基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的電動(dòng)負(fù)載模擬器反演滑模控制

代明光，齊蓉

西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，西安 710129

飛機(jī)前輪轉(zhuǎn)彎操縱系統(tǒng)能夠操縱飛機(jī)在地面滑行過(guò)程中轉(zhuǎn)彎，起到糾正飛機(jī)航向，保障飛機(jī)滑行及起降階段安全的關(guān)鍵作用。隨著功率電傳(Power-By-Wire，PBW)技術(shù)和機(jī)電作動(dòng)器(Electro-Mechanical Actuator，EMA)伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)及其高性能控制技術(shù)的發(fā)展，一些中小型飛機(jī)特別是無(wú)人機(jī)的前輪轉(zhuǎn)彎操縱系統(tǒng)正由傳統(tǒng)的液壓式替換為電傳式[1-2]。電傳式無(wú)人機(jī)前輪轉(zhuǎn)彎系統(tǒng)由EMA驅(qū)動(dòng)，能省去復(fù)雜的液壓機(jī)構(gòu)及管路，避免了液壓油泄漏等問(wèn)題，且EMA具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小和控制精度高等優(yōu)點(diǎn)，能節(jié)省安裝空間，減輕無(wú)人機(jī)重量，而EMA性能的優(yōu)劣直接決定了無(wú)人機(jī)的滑行和起降性能[3-4]。

電動(dòng)負(fù)載模擬器(Electric Dynamic Load Simulator，EDLS)能夠在實(shí)驗(yàn)室條件下準(zhǔn)確模擬無(wú)人機(jī)前輪操縱系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中的復(fù)雜負(fù)載特征，以驗(yàn)證和測(cè)試EMA伺服系統(tǒng)在各種載荷作用下的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能指標(biāo)。這種實(shí)驗(yàn)室仿真負(fù)載模擬系統(tǒng)，能夠降低成本，縮短研制周期以及通過(guò)調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)就可以用于不同型號(hào)的EMA伺服系統(tǒng)，具有更強(qiáng)的普適性[5-8]。

隨著電機(jī)驅(qū)動(dòng)以及電磁轉(zhuǎn)矩高性能控制技術(shù)的發(fā)展，以伺服電機(jī)為驅(qū)動(dòng)核心的EDLS得到了大量的研究和應(yīng)用[9-11]。面裝式永磁同步電機(jī)(Surface Permanent Magnet Synchronous Motor，SPMSM)具有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小、動(dòng)態(tài)響應(yīng)快、轉(zhuǎn)矩輸出精度高等優(yōu)點(diǎn)，配合符合功率要求的減速機(jī)構(gòu)即可實(shí)現(xiàn)大力矩加載，通常用作EDLS的加載執(zhí)行機(jī)構(gòu)。然而，SPMSM本體具有強(qiáng)耦合，非線性等特點(diǎn)，且不同于傳統(tǒng)的位置伺服系統(tǒng)，電動(dòng)負(fù)載模擬器系統(tǒng)是一種被動(dòng)式力矩伺服系統(tǒng)。被加載EMA機(jī)構(gòu)的伺服運(yùn)動(dòng)帶來(lái)的強(qiáng)位置干擾，會(huì)使EDLS產(chǎn)生多余力矩[12]，嚴(yán)重影響加載力矩的輸出精度。此外，EDLS傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中摩擦、間隙等非線性因素也會(huì)對(duì)加載力矩的輸出產(chǎn)生不良的影響，因此，如何設(shè)計(jì)高性能的控制器是實(shí)現(xiàn)高精度加載的關(guān)鍵。

針對(duì)EDLS中存在的位置擾動(dòng)、摩擦力矩、傳動(dòng)間隙以及其他非線性因素對(duì)加載力矩精度的影響，文獻(xiàn)[13]同時(shí)將被加載對(duì)象主動(dòng)運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)、摩擦非線性和參數(shù)不確定性等因素視為總的外部干擾，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和線性差分包含(Linear Difference Inclusions，LDI)構(gòu)建系統(tǒng)模型，采用并行分布式補(bǔ)償結(jié)構(gòu)和H∞性能準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)對(duì)外部干擾的抑制，實(shí)現(xiàn)高精度力矩加載，但算法較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[14]針對(duì)被加載對(duì)象的主動(dòng)位置運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的多余力矩問(wèn)題，提出了一種比例加載諧振(Proportional Resonant，PR)的控制策略，實(shí)現(xiàn)了對(duì)負(fù)載力矩的精確控制。文獻(xiàn)[15]提出了一種新型的前饋加反饋的復(fù)合控制策略，其中前饋控制采用小腦模型關(guān)節(jié)控制器，反饋控制采用傳統(tǒng)的PID控制器，仿真實(shí)驗(yàn)表明該方法能很好地抑制擾動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)飛機(jī)舵機(jī)的高精度力矩加載，但是沒(méi)有給出實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)[16]采用魯棒控制策略解決了被加載對(duì)象強(qiáng)位置擾動(dòng)對(duì)EDLS的力矩輸出精度的影響，但該算法對(duì)系統(tǒng)模型準(zhǔn)確性要求較高；文獻(xiàn)[17] 采用自適應(yīng)模糊力矩控制算法，解決算法對(duì)系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型的依賴(lài)，但算法調(diào)試對(duì)經(jīng)驗(yàn)要求較高，不利于推廣。

