一種適用于氣動(dòng)優(yōu)化的高效自適應(yīng)全局優(yōu)化方法

李春娜，張陽(yáng)康

西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院空天飛行技術(shù)研究所，西安 710072

代理模型方法最早是由Morris[1]在1972年提出的，由于Sacks等[2]在這方面的卓越成果使得代理模型方法在20世紀(jì)90年代末得以流行。近年來(lái)，基于代理模型的優(yōu)化(Surrogate-Based Optimization, SBO)以其高效性、全局性和廣泛的適用性，被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化、氣動(dòng)優(yōu)化、多學(xué)科優(yōu)化、航天航空工程和機(jī)械工程等學(xué)科中[3-8]。

在基于Kriging模型的SBO過(guò)程中，新樣本的選擇對(duì)于整個(gè)SBO過(guò)程的效率、魯棒性和優(yōu)化質(zhì)量都有很大的影響[3]。常用的樣本選擇方法有如下幾種：基于模型預(yù)測(cè)目標(biāo)值、基于模型誤差、基于期望提高(Expected Improvement, EI)函數(shù)、基于可能性提高函數(shù)、基于下置信域邊界[9]。由于基于EI的取樣能夠同時(shí)權(quán)衡設(shè)計(jì)空間的局部勘測(cè)和全局搜索，并且其建模時(shí)獲得的誤差函數(shù)能夠被直接應(yīng)用于EI函數(shù)值的計(jì)算，該取樣方法被廣泛應(yīng)用于SBO過(guò)程。

當(dāng)前，受限于樣本總數(shù)的限制，更有效的取樣方法成為研究熱點(diǎn)之一[10-15]。一種有效的平衡局部勘測(cè)和全局搜索的方式是確定一個(gè)包含全局最優(yōu)的空間，然后在取樣迭代過(guò)程中不斷地對(duì)該空間的大小進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，并在該變化的空間內(nèi)進(jìn)行取樣和建模。Cheng和Wang將信賴(lài)域的概念引入基于二次響應(yīng)面的SBO過(guò)程，并且通過(guò)模式搜索在子空間中取樣，特別適于處理高維優(yōu)化問(wèn)題[16]。Guo等使用粒子群進(jìn)化算法生成大量的低成本樣本，此后采用模糊C均值聚類(lèi)對(duì)這些樣本進(jìn)行分類(lèi)來(lái)確定關(guān)注的空間，然后從該空間的粒子中選擇新的樣本[17]。Qiu等發(fā)展了一種多級(jí)設(shè)計(jì)空間縮減方法，采用了自組織規(guī)劃來(lái)確定初始縮減空間，然后利用模糊聚類(lèi)方法縮減初始設(shè)計(jì)空間到一個(gè)相對(duì)小的空間[18]。Shi等將模糊C均值聚類(lèi)方法引入基于徑向基函數(shù)(Radial Basis Function, RBF)模型的優(yōu)化，并采用支持向量基來(lái)確定低成本樣本的聚類(lèi)中心，用以縮減設(shè)計(jì)空間[19]。Dong等在SBO過(guò)程中，采用了Kriging和二次響應(yīng)面模型，并選擇二次響應(yīng)面模型的全局最優(yōu)點(diǎn)和Kriging模型的幾個(gè)局部最優(yōu)點(diǎn)作為樣本細(xì)化過(guò)程的新增樣本。同時(shí)，為了平衡模型的全局和局部精度，K均值聚類(lèi)方法被用以尋找樣本密度比較稀疏的區(qū)域，以便于通過(guò)樣本細(xì)化過(guò)程提高模型的全局精度[20]。王超等提出了引入期望提高閾值的混合選點(diǎn)方法，并采用擴(kuò)大設(shè)計(jì)變量范圍和多輪優(yōu)化的方法對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行重構(gòu)，提出了自適應(yīng)設(shè)計(jì)空間擴(kuò)展的代理模型方法[21]。Li和Pan將信賴(lài)域方法引入SBO過(guò)程來(lái)自適應(yīng)地改變動(dòng)態(tài)取樣的設(shè)計(jì)空間的大小，可以提高代理模型的局部精度[22]。

