數(shù)形結合“畫”難為易

許敏燕

【摘要】學生在計算小數(shù)乘法簡便運算時總會出現(xiàn)各種各樣的錯誤，其中，乘法結合律和分配律的應用混淆是最為突出的。學生對這兩個運算定律的應用只是處于機械地公式套用層面，而沒有真正理解其本質含義。面對這樣的現(xiàn)狀，文章決定從“根”上下手“治療”，利用數(shù)形結合的思想，通過畫圖的方法，使學生真正理解運算定律的含義。

【關鍵詞】數(shù)形結合；運算定律；小數(shù)乘法

小數(shù)乘法是人教版五年級上冊第一單元的學習內容，盡管整數(shù)乘法和小數(shù)點的移動都是已經(jīng)學過的知識，然而學生在計算過程中還是出現(xiàn)了各類錯誤，簡便計算這部分錯誤更為明顯。在一次練習測試中，本班41名學生的計算錯誤令筆者感到震驚：7道小數(shù)乘法簡便計算題，只有7名學生全對。通過對剩下的34名學生進行錯因的分析，其中計算方法掌握不當?shù)膶W生竟占63.4%。基于這樣的學情，筆者決定對這部分知識進行改進教學。為了更為精準地定位學情，對本班學生進行了第二次專項簡便計算練習。共8題，40名學生（1人請假）參加測試，只有5名學生全對。對35名學生的錯誤進行了仔細的分析，情況如下。

第1題：0.8×0.25×0.4×12.5，錯誤5人。錯誤舉例：0.25 ×0.4=1；10×0.1=10；12.5×0.8+0.25×0.4。錯因分析：對25×4=100不敏感；小數(shù)點移動有問題；與分配律混淆。

第2題：56×1.25，錯誤8人。錯誤舉例：8×1.25=100；8×8×1.25；8×1.25×7×1.25。錯因分析：小數(shù)點移動有問題1人；方法不會5人；與分配律混淆3人；對125×8=1000不敏感2人；56拆分錯誤2人。

第3題：0.25×149×1.6，錯誤19人。錯誤舉例：0.25× 0.4=1；149×0.4=596（3人）；1.6=0.4×0.4（4人）；1.6=4×4（3人）；1.6=0.8×2；1.6=0.4×1.2；262.85×1.6；0.25×1.6÷2×149；0.25×0.4+149×0.4；0.25×1.6×149；0.25×1.6×149=0.4×149；0.25×0.4×149+0.4。錯因分析：小數(shù)點移動有問題；有8人對拆分1.6出錯；對25×4=100不敏感；不會拆分有2人；與分配律混淆有2人。

第4題：234×10.1，錯誤8人。錯誤舉例：10.1=10-0.1（2人）；234×0.1=2340；2340+23.4=257.4；234×10=234（2人）。錯因分析：拆分10.1有問題2人；小數(shù)加法、小數(shù)點移動有問題3人。

第5題：9.8×7.16，錯誤18人。錯誤舉例：9.8=9+8；9.8= 10+0.2；9.8=9.8+0.2（2人）；71.6-1.432=57.28；0.2×7.16= 14.32；10×7.16=716；0.2×7.16=2.132（=1.732）；9×7+8×0.16；9.8×7+9.8×0.16（2人）；9.8×（10-2.84）。錯因分析：9.8拆分有問題4人；小數(shù)點移動問題2人；小數(shù)減法出錯7人；小數(shù)乘法出錯2人；分配律有問題3人；方法不太妥3人（先拆7.16再用分配律）。

第6題：6.1×3.6+3.6×3.9，錯誤3人。錯誤舉例：3.6× 10=360；6.1+3.9+7.2。錯因分析：小數(shù)點的移動有問題；不會分配律的逆運算。

第7題：79.9×13.7+87.3×7 9.9-79.9，錯誤13人。錯誤舉例：13.7+87.3-1=10.1；（13.7+87.3-79.9）×79.9（2人）；79.9×（13.7+87.3）（2人）；79.9×（13.7+87.3）；79.9×13.7+ 87.3×79.9；79.9×100-79.9。錯因分析：小數(shù)加減法出問題有6人；沒有理解1個79.9的意思有2人；沒有處理79.9有2人；開始沒有處理79.9，后來又補上去了的有2人；79.9的處理不是最佳處理方式。

第8題：8.8×1.259，錯誤6人。錯誤舉例：8.8=8-0.8；8.8= 8×11（3人）；8.8=8×0.8；8×12.5=2。錯因分析：拆分8.8出錯的有5人；對8×125=1000不敏感的1人。