反演控制能夠簡(jiǎn)化復(fù)雜高階不確定非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題[18]，滑模控制(Sliding Mode Control，SMC)控制結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，不依賴(lài)系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，且對(duì)系統(tǒng)中存在的干擾、參數(shù)攝動(dòng)等具有很強(qiáng)的魯棒性[19]。擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器(Extended State Observer，ESO)能用來(lái)實(shí)時(shí)估計(jì)系統(tǒng)內(nèi)外部干擾，觀測(cè)不確定系統(tǒng)的狀態(tài)，是一種性能優(yōu)良的觀測(cè)器，廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)中[20-24]。因此，針對(duì)EDLS中存在的問(wèn)題，本文提出了一種基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的反演滑模控制策略。通過(guò)將EDLS分為2個(gè)子系統(tǒng)，利用反演控制的思想，對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)ESO，以觀測(cè)出不同子系統(tǒng)中存在的干擾，再通過(guò)構(gòu)建滑模控制器解決干擾誤差對(duì)系統(tǒng)的影響，利用設(shè)計(jì)的中間虛擬控制量，逐步遞推得到系統(tǒng)所需的控制量，最終實(shí)現(xiàn)EDLS的高精度加載力矩輸出。

1 電動(dòng)負(fù)載模擬器結(jié)構(gòu)及原理

用于測(cè)試電傳式無(wú)人機(jī)前輪轉(zhuǎn)彎操縱系統(tǒng)中EMA伺服系統(tǒng)性能的EDLS結(jié)構(gòu)如圖1所示。

根據(jù)力矩的傳遞關(guān)系，EDLS主要由加載電機(jī)及其配套的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，測(cè)量軸系位置的光電編碼器，用于力矩放大的減速機(jī)，實(shí)時(shí)測(cè)量軸系轉(zhuǎn)矩的力矩傳感器，以及相關(guān)的支撐和連接機(jī)構(gòu)等組成。其中，SPMSM為加載電機(jī)，是EDLS的力矩加載元件，其輸出的電磁轉(zhuǎn)矩經(jīng)過(guò)減速機(jī)放大后，通過(guò)具有零回傳間隙的波紋管聯(lián)軸器與力矩傳感器同被加載EMA伺服系統(tǒng)相連接。并且EDLS通過(guò)利用力矩傳感器測(cè)量的軸系實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)矩和安裝在傳動(dòng)軸上不同位置的光電編碼器(光編)提供的位置信息，完成相應(yīng)的力矩閉環(huán)控制算法，實(shí)現(xiàn)高精度的力矩加載。

由圖1可知，EMA伺服系統(tǒng)由EMA控制器及其驅(qū)動(dòng)器和EMA機(jī)械本體構(gòu)成，電動(dòng)負(fù)載模擬器對(duì)EMA伺服系統(tǒng)進(jìn)行力矩加載工作時(shí)，EMA伺服系統(tǒng)按照無(wú)人機(jī)前輪轉(zhuǎn)彎操縱系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)給出的運(yùn)動(dòng)軌跡作位置伺服運(yùn)動(dòng)。無(wú)人機(jī)前輪轉(zhuǎn)彎操縱系統(tǒng)操縱無(wú)人機(jī)轉(zhuǎn)彎時(shí)，EMA會(huì)受到來(lái)自地面所帶來(lái)的復(fù)雜的動(dòng)態(tài)載荷，其大小與無(wú)人機(jī)前輪的轉(zhuǎn)彎角度正相關(guān)。因此，實(shí)際實(shí)驗(yàn)中電動(dòng)負(fù)載模擬器的加載載荷指令，一般由設(shè)置的加載梯度系數(shù)與安裝在EMA端光電編碼器測(cè)定的轉(zhuǎn)角相乘得到。EDLS控制器利用力矩傳感器測(cè)定的實(shí)際加載力矩信息構(gòu)成力矩閉環(huán)，通過(guò)設(shè)定的控制算法得出SPMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的控制輸入，從而使SPMSM輸出合適的電磁轉(zhuǎn)矩，該電磁轉(zhuǎn)矩經(jīng)減速機(jī)放大以及傳動(dòng)機(jī)構(gòu)傳動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)EMA的載荷模擬。