綜上所述，為了進(jìn)一步提高代理模型的局部和全局精度，更好地適應(yīng)于具有多極值、強(qiáng)非線性的優(yōu)化問(wèn)題，本文在一般的SBO方法的基礎(chǔ)上，發(fā)展了一種能夠自適應(yīng)序列取樣的高效全局優(yōu)化算法。在自適應(yīng)取樣過(guò)程中，利用模糊C均值聚類(lèi)方法將設(shè)計(jì)空間劃分成若干子空間，并據(jù)此對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行縮減，然后在縮減后的設(shè)計(jì)空間中利用最大化EI函數(shù)和最小化模型預(yù)測(cè)(Minimizing Surrogate Prediction, MSP)目標(biāo)來(lái)選擇新的樣本更新代理模型。上述所發(fā)展的方法命名為SBO-FCM。本文將該方法用于多個(gè)解析算例的求解，驗(yàn)證了算法的正確性和有效性；并進(jìn)一步將其用于氣動(dòng)優(yōu)化實(shí)例的求解，以檢驗(yàn)算法的效率和實(shí)用性。

1 基于代理模型的優(yōu)化算法

一般的,具有m個(gè)設(shè)計(jì)變量、Mc個(gè)非線性約束的優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可以表示為

(1)

一般的SBO方法過(guò)程包括初始取樣、高精度模型分析、代理模型建模、動(dòng)態(tài)取樣和優(yōu)化，具體的流程見(jiàn)圖1。其中，初始取樣主要采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)(Design of Experiment, DoE)方法[2]，從取樣的均勻性上對(duì)方法進(jìn)行選取和設(shè)置。高精度模型分析可以采用試驗(yàn)或高精度數(shù)值仿真方法，直接或間接獲得樣本的目標(biāo)函數(shù)值。代理模型建模是基于當(dāng)前樣本及其目標(biāo)函數(shù)值，建立一個(gè)可以代替高精度模型來(lái)預(yù)測(cè)目標(biāo)函數(shù)的代理模型。當(dāng)代理模型精度不夠時(shí)，需要通過(guò)樣本細(xì)化準(zhǔn)則生成新的樣本并添加到原有樣本庫(kù)中，更新代理模型。在樣本細(xì)化過(guò)程中循環(huán)添加樣本，直到基于所有樣本建立的代理模型的精度滿(mǎn)足要求。最后，利用最終的代理模型來(lái)預(yù)測(cè)目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行優(yōu)化。

圖1 一般的SBO方法流程圖Fig.1 Flowchart of common SBO procedure

2 Kriging模型

在本文所發(fā)展的SBO優(yōu)化方法中，代理模型采用了Kriging模型[23]。Kriging模型是一種基于統(tǒng)計(jì)理論建立的插值模型。如果要為一個(gè)未知函數(shù)y(x): Rm→R建立Kriging模型，其中x為設(shè)計(jì)變量，需要首先利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法生成一組樣本S=[x1,x2,…,xn]T∈Rn×m。然后，通過(guò)高精度分析工具獲得每個(gè)樣本對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值y=[y1,y2,…,yn]T∈Rn。最后，利用樣本和對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值建立Kriging模型，可以表示為

(2)

(3)

其中：θl為Kriging模型的第l個(gè)未知相關(guān)參數(shù);m為設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)。

(4)

進(jìn)一步求解可以獲得Kriging模型的誤差

(5)

3 模糊C均值聚類(lèi)

模糊C均值聚類(lèi)是一種軟聚類(lèi)，最早是在1973年由Bezdek和Christian提出的[24]，是對(duì)簡(jiǎn)單聚類(lèi)方法的改進(jìn)，能夠盡可能保證每類(lèi)中個(gè)體的差異性最小。假設(shè)當(dāng)前用于聚類(lèi)的數(shù)據(jù)集為xk(k=1,2,…,Np)，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為fk(k=1,2,…,Np)。如果要將當(dāng)前Np個(gè)樣本聚合成Nc個(gè)類(lèi)，每個(gè)類(lèi)中心和其他樣本的差異性可以表示為

(6)