對上述學情進行整理、統(tǒng)計，提出相應的應對措施，進行教學設計（如表1）。

從不同角度對學生的錯因進行分析后發(fā)現(xiàn)，其實60%的學生對整數(shù)乘法的運算定律掌握出現(xiàn)了問題。因此，如果只是對“歷史遺留問題”進行反復的操練，學生不但不能有所改善，反而會越發(fā)糊涂。讓學生通過數(shù)形結合，重新認識運算定律才是當務之急。基于這樣的思考，筆者設計了如下的教學實踐。

一、談話導入

同學們，昨天我們做了36×2.5這道題（板書：36×2.5），老師把大家的方法進行了羅列，現(xiàn)在我們一起來看一看，哪些做法是對的？哪些是不對的？為什么？

預設：“1、2分別運用了乘法結合律和乘法分配律，而3、4、5方法用錯了，3應該把加號改成乘號，4多乘了一個2.5，應該去掉，5后面還得是0.5乘36。”

“為什么要這么做呢？”

預設：“因為根據(jù)運算定律是這樣的。”

“這樣的解釋還是沒有說明為什么再乘2.5就錯了，不乘才是對的。看來大家都只是會做，但為什么這么做這個道理都說不清楚。”

二、利用數(shù)形結合，理解運算定律

1.理解36×2.5的意義

（1）我們來看36×2.5這道算式，你覺得這道算式可以解決什么樣的問題呢？

預設：“36個2.5是多少？”

（2）他從乘法的意義進行了解釋，能不能結合生活實際來說說看。

預設1：“買36支筆，每只筆2.5元，一共需要多少元？”

預設2：“可以解決長方形的面積問題。”

（3）同學們舉了不少例子，真不錯，那在這些例子中，它們有什么相同的地方呢？都是在求36個2.5是多少？（板書：36個2.5是多少？）

2.數(shù)形結合，理解運算定律的應用

（1）獨立探究。大家腦海里都有了一些例子，下面請你利用這些例子來有理有據(jù)地說一說為什么1、2是對的，3、4、5是不對的。現(xiàn)在你可是榮升為一名研究者咯，請看清楚研究要求：選擇自己喜歡的例子（可以是剛才同學舉的，也可以是你自己想到的），通過畫一畫、圈一圈等方式來解釋為什么1、2的簡算過程是對的。也可以用這樣的方式來解釋為什么3、4、5的簡算過程是不對的。

（2）小組合作。下面以四人小組為單位進行相互學習和交流，請看清楚合作要求。

①把研究結果相互交換，試著讀懂其他三個同伴的方法。②如果讀不懂，再請教同伴。③想一想，方法之間有什么聯(lián)系。（共同點是什么？不同的是什么？）

解釋第1、2題為什么是對的（學生作品）。盡管從運算定律的本質含義上去解釋第3、4、5題為什么是錯的很難，但是有時你真的不得不佩服學生的創(chuàng)造力。

（3）全班交流匯報。現(xiàn)在請幾個組上來介紹自己的研究結果，有請分享者之前，老師想對傾聽的孩子們提出要求，請大家邊聽邊思考：

①方法對嗎？有什么建議？②你受到了什么啟發(fā)？③對他的方法，你有什么疑問？

分享者介紹完自己的方法后問同學們：我的方法對嗎？你們聽懂了嗎？你受到了什么啟發(fā)呢？你還有什么疑問？

（4）回顧小結。同學們，你還記不記得剛開始我們是怎么來解釋這5個題目的對錯的？我們只說了運算定律的應用，而現(xiàn)在我們又是怎么來解釋的？舉了具體的事例，畫了很多的圖形，有具體物品價格的圖，有圖形面積的，這樣有理有據(jù)的解釋更加直觀，顯得與眾不同，別人更加能理解。是的，在這個過程中，你有什么收獲？

①通過各種畫圖的方式來解釋更為直觀、更好理解了。②都解釋了36個2.5是多少？

三、練習鞏固

出示：79.9×7+4×79.9-79.9。

想一想，你準備用什么事例或畫怎么樣的圖形來說清楚這個題呢？同桌相互說一說。

四、課堂小結

今天我們通過“36個2.5是多少？”這個例子對小數(shù)乘法簡便計算進行了重新認識，相信今后你一定能有理有據(jù)地分析簡算了。

利用數(shù)形結合的數(shù)學思想，通過創(chuàng)造情境、畫圖表示的方法，學生對乘法結合律和分配律有了較為豐富的認識，真正理解了其數(shù)學的本質含義，做到了“知其然更知其所以然”。這樣的改進，這樣的教學實踐，不僅從根本上解決了“歷史遺留問題”，而且為學生今后學習分數(shù)的簡便計算鋪路搭橋。

【參考文獻】

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版） [M].北京：北京師范大學出版社，2012.