圖1 EDLS結(jié)構(gòu)及原理示意圖Fig.1 Diagram of EDLS structure and principle

2 電動(dòng)負(fù)載模擬器數(shù)學(xué)模型及問(wèn)題描述

電動(dòng)負(fù)載模擬器是一種典型的被動(dòng)式力矩伺服系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)上EDLS與被加載EMA通過(guò)力矩傳感器剛性連接，使得EDLS和EMA存在復(fù)雜的耦合特性。加載測(cè)試時(shí)，EMA按期望位置指令做主動(dòng)位置伺服運(yùn)動(dòng)，而EDLS在對(duì)EMA進(jìn)行對(duì)應(yīng)指令載荷加載的同時(shí)也需要被動(dòng)的跟隨EMA運(yùn)動(dòng)。

EMA的主動(dòng)位置運(yùn)動(dòng)會(huì)對(duì)EDLS的力矩閉環(huán)控制產(chǎn)生強(qiáng)干擾，會(huì)在EDLS中產(chǎn)生多余力矩干擾，除此之外，系統(tǒng)中還存在時(shí)變參數(shù)，傳感器量測(cè)噪聲，摩擦非線性等多種非線性因素，這些因素嚴(yán)重影響了EDLS的加載力矩輸出精度，也使得力矩控制變得困難。因此，根據(jù)設(shè)計(jì)的EDLS結(jié)構(gòu)及工作原理，考慮系統(tǒng)中存在非線性和耦合等因素，建立用于EMA伺服系統(tǒng)負(fù)載模擬的EDLS的數(shù)學(xué)模型，并分析影響加載力矩精度的原因，為EDLS的力矩控制器設(shè)計(jì)提供參考。

SPMSM作為EDLS的載荷輸出機(jī)構(gòu)，采用以電磁轉(zhuǎn)矩和電機(jī)磁通為控制量的直接轉(zhuǎn)矩控制(Direct Torque Control，DTC)驅(qū)動(dòng)器。通常情況下，其轉(zhuǎn)矩響應(yīng)時(shí)間為1～2 ms，而根據(jù)實(shí)際技術(shù)要求，EDLS的工作頻率在20 Hz以內(nèi)，故基于DTC控制策略的SPMSM能保證電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)速度及輸出精度。因此，實(shí)際工程中，在進(jìn)行EDLS的力矩控制算法設(shè)計(jì)時(shí)，可以忽略SPMSM驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)特性和飽和特性，將SPMSM輸出的電磁轉(zhuǎn)矩Te與輸入到DTC驅(qū)動(dòng)器的轉(zhuǎn)矩控制電壓um(t)等效為比例環(huán)節(jié)，即

Te=Kmum(t)

(1)

式中:Km為DTC驅(qū)動(dòng)器的轉(zhuǎn)矩控制電壓um(t)與SPMSM輸出的電磁轉(zhuǎn)矩Te的比例系數(shù)，其值可以通過(guò)對(duì)SPMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)實(shí)驗(yàn)獲得。

考慮EDLS中存在的摩擦力矩和外部不確定的力矩干擾等非線性因素，則SPMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以描述為

(2)

式中:Jm為SPMSM轉(zhuǎn)子、減速機(jī)和傳動(dòng)軸折合到電機(jī)軸上的總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Bm為SPMSM的阻尼系數(shù)；ωm為SPMSM的轉(zhuǎn)動(dòng)速度；Ng為減速機(jī)的減速比；TL為負(fù)載力矩；Tf為由摩擦非線性、外部不確定干擾等因素引起的未知干擾力矩總和。

力矩傳感器用于測(cè)量EDLS的加載力矩，忽略其本身慣量和力矩傳遞過(guò)程對(duì)加載系統(tǒng)的影響，則力矩傳感器可以近似為一彈性模型。根據(jù)胡克定律，力矩傳感器傳遞力矩的大小由其兩端的角度差確定，故其數(shù)學(xué)模型為

