控制變量以靜制動

楊春霞

圖形與幾何問題一直是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和難點。在眾多幾何問題中，以圓為背景考查的試題則更具有綜合性。當(dāng)圓與三角形、四邊形等圖形結(jié)合時還加入了圖形運(yùn)動，眾多同學(xué)會感覺很困難，無從下手。下面結(jié)合例題對兩類動圓問題進(jìn)行剖析。

一、看得見的圓在動，看不見的位置在變

例1 如圖1，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點D（3，0）和點E（0，4）。動點C從點M（5，0）出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向左做勻速運(yùn)動，與此同時，動點P從點D出發(fā)，也以1個單位長度/秒的速度沿射線DE的方向做勻速運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動時間為t秒。

（1）請用含t的代數(shù)式分別表示出點C與點P的坐標(biāo)。

（2）以點C為圓心、[12t]個單位長度為半徑的圓，與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），連接PA、PB。

①當(dāng)⊙C與射線DE有公共點時，求t的取值范圍;

②當(dāng)△PAB為等腰三角形時，求t的值。

【分析】第（1）問是為第（2）問服務(wù)的，用t表示點C、P的坐標(biāo)，實際上是用含t的代數(shù)式來表示兩點到坐標(biāo)軸的距離。第（2）問首先要有一種“遇動會變、分類相隨”的意識。這樣的分類在條件中是可以捕捉到信息的，比如“當(dāng)△PAB為等腰三角形時”。這種說法對等腰三角形沒有指明要素關(guān)系，即不知道哪兩邊是腰。因而，在具有分類意識的情況下，我們對動圓狀態(tài)的研究就要細(xì)致，讓圓慢慢地動，尋找靜的臨界時刻。

【分析】第（1）問以小明的作法為基礎(chǔ)考查菱形的證明，需要同學(xué)們先理解作法，再結(jié)合菱形的判定定理進(jìn)行邏輯推理證明。第（2）問是沿著小明的思路進(jìn)一步探索菱形的個數(shù)與點D的位置關(guān)系。在探索過程中，同學(xué)們首先要借助直觀想象發(fā)現(xiàn)點E在以點D為圓心、DG為半徑的動圓上，因此，菱形的個數(shù)一方面受動圓與線段AB的交點情況的制約，另一方面受AB長度的制約，考查思維的全面性。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部）