式中：vi為第i個(gè)類(lèi)中心；uik為第i個(gè)類(lèi)中的第k個(gè)樣本到該類(lèi)中心的權(quán)重，即隸屬度系數(shù)；U為對(duì)Np個(gè)樣本的模糊劃分；d為大于1的常數(shù)，通常取2。式(6)通常存在一個(gè)局部最小值，因此可以通過(guò)求解如下的優(yōu)化問(wèn)題來(lái)獲得Nc個(gè)聚類(lèi)，即獲得U和V，表達(dá)式為

(7)

式(7)中的優(yōu)化問(wèn)題可以利用拉格朗日乘子法求解，根據(jù)極值存在的必要條件，可以計(jì)算得到類(lèi)中心和隸屬度系數(shù)，表達(dá)式為

(8)

(9)

聚類(lèi)實(shí)現(xiàn)的具體流程描述如下：

步驟1 設(shè)置類(lèi)數(shù)目Nc≥2，小量ε>0，初始化種群的中心V0，設(shè)置最大迭代步Kmax和初始迭代步ks=0。

步驟2 如果ks

步驟3 通過(guò)求解式(8)更新聚類(lèi)中心Vk+1。

步驟5 根據(jù)每個(gè)樣本對(duì)于不同類(lèi)的隸屬度系數(shù)，將其劃分到不同的類(lèi)，劃分原則是：第k個(gè)樣本xk歸屬于最大的uik對(duì)應(yīng)的類(lèi)(即對(duì)應(yīng)的i)。

圖2為采用模糊C均值聚類(lèi)方法對(duì)100個(gè)2-D空間中的樣本進(jìn)行聚類(lèi)的示例。其中，100個(gè)樣本由Maximin拉丁超立方設(shè)計(jì)[25]生成，類(lèi)的數(shù)目Nc=3。圖2(a)中，3種不同顏色代表不同的類(lèi)，每個(gè)類(lèi)的中心用不同的符號(hào)標(biāo)出。對(duì)比于圖2(b) 可見(jiàn)，類(lèi)的劃分與輸入數(shù)據(jù)的空間特征相關(guān)。此示例的輸入為設(shè)計(jì)變量和其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，因此類(lèi)的劃分同時(shí)考慮了樣本的空間分布和目標(biāo)函數(shù)大小的分布。

圖2 100個(gè)2-D樣本聚類(lèi)示例Fig.2 Example for 100 clustered samples in 2-D

4 SBO-FCM方法

SBO中的樣本細(xì)化方法必須具有自適應(yīng)性。為了進(jìn)一步提高代理模型的局部精度，本文發(fā)展了基于聚類(lèi)的自適應(yīng)樣本細(xì)化方法。該過(guò)程可以分為以下4步：① 在當(dāng)前設(shè)計(jì)空間內(nèi)生成偽樣本，并縮減偽樣本數(shù)量；② 對(duì)縮減后的偽樣本進(jìn)行聚類(lèi)，生成子空間；③ 在子空間內(nèi)選擇新的樣本；④ 對(duì)子空間進(jìn)行聚合，生成新的設(shè)計(jì)空間。本文所發(fā)展的SBO-FCM方法的流程如圖3所示。由于前面對(duì)一般的SBO過(guò)程已經(jīng)進(jìn)行了描述，這里只對(duì)改進(jìn)的自適應(yīng)取樣過(guò)程進(jìn)行講解。

1) 偽樣本生成和縮減

在SBO過(guò)程中，初始迭代過(guò)程中的高精度樣本數(shù)量不足，不適合于聚類(lèi)分析。因此，本文采用偽樣本來(lái)進(jìn)行聚類(lèi)，即首先在當(dāng)前設(shè)計(jì)空間內(nèi)利用隨機(jī)拉丁超立方設(shè)計(jì)(Random Latin Hypercube Design, RLHD)生成Np個(gè)偽樣本，并通過(guò)代理模型預(yù)測(cè)獲得所有偽樣本的目標(biāo)函數(shù)值。然后，通過(guò)如下操作對(duì)Np個(gè)偽樣本進(jìn)行縮減，以盡可能地縮減子空間的范圍。

② 根據(jù)定義的縮減閾值系數(shù)tr，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)閾值ft=tr(fmax-fmin)，其中0