(3)

式中:KG為力矩傳感器的剛度系數(shù)；θm為SPMSM的轉(zhuǎn)動(dòng)角度；θa為被加載EMA的等效轉(zhuǎn)動(dòng)角度。將力矩傳感器和位置傳感器的測(cè)量誤差，以及參數(shù)不確定性和未建模動(dòng)態(tài)視為復(fù)合干擾，對(duì)式(3)求導(dǎo)，可得EDLS輸出力矩的動(dòng)態(tài)方程為

(4)

式中:ωa為被加載EMA的等效轉(zhuǎn)動(dòng)速度；d1為復(fù)合干擾項(xiàng)。

由式(3)和式(4)可以直觀地看出，被加載EMA運(yùn)動(dòng)直接影響EDLS的輸出力矩的動(dòng)態(tài)特性。由于EMA的位置信息可以通過(guò)安裝在力矩傳動(dòng)軸上的高精度位置傳感器精確獲得，因此可以將被加載EMA的主動(dòng)位置伺服運(yùn)動(dòng)視為對(duì)EDLS的已知的強(qiáng)位置干擾。而實(shí)際系統(tǒng)中，力矩傳感器輸出信號(hào)不可避免地存在量測(cè)噪聲，會(huì)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生不良的影響。同時(shí)考慮到SPMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中存在的未建模動(dòng)態(tài)及參數(shù)攝動(dòng)對(duì)EDLS的影響，令x1=TL，x2=ωm，u=um，聯(lián)立式(1)、式(2)和式(4)可得EDLS的狀態(tài)方程為

(5)

式中:d2為SPMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)及未建模動(dòng)態(tài)等未知干擾項(xiàng);y為電動(dòng)負(fù)載模擬器的輸出力矩;ηy為量測(cè)噪聲信號(hào)。

通過(guò)安裝在EDLS中的力矩傳感器和相應(yīng)位置的角度傳感器，EDLS輸出的加載力矩及SPMSM的轉(zhuǎn)速可以方便的測(cè)量，即EDLS的狀態(tài)變量x1，x2都可以實(shí)時(shí)獲得。便于設(shè)計(jì)合適的控制器，在系統(tǒng)存在諸多干擾因素的情況下，實(shí)現(xiàn)EDLS對(duì)期望加載力矩Tref(t)的精確跟蹤。為了方便后續(xù)控制器設(shè)計(jì)和分析，給出如下假設(shè)：

假設(shè) 1Tref(t)連續(xù)，其前兩階導(dǎo)數(shù)一致連續(xù)且有界。

假設(shè) 2θa(t)連續(xù)，其前兩階導(dǎo)數(shù)一致連續(xù)且有界。

假設(shè) 3Tf(t)連續(xù)，且其導(dǎo)數(shù)一致連續(xù)且有界。

假設(shè) 4di(i=1,2)連續(xù)有界，且滿足Lipschitz條件。即|di|

3 電動(dòng)負(fù)載模擬器的控制器設(shè)計(jì)

電動(dòng)負(fù)載模擬器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制器，使得狀態(tài)x1與期望加載力矩Tref的誤差能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，并且保證電動(dòng)負(fù)載模擬器在存在模型不確定性、未建模動(dòng)態(tài)和內(nèi)外界干擾等因素情況下加載力矩的跟蹤精度和魯棒性能。本文利用反演滑模控制方法，采用反演遞推的思想，將式(5)所述的電動(dòng)負(fù)載模擬器系統(tǒng)，分解為2個(gè)子系統(tǒng)，即由式(5)的第1個(gè)微分方程描述的負(fù)載力矩子系統(tǒng)，記為子系統(tǒng)1，由式(5)的第2個(gè)微分方程描述的SPMSM驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)，記為子系統(tǒng)2，對(duì)2個(gè)子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的滑模控制器，其控制框圖如圖2所示。由圖2可知，基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的EDLS反演滑模控制器的基本設(shè)計(jì)步驟如下： ① 通過(guò)對(duì)子系統(tǒng)1構(gòu)建帶有濾波器的ESO，以抑制低通濾波器對(duì)ESO觀測(cè)性能的影響，同時(shí)觀測(cè)出不確定性和干擾的值z(mì)12，結(jié)合滑模控制強(qiáng)魯棒性的優(yōu)點(diǎn)，將EDLS的狀態(tài)變量x2作為子系統(tǒng)1的虛擬控制量設(shè)計(jì)滑模控制器，用ESO干擾量的值替代常規(guī)滑模控制的高頻切換控制項(xiàng)，得出子系統(tǒng)2所對(duì)應(yīng)的參考給定量x2r；② 針對(duì)子系統(tǒng)2中存在的參數(shù)攝動(dòng)和未建模動(dòng)態(tài)等因素，設(shè)計(jì)非奇異終端滑模控制器，使得跟蹤誤差能在指定的時(shí)間內(nèi)收斂，得出最終控制量u，即EDLS所需的加載力矩控制電壓。從而，能夠使得EDLS輸出的負(fù)載力矩達(dá)到期望的性能指標(biāo)。

