2 Restoration results of synthetic blurred image

3.2 真實(shí)模糊圖像實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步評價本文算法的復(fù)原質(zhì)量，由3.1 節(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果中選取3 種結(jié)果較好且最為經(jīng)典的算法進(jìn)行真實(shí)模糊圖像實(shí)驗(yàn)分析。其中，真實(shí)的模糊圖像是拍攝過程中由于相機(jī)抖動而產(chǎn)生的模糊圖像，本文實(shí)驗(yàn)所用的真實(shí)模糊圖像由Pan［6］、Xu［7］提供。圖3給出了7張真實(shí)模糊圖像的復(fù)原結(jié)果對比（模糊 核 大 小 分 別 為27× 27、31× 31、35× 35、35× 35、41×41、55× 55、55× 55）。為保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的公平性，其他算法的復(fù)原結(jié)果均來自于其作者公開提供的程序。從圖3 可以看出，本文算法針對不同大小模糊核的真實(shí)模糊圖像有著很好的復(fù)原效果。

針對模糊核較大情況下的模糊圖像復(fù)原是一個具有挑戰(zhàn)性的問題，現(xiàn)存的有些方法無法估計(jì)出較為準(zhǔn)確的模糊核，從而降低了復(fù)原結(jié)果的質(zhì)量。圖4 為3 張較大模糊核的真實(shí)圖像復(fù)原結(jié)果對比（模糊核大小分別為59 × 59、95× 95、135×135），以此驗(yàn)證了本文算法的有效性。Krishnan算法［3］復(fù)原的結(jié)果有明顯的振鈴效應(yīng)，致使復(fù)原結(jié)果嚴(yán)重失真，為減輕振鈴效應(yīng)帶來的負(fù)面影響，本文在非盲反卷積部分采用L1數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)和TV 正則項(xiàng)，有效地抑制了振鈴效應(yīng)。Pan 算法［6］、Xu算法［7］的復(fù)原圖像細(xì)節(jié)部分不夠清晰并且估計(jì)出的模糊核中有異常值的存在，降低了復(fù)原圖像的質(zhì)量；而本文算法采用混合正則項(xiàng)對圖像邊緣細(xì)節(jié)進(jìn)行稀疏約束，對細(xì)節(jié)部分仍有著很好的去模糊效果。在對比實(shí)驗(yàn)中，Krishnan算法［3］采用L1范數(shù)對模糊核進(jìn)行稀疏約束，而本文基于L0范數(shù)的特性對模糊進(jìn)行稀疏約束，有助于模糊核稀疏性的表達(dá)，從而估計(jì)出更加準(zhǔn)確的模糊核。與此同時，與Pan算法［6］采用的圖像一階梯度的稀疏正則化方法相比，本文改用混合圖像一階梯度和二階梯度的正則化方法有助于估計(jì)出更加準(zhǔn)確的模糊核，從而復(fù)原出更清晰的圖像。綜上，本文算法針對模糊核較大的真實(shí)模糊圖像仍有著很好的復(fù)原效果。

盡管目前有很多種盲復(fù)原算法被提出，但是這些方法主要都是基于自然圖像先驗(yàn)。由于文本圖像的分布不同于自然圖像，所以往往這些方法不能有效地處理文本圖像。又因人臉圖像含有比較少的紋理信息，現(xiàn)存的很多方法很難恢復(fù)其清晰的邊緣來幫助模糊核估計(jì)。為證得本文算法的實(shí)用性和靈活性，針對文本圖像、人臉圖像進(jìn)行復(fù)原并比較分析。圖5的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Krishnan 算法［3］、Pan 算法［6］和Xu 算法［7］無法估計(jì)出準(zhǔn)確的模糊核，從而嚴(yán)重影響了復(fù)原結(jié)果；而本文算法的混合稀疏約束能夠得到準(zhǔn)確的模糊核，復(fù)原出更高質(zhì)量的文本圖像。

圖3 真實(shí)模糊圖像復(fù)原結(jié)果Fig. 3 Restoration results of real blurred images

圖4 模糊核較大的模糊圖像復(fù)原結(jié)果Fig. 4 Restoration results of blurred images with large-scale blur kernels

圖5 文本模糊圖像復(fù)原結(jié)果Fig. 5 Restoration results of text blurred images

針對人臉圖像，如圖6 所示，基于圖像梯度的混合約束，本文算法能夠較好地保留圖像結(jié)構(gòu)特征和細(xì)節(jié)，有著很好的去模糊性能。

除此之外，由于水上模糊圖像包含大片天空區(qū)域和水域，大量模糊圖像盲復(fù)原算法無法對其有效地去模糊。圖7 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文算法對水上模糊圖像仍具有較好的去模糊能力。

圖6 人臉模糊圖像復(fù)原結(jié)果Fig. 6 Restoration results of face blurred images

圖7 水上模糊圖像復(fù)原結(jié)果Fig. 7 Restoration results of ocean blurred images

綜上實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比驗(yàn)證了本文提出的模糊圖像盲復(fù)原算法的有效性和魯棒性。

4 結(jié)語

為了實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的模糊圖像盲復(fù)原，本文基于模糊核的稀疏性，提出了L0范數(shù)的模糊核正則化約束，稀疏先驗(yàn)保持了模糊核估計(jì)的準(zhǔn)確性。同時采用混合圖像梯度的稀疏先驗(yàn)，即混合一階和二階圖像梯度的L0范數(shù)的正則化方法，保持了圖像梯度的稀疏性和顯著邊緣，有助于穩(wěn)定模糊核估計(jì)。并利用ADMM 算法解決了帶有L0范數(shù)的非凸非光滑問題。最后通過大量的實(shí)驗(yàn)，不僅從客觀的評價標(biāo)準(zhǔn)上驗(yàn)證了本文算法的有效性，而且在主觀視覺效果上也得到了很明顯的改善。