③ 對(duì)比目標(biāo)函數(shù)均值和目標(biāo)函數(shù)閾值，確定被刪除的偽樣本的目標(biāo)函數(shù)值下限，即fd=max(fm,ft)。

④ 刪除所有目標(biāo)函數(shù)值大于fd的偽樣本，剩余的Nr個(gè)偽樣本用于聚類(lèi)分析。

圖3 SBO-FCM方法流程Fig.3 Flowchart of SBO-FCM

一般而言，縮減閾值系數(shù)可以控制設(shè)計(jì)空間被刪除部分的大小，閾值系數(shù)越小，剩余偽樣本所在的設(shè)計(jì)空間大小可能越小。但是，為了保證有足夠的偽樣本用于聚類(lèi)分析，并且阻止設(shè)計(jì)空間的迅速減小，采用目標(biāo)函數(shù)下限來(lái)篩選被刪除的偽樣本更加合理。

2) 聚類(lèi)分析

之后采用上述的模糊C均值聚類(lèi)方法對(duì)剩余的Nr個(gè)偽樣本進(jìn)行聚類(lèi)分析，最多可以生成Nc個(gè)類(lèi)(初始設(shè)置的類(lèi)個(gè)數(shù))。每個(gè)類(lèi)中的偽樣本可以構(gòu)成一個(gè)子空間，有Nc個(gè)類(lèi)就有Nc個(gè)子空間，可以用于下一步樣本細(xì)化選點(diǎn)。

3) 樣本細(xì)化

在自適應(yīng)的SBO過(guò)程中，需要在迭代過(guò)程中不斷添加新的樣本來(lái)更新代理模型，以提高模型的全局和局部精度。上述過(guò)程被稱(chēng)為樣本細(xì)化過(guò)程。不同于一般的SBO方法，本文不在整個(gè)設(shè)計(jì)空間內(nèi)取樣，而是在聚類(lèi)分析形成的若干子空間內(nèi)采用樣本細(xì)化策略來(lái)選擇新的樣本，這樣可以一次添加多個(gè)樣本，既充分利用計(jì)算機(jī)的并行能力，又適應(yīng)于非線性強(qiáng)，具有多極值的復(fù)雜問(wèn)題。本文所使用的樣本細(xì)化策略包括：基于EI函數(shù)的取樣、基于MSP的取樣和混合取樣方法。

(10)

式中：Φ和φ分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)的積分分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。因此，通過(guò)最大化EI函數(shù)選點(diǎn)的過(guò)程可以表述為

(11)

基于MSP的取樣為最小化模型預(yù)測(cè)目標(biāo)函數(shù)值，該過(guò)程可以表述為

(12)

混合取樣方法將上述兩種方法進(jìn)行組合，而且可以在不同的樣本細(xì)化迭代步中選擇使用。由于子空間可能存在交疊的情況，這可能導(dǎo)致在不同的子空間獲得的新樣本相同或者極其相近，因此，需要對(duì)這些相同或相近樣本進(jìn)行剔除。

4) 子空間融合

最后，將若干子空間進(jìn)行融合，生成新的設(shè)計(jì)空間，作為下一步迭代的輸入。

5 算例分析

5.1 解析算例

本文采用了6個(gè)帶有邊界約束的低維和高維解析算例對(duì)方法進(jìn)行了測(cè)試和驗(yàn)證。6個(gè)算例的具體介紹如下。

2-D Branin(BR)函數(shù)具有3個(gè)極值，分別位于(-π, 12.275), (π, 2.275) 和 (9.424 8, 2.475)，對(duì)應(yīng)的全局最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為0.397 9。優(yōu)化問(wèn)題可以表示為

minf(x)=[x2-5.1(0.5x1/π)2+(5/π)x1-

6]2+10[1-0.125(1/π)]cosx2+10

s.t.x1∈[-5,10];x2∈[0,15]

(13)

2-D的Rosenbrock(RB)函數(shù)具有一條長(zhǎng)的脊線，會(huì)給搜索帶來(lái)極大的困難。該問(wèn)題的全局最優(yōu)點(diǎn)位于(1, 1)，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解為0。優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為

s.t.x1,x2∈[-5,10]