圖2 基于ESO的EDLS反演滑模控制框圖Fig.2 Backstepping SMC block diagram of EDLS based on ESO

3.1 負(fù)載力矩子系統(tǒng)設(shè)計(jì)

考慮EDLS的負(fù)載力矩子系統(tǒng)：

(6)

將狀態(tài)變量x2作為子系統(tǒng)1的虛擬控制量，控制目標(biāo)為設(shè)計(jì)虛擬控制量x2r，使得子系統(tǒng)1的狀態(tài)x1能在有限的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)期望的加載力矩Tref的無(wú)誤差跟蹤。在進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，狀態(tài)x1可以通過(guò)安裝在EDLS上的力矩傳感器獲取，但實(shí)際力矩測(cè)量中往往含有隨機(jī)量測(cè)噪聲，因此，工程實(shí)際中，為了濾除力矩傳感器輸出的高頻噪聲信號(hào)，設(shè)計(jì)如下的低通濾波器：

(7)

式中:τ>0;x1為力矩傳感器的真實(shí)輸出信號(hào);x0為濾波后的信號(hào)。

定義負(fù)載力矩子系統(tǒng)的誤差及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)分別為

e1=x0-Tref

(8)

(9)

實(shí)際工程中，由于EDLS中低通濾波器在消除量測(cè)噪聲的同時(shí)，也會(huì)使實(shí)際的輸出信號(hào)產(chǎn)生一定的相位偏移，故低通濾波器的動(dòng)態(tài)不可忽略，且力矩傳感器的量測(cè)噪聲會(huì)影響傳統(tǒng)ESO的觀測(cè)性能[25]。因此，首先將x0擴(kuò)展為一階狀態(tài)，而后把干擾d1與EMA的位置擾動(dòng)ωa的總和x1d=(-KGωa+d1)視為復(fù)合擾動(dòng)項(xiàng)，并通過(guò)構(gòu)建ESO對(duì)復(fù)合干擾項(xiàng)x1d進(jìn)行估計(jì)。記h1(t)= dx1d/dt，由假設(shè)2和4，可知h1(t)有界，滿足|h1(t)|0，故可以將x1d也視為擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)，聯(lián)立式(6)和式(7)，可得擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)后的EDLS的負(fù)載力矩子系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(10)

式中:b0=KG/Ng。擴(kuò)展的系統(tǒng)狀態(tài)x0為濾波后的負(fù)載力矩信號(hào)，消除了量測(cè)噪聲對(duì)負(fù)載力矩子系統(tǒng)的影響，同時(shí)補(bǔ)償?shù)屯V波器對(duì)實(shí)際加載力矩的輸出信號(hào)的相位偏移，為了估計(jì)x1d的值，設(shè)計(jì)如下帶有濾波器的三階ESO[25-26]，記為ESO1:

(11)

式中:β11、β12和β13為ESO1的增益系數(shù)；E10為ESO1對(duì)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)x0的估計(jì)誤差；Z10、Z11分別為擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)x0和狀態(tài)x1的估計(jì)值；Z12為總和干擾x1d的估計(jì)值。記：E11=Z11-x1，E12=Z12-x1d，聯(lián)立式(10)和式(11)，可得

(12)

實(shí)際工程中，通常根據(jù)加載頻率要求和測(cè)量得到的力矩傳感器輸出信號(hào)，來(lái)設(shè)計(jì)低通濾波器參數(shù)τ，可以認(rèn)為τ為已知量，故通過(guò)選擇合適的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器增益β11、β12、β13，可以使得Ao1為Hurwitz矩陣，即Ao1的所有特征根都處于左半平面。如前所述h1(t)有界，這樣以來(lái)ESO1是有界輸入-有界輸出(Bounded-In Bounded-Out，BIBO)穩(wěn)定的[23]。因此，為了簡(jiǎn)化ESO1的參數(shù)設(shè)計(jì)，參考文獻(xiàn)[23,26]所采用的極點(diǎn)配置方法，可以將Ao1的特征根配置在同一位置-ωo1，即

λ(s)=det[sI-Ao1]=(s+ωo1)3

(13)

式中:λ(s)為Ao1的特征多項(xiàng)式；I為單位矩陣；ωo1為ESO1的帶寬。通過(guò)式(13)系數(shù)匹配的方法，可得ESO1的增益系數(shù)β11、β12、β13，即

(14)

至此，通過(guò)構(gòu)建的ESO1可以獲得負(fù)載力矩子系統(tǒng)的總和干擾x1d的估計(jì)值Z12。為了獲取虛擬控制量x2r，并實(shí)現(xiàn)狀態(tài)x1在有限的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)期望的加載力矩Tref的無(wú)誤差跟蹤，設(shè)計(jì)滑模面：

(15)

(16)

將式(16)中負(fù)載力矩子系統(tǒng)的總和干擾x1d替換為其估計(jì)值Z12可得負(fù)載力矩子系統(tǒng)的虛擬控制量x2r為

(17)

對(duì)負(fù)載力矩子系統(tǒng)，定義如下Lyapunov函數(shù)：

(18)

3.2 SPMSM驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)

考慮SPMSM驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)：

(19)

定義跟蹤誤差變量e2=x2-x2r，其中x2r為由子系統(tǒng)1得出的虛擬控制量。針對(duì)實(shí)際中，子系統(tǒng)2存在參數(shù)攝動(dòng)和干擾等因素，控制任務(wù)是設(shè)計(jì)控制器，使得跟蹤誤差e2在指定的有限時(shí)間內(nèi)收斂，為此，構(gòu)建二階ESO對(duì)干擾進(jìn)行估計(jì)。由于式(19)中的狀態(tài)變量x1和x2可以由安裝在EDLS上的傳感器獲得，而未知干擾力矩總和Tf和未知干擾項(xiàng)d2無(wú)法從傳感器獲取，為了方便ESO的設(shè)計(jì)，記：

(20)

(21)

式中:f2(x1，x2)為已知系統(tǒng)信息總和；x2d為未知總擾動(dòng)項(xiàng)。記h2(t)= dx2d/dt，由假設(shè)3和4，可知h2(t)有界，即|h2(t)|0。故可以將x2d當(dāng)作擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)，則子系統(tǒng)2擴(kuò)展為

(22)

式中:b1=Km/Jm，構(gòu)建如下二階ESO[21]，記為ESO2：

(23)

式中:β21、β22為ESO2的增益系數(shù)；E21為ESO2對(duì)狀態(tài)x2的估計(jì)誤差；Z21為狀態(tài)x2的估計(jì)值；Z22為未知總干擾項(xiàng)x2d的估計(jì)值。記：E22=Z22-x2d，聯(lián)立式(22)和式(23)，可得

(24)

參考3.1節(jié)中ESO1增益的選取方法，首先，選定子系統(tǒng)2所用的ESO2的帶寬ωo2；其次，通過(guò)選取ESO2的增益β21、β22，使得Ao2的特征根配置在同一位置-ωo2。以此確保Ao2為Hurwitz矩陣，則β21、β22的值分別為

(25)

(26)

式中:γ為正實(shí)數(shù)；p和q為正奇數(shù)，且q

定理 1 對(duì)于式(19)所示的子系統(tǒng)2，若采用式(26)所述的滑模面，設(shè)計(jì)控制器設(shè)計(jì)為

u=u0+u1

(27)

(28)

(29)

式中:ε>L1，k2>0，k3>0，c2>0，則子系統(tǒng)2的跟蹤誤差在有限的時(shí)間內(nèi)收斂到零。

證明：由式(22)和式(27)可得

(30)

將式(28)代入式(30)，可得

(31)

將式(31)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得

(32)

將式(29)代入式(32)，可得

sgn(S2)-(k3+c2|e2|)S2

(33)

對(duì)S2求導(dǎo)可得

(34)

將式(33)代入式(34)，可得

(k3+c2|e2|)S2]

(35)

從式(35)可以看出，誤差e2的幅值可用于調(diào)節(jié)滑模面的趨近速率，即e2越大，趨近速率越大，系統(tǒng)從非滑模面上的點(diǎn)趨近到滑模面上的時(shí)間也越短。

由式(35)，有

(36)

(37)

3.3 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

(38)