(14)

2-D Griewank(GN)函數(shù)具有極強(qiáng)的非線性，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)具有非常多的局部極值點(diǎn)，但是只有一個(gè)全局極值點(diǎn)位于(0, 0)，其目標(biāo)函數(shù)值為0。優(yōu)化問(wèn)題如下

s.t.xi∈[-100, 100]i=1,2

(15)

2-D Rastringin(RS)函數(shù)也具有很強(qiáng)的非線性，有多個(gè)局部極值，但只有一個(gè)全局最優(yōu)解(0, 0)，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為0。優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為

s.t.xi∈[-1,1]i=1,2

(16)

6-D Hartmann(HN6)函數(shù)具有6個(gè)局部極值，由于函數(shù)的非線性和多變量的特點(diǎn)，尋找全局最優(yōu)點(diǎn)變得困難。該問(wèn)題只有一個(gè)全局最優(yōu)解(0.201 7, 0.150 0, 0.476 9, 0.275 3, 0.311 7, 0.657 3)，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為-3.322。優(yōu)化問(wèn)題如下，系數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[27]:

s.t.xi∈[0,1]i=1,2,…,6

(17)

16-D(F16)高維測(cè)試算例有16個(gè)設(shè)計(jì)變量，是個(gè)非線性函數(shù)，最優(yōu)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為25.878。優(yōu)化問(wèn)題表述為

s.t.xi∈[-1,0]i=1,2,…,16

(18)

式中：系數(shù)aij可以通過(guò)文獻(xiàn)[27]獲得。

為了評(píng)估SBO-FCM方法，本文還采用了基于EI的代理模型優(yōu)化方法(SBO-EI)和基于MSP的代理模型優(yōu)化方法(SBO-MSP)對(duì)上述算例進(jìn)行了求解。初始的試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本數(shù)目根據(jù)文獻(xiàn)[9]，確定方法為：當(dāng)問(wèn)題的維度m≤6時(shí)，取(m+1)(m+2)/2個(gè)樣本；當(dāng)問(wèn)題維度m>6時(shí)，取2m個(gè)樣本作為初始樣本。

上述算例用每種方法都重復(fù)求解了30次，以測(cè)試求解方法的魯棒性。每種方法求解不同問(wèn)題獲得的最優(yōu)解的均值、30個(gè)最優(yōu)解的方差如表1所示。結(jié)果表明，SBO-FCM方法得到的最優(yōu)解均值是最好的，也是最接近于解析解的，特別是對(duì)于非線性很強(qiáng)的問(wèn)題，例如GN函數(shù)、RS函數(shù)，SBO-FCM的效果會(huì)明顯優(yōu)于SBO-EI和SBO-MSP。從方差上看，SBO-FCM方法獲得的30次解的方差最小，表明該方法的魯棒性較好。

圖4中的箱線圖也證明了SBO-FCM方法具有較好的魯棒性。圖示表明，對(duì)于低維且非線性的一般的多極值問(wèn)題，例如BR函數(shù)，3種SBO都具有較好的魯棒性。對(duì)于低維但具有較強(qiáng)非線性RB、GN和RS函數(shù)，SBO方法的魯棒性都有所下降；但是相比而言SBO-FCM的魯棒性是下降較小的，在三者中最好。當(dāng)問(wèn)題的維度提高時(shí)，即使優(yōu)化問(wèn)題的非線性一般，3種SBO的魯棒性也都會(huì)明顯下降，但是SBO-FCM依然在三者中最好。

表1 解析算例最優(yōu)值對(duì)比Table 1 Comparison of optima for analytical tests

每種SBO方法30次重復(fù)求解解析算例的平均函數(shù)調(diào)用次數(shù)和樣本細(xì)化迭代次數(shù)在表2中進(jìn)行了對(duì)比。