定理 2 對(duì)于式(5)描述的EDLS，在假設(shè)1～4成立的前提下，采用式(11)所述的帶有濾波器的三階ESO1和式(23)所述的二階ESO2，設(shè)計(jì)出如式(17)所示的虛擬控制量，采用式(27)所示的負(fù)載轉(zhuǎn)矩控制電壓。通過(guò)對(duì)用到的ESO分別選取合適的增益系數(shù)β11、β12、β13和β21、β22，并取適當(dāng)?shù)幕Ｃ鎱?shù)c1、k1、γ、p和q以及控制器參數(shù)ε、k2、k3、c2，則滑模面S1和S2可達(dá)，EDLS的跟蹤誤差會(huì)在有限的時(shí)間內(nèi)收斂到零。

證明:對(duì)式(38)求導(dǎo)可得

(39)

故，滑模面漸進(jìn)可達(dá)，由非奇異終端滑模特性，可得EDLS的跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。證畢。

4 EDLS加載實(shí)驗(yàn)分析

4.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)及參數(shù)設(shè)置

無(wú)人機(jī)前輪轉(zhuǎn)彎操縱系統(tǒng)EMA的電動(dòng)負(fù)載模擬器系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖3所示，主要包括SPMSM及其驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、減速機(jī)、聯(lián)軸節(jié)、光電編碼器、力矩傳感器，基于DSP的加載控制器和工控機(jī)等。

SPMSM電機(jī)主要參數(shù)為：額定電壓380 V，額定功率3 kW，極對(duì)數(shù)為5，額定轉(zhuǎn)速3 000 r/min，額定轉(zhuǎn)矩9.55 N·m，瞬時(shí)最大轉(zhuǎn)矩28.6 N·m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0.000 697 kg·m2，摩擦系數(shù)0.000 18 N·m/(rad·s-1)。

EDLS相關(guān)參數(shù)為：減速機(jī)減速比Ng=35，由系統(tǒng)辨識(shí)得到的Km=0.955 N·m/V，用于力矩傳感器濾波器參數(shù)τ=60π。

EDLS對(duì)無(wú)人機(jī)前輪轉(zhuǎn)彎操縱系統(tǒng)EMA進(jìn)行電動(dòng)負(fù)載模擬實(shí)驗(yàn)，要求在EMA作位置伺服運(yùn)動(dòng)時(shí)，EDLS對(duì)EMA施加負(fù)載力矩，模擬真實(shí)情況下EMA所受載荷的情況，用來(lái)測(cè)試EMA的性能。根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)要求，設(shè)定如下實(shí)驗(yàn)工況：EMA的運(yùn)動(dòng)頻率f=1 Hz和4 Hz；EMA的給定位置信號(hào)為θref(t)=(8(°)/f)sin(2πft)；根據(jù)EMA實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況，EDLS期望的負(fù)載力矩與EMA的位置相關(guān)設(shè)定為T(mén)ref(t)=12.5fθref(t)。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)工況，本文采用的基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的反演滑模控制器。為了解決控制量u中由于符號(hào)函數(shù)帶來(lái)的抖振問(wèn)題，采用S2/(|S2|+σ)，σ為正實(shí)數(shù)，來(lái)代替sgn(S2)，即在誤差容許范圍內(nèi)，以犧牲一定的控制精度為代價(jià)，來(lái)減少抖振對(duì)系統(tǒng)的影響。相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：設(shè)置ESO1的帶寬為ωo1=200π，則ESO1的增益系數(shù)分別為β11=540π，β12=2 000π，β13=133 333.3π2；設(shè)置ESO2的帶寬為ωo2=1 000π，則ESO2的增益系數(shù)分別為β21=2 000π，β22=106π2；反演滑模控制器參數(shù)為：c1=1，k1=200，γ=5，p=3，q=7，ε=100，k2=200，k3=180，c2=0.1，σ=0.001。

圖3 EDLS實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)Fig.3 Experimental test platform of EDLS

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證采用本文控制器時(shí)EDLS加載力矩跟蹤性能，與傳統(tǒng)的反饋加前饋的力矩閉環(huán)控制方法在同工況下分別進(jìn)行EMA的力矩加載實(shí)驗(yàn)。電動(dòng)負(fù)載模擬器的性能指標(biāo)要求是：加載頻率1 Hz和4 Hz，在EMA同頻運(yùn)動(dòng)的情況下，要求加載力矩的跟蹤誤差≤10%FS，相角變化≤10°。