對(duì)于SBO-EI和SBO-MSP而言，樣本迭代的每個(gè)迭代步中，只添加一個(gè)新的樣本；對(duì)于SBO-FCM而言，由于樣本細(xì)化每個(gè)迭代步劃分的子空間內(nèi)樣本數(shù)量過(guò)少，無(wú)法建立代理模型，以及子空間有交疊區(qū)，可能選擇了相同的新增樣本，因此每個(gè)迭代步添加的新樣本數(shù)量并不相同。從總函數(shù)調(diào)用次數(shù)看，大多數(shù)情況，SBO-FCM總是需要最多的函數(shù)調(diào)用次數(shù)。但是，對(duì)比樣本細(xì)化迭代次數(shù)，SBO-FCM在多數(shù)情況下是明顯好于其他 2種 SBO方法的，因?yàn)镾BO-FCM在一個(gè)迭代步中能夠選擇多個(gè)新增樣本，并且可以充分利用計(jì)算機(jī)資源對(duì)樣本進(jìn)行并行求解(如果需要高精度分析，例如CFD)。上述分析說(shuō)明SBO-FCM方法對(duì)于具有強(qiáng)非線性的問(wèn)題具有很好的求解效率。

圖4 解析算例箱線圖Fig.4 Box plots of analytical tests

樣本細(xì)化過(guò)程的自適應(yīng)性，可以通過(guò)圖5展示的BR和RS函數(shù)優(yōu)化得到的樣本分布來(lái)進(jìn)行分析。圖中所示的樣本分布為每種SBO方法在30次求解中獲得一次最佳最優(yōu)解次。可以發(fā)現(xiàn)：① SBO-MSP方法是一種局部方法，其添加的樣本集中在局部極值附近；因此，在初始樣本很少，不能充分描述整個(gè)設(shè)計(jì)空間的情況下，或者目標(biāo)函數(shù)非線性很強(qiáng)，具有很多極值的情況下，很容易陷入局部最優(yōu)；② SBO-EI是一種全局優(yōu)化方法，因?yàn)镋I函數(shù)權(quán)衡了模型局部和全局精度，但是對(duì)于強(qiáng)非線性和很多極值的問(wèn)題，其全局能力下降，如圖5(b3)所示，很可能得到一個(gè)局部最優(yōu)結(jié)果；③ SBO-FCM方法在平衡全局和局部搜索能力上是最好的，其添加的樣本基本覆蓋了所有極值存在的區(qū)域，如圖5(b1)和5(b2)對(duì)比所示。相比而言，SBO-FCM方法的樣本細(xì)化過(guò)程具有很好的自適應(yīng)性，能夠同時(shí)對(duì)模型的全局和局部精度進(jìn)行改進(jìn)。

綜上分析，解析算例證明了所發(fā)展的SBO-FCM方法的正確性；此外算例對(duì)比表明，SBO-FCM具有較高的效率、很好的魯棒性和自適應(yīng)性，適應(yīng)于求解具有強(qiáng)非線性、多極值的優(yōu)化問(wèn)題。

表2 解析算例平均函數(shù)調(diào)用次數(shù)和樣本細(xì)化迭代次數(shù)對(duì)比Table 2 Comparison of mean of function evaluation times and mean of refinement cycles

5.2 氣動(dòng)優(yōu)化實(shí)例

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)方法的應(yīng)用性能，本文將SBO-FCM方法應(yīng)用于RAE2822翼型減阻優(yōu)化問(wèn)題的求解，氣動(dòng)優(yōu)化計(jì)算的狀態(tài)為迎角α=2.31°，馬赫數(shù)Ma=0.729，雷諾數(shù)Re=6.4×106。此外，要求優(yōu)化得到的翼型升力系數(shù)均不小于基準(zhǔn)翼型，最大相對(duì)厚度不小于9.5%。優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型表示為

(19)

式中:CD和CL分別表示阻力系數(shù)和升力系數(shù);t表示翼型最大相對(duì)厚度，無(wú)量綱化的翼型長(zhǎng)度為1。設(shè)計(jì)矢量x具有10個(gè)設(shè)計(jì)變量，是由Hicks-Henne參數(shù)化方法對(duì)翼型進(jìn)行參數(shù)化得到的，表示基函數(shù)的系數(shù)，來(lái)控制翼型形狀的改變，如圖6所示，1-10代表了10個(gè)控制系數(shù)分布在上下翼面的所在位置。