工況1 飛機(jī)前輪轉(zhuǎn)彎操縱系統(tǒng)EMA伺服機(jī)構(gòu)正弦運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)頻率為1 Hz，最大工作角度為±8°，即EMA位置指令信號(hào)為θref(t)=8°sin(2πt)，則EDLS的加載指令為T(mén)ref(t)=100sin(2πt)。首先給出采用本文方法時(shí)，所設(shè)計(jì)的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的跟蹤結(jié)果如圖4所示,對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

工況2 飛機(jī)前輪轉(zhuǎn)彎操縱系統(tǒng)EMA伺服機(jī)構(gòu)正弦運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)頻率為4 Hz，最大工作角度為±2°，即EMA位置指令信號(hào)為θref(t)=2°sin(8πt)，則EDLS的加載指令為T(mén)ref(t)=100sin(8πt)。同工況1一致，首先給出采用本文方法時(shí)，所設(shè)計(jì)的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的跟蹤結(jié)果如圖6所示。

圖4 1 Hz和100 N·m加載力矩觀測(cè)結(jié)果Fig.4 Observation result of 1 Hz, 100 N·m load torque tracking

圖5 1 Hz和100 N·m加載力矩跟蹤測(cè)試曲線Fig.5 Test curves of 1 Hz, 100 N·m load torque tracking

圖6 4 Hz和100 N·m加載力矩觀測(cè)結(jié)果Fig.6 Observation result of 4 Hz, 100 N·m load torque tracking

圖7 4 Hz和100 N·m加載力矩跟蹤測(cè)試曲線Fig.7 Test curves of 4 Hz, 100 N·m load torque tracking

對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。為了分析相同工況下，不同控制策略的力矩跟蹤效果，由于EDLS的在和曲線為EMA位置的函數(shù)，可以將EMA的實(shí)時(shí)位置和相對(duì)應(yīng)的力矩誤差繪制在同一圖中，以分析不同控制方法下的力矩跟蹤效果，結(jié)果如圖8所示。

2種工況下加載力矩觀測(cè)結(jié)果與測(cè)量結(jié)果對(duì)比分別如圖4和圖6所示，可以看出系統(tǒng)在2種工況下都能準(zhǔn)確地觀測(cè)出加載力矩，說(shuō)明ESO對(duì)EDLS輸出的加載力矩具有較高的觀測(cè)精度。由圖5和圖8(a)的結(jié)果分析可得，1 Hz和100 N·m的工況下，間隙的存在使得EDLS在過(guò)零時(shí)造成力矩沖擊，而常規(guī)的控制方法很難處理系統(tǒng)中存在的間隙死區(qū)和摩擦非線性等因素對(duì)加載力矩的影響，其力矩控制精度基本滿足跟蹤誤差≤10%FS，相角變化≤10°。本文方法明顯能處理這些非線性因素對(duì)力矩控制精度的影響，其跟蹤誤差≤0.92% FS，相角變化≤3.64°。在4 Hz和100 N·m 的工況下，由圖7和圖8(b)的結(jié)果分析可得，隨著加載頻率的提高，常規(guī)的方法很難處理系統(tǒng)中存在的齒隙，摩擦等非線性因素對(duì)EDLS力矩加載精度的影響，且力矩控制精度難以滿足系統(tǒng)指標(biāo)，而采用本文方法，其加載力矩跟蹤誤差≤2.97%FS，相角變化≤5.73°，雖然相較于1 Hz的情況，性能有些下降，但是力矩跟蹤依然具有很高的性能。因此，本文所用方法，能夠使得EDLS具有較高的力矩輸出精度和魯棒性能。

圖8 不同控制策略的EMA位置與加載力矩誤差曲線Fig.8 Error curves of EMA position and loading torque of different control strategies

5 結(jié) 論

本文提出的基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的電動(dòng)負(fù)載模擬器的反演滑模控制方法具有如下優(yōu)勢(shì)：

1) 該控制方法對(duì)系統(tǒng)中存在的諸如間隙、摩擦非線性等不確定的干擾，以及系統(tǒng)的參數(shù)擾動(dòng)和未建模動(dòng)態(tài)的擾動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性能。

2) 該控制方案中的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器能夠?qū)崟r(shí)觀測(cè)出系統(tǒng)的擾動(dòng)量，從而能夠?qū)崿F(xiàn)擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償。

3) 本文提出的控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)有限時(shí)間的加載力矩載荷譜的跟蹤，具有較高的力矩控制精度和較好的動(dòng)態(tài)性能。