翼型的網(wǎng)格(網(wǎng)格Ⅰ)由商業(yè)軟件Pointwise生成，為混合網(wǎng)格，一共22 842個(gè)網(wǎng)格單元，第1層附面層網(wǎng)格高度為1.0×10-5，網(wǎng)格如圖7所示。為了證明網(wǎng)格的收斂性，本文對(duì)比了另外2套網(wǎng)格(網(wǎng)格Ⅱ和網(wǎng)格Ⅲ)，其差異主要在翼面附近網(wǎng)格的密度。2套網(wǎng)格的附面層高度與第1套網(wǎng)格相同，網(wǎng)格單元數(shù)量分別為13 285和52 237。CFD計(jì)算采用的是開(kāi)源代碼SU2[28]，來(lái)求解Navier-Stokes方程，湍流模型為Spalart-Allmaras 方程模型。

圖6 RAE2822翼型參數(shù)化Fig.6 Parameterization of RAE2822 airfoil

圖7 RAE2822中等尺度網(wǎng)格(網(wǎng)格Ⅰ)Fig.7 Medium-scale mesh of RAE2822 airfoil (grid Ⅰ)

CFD計(jì)算結(jié)果對(duì)比如表3所示。結(jié)果表明，中等尺度的網(wǎng)格(網(wǎng)格Ⅰ)和細(xì)網(wǎng)格(網(wǎng)格Ⅲ)的氣動(dòng)計(jì)算結(jié)果較為接近，其相對(duì)誤差小于1%，因此采用網(wǎng)格Ⅰ對(duì)問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化。在優(yōu)化過(guò)程中，新翼型的網(wǎng)格采用RBF網(wǎng)格變形方法獲得。

此外，CFD計(jì)算求解的精度通過(guò)求解RAE2822翼型的流場(chǎng)來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。如圖8所示，計(jì)算得到的壓力系數(shù)分布與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合得很好，證明求解器具有足夠的精度。

對(duì)于采用的SBO方法，根據(jù)(m+1)(m+2)/2推薦的樣本數(shù)量，采用RLHD試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法生成了66個(gè)初始樣本，并且利用CFD對(duì)這些樣本進(jìn)行了計(jì)算。優(yōu)化采用的3種SBO方法都是基于相同的初始樣本進(jìn)行的。此外，本文還采用了差分進(jìn)化(Differential Evolutionary, DE)算法[29]和改進(jìn)的非線性單純形法(SubPlex)對(duì)該氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，以對(duì)比優(yōu)化方法的效率和優(yōu)化質(zhì)量。其中，DE設(shè)置的種群大小為20，代數(shù)為100；SubPlex設(shè)置的最大迭代次數(shù)為1 000，收斂標(biāo)準(zhǔn)為1.0×10-6。

不同優(yōu)化算法求解得到的結(jié)果如表4所示。

表3 網(wǎng)格收斂性分析Table 3 Convergence analyses of mesh

圖8 RAE2822翼型壓力系數(shù)分布與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.8 Comparison of pressure coefficient distribution of RAE2822 airfoil with experimental data

DE需要上千次的高精度分析，但是這并不能改善其局部搜索能力差的缺點(diǎn)；SubPlex獲得了較好的結(jié)果，因其在設(shè)計(jì)空間的多個(gè)子空間內(nèi)進(jìn)行局部搜索，所以局部搜索能力較DE要好，但是仍然需要調(diào)用上千次CFD分析。相比而言，SBO方法調(diào)用的CFD分析次數(shù)大大減少，其中SBO-EI的局部勘測(cè)能力略顯不足；SBO-Hybrid的局部勘測(cè)能力要好一些，因?yàn)樵诨贓I選擇新樣本的同時(shí)，還加入的基于MSP的策略選擇新的樣本，可以加強(qiáng)模型的局部精度；SBO-FCM獲得的最優(yōu)外形的阻力系數(shù)最小，但是調(diào)用CFD分析197次(包括初始試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的CFD分析次數(shù))，而樣本細(xì)化迭代次數(shù)只有64次。

圖9對(duì)比了優(yōu)化得到的外形的壓力系數(shù)分布和幾何外形。鑒于表4中的優(yōu)化結(jié)果，圖中只對(duì)比了SubPlex、SBO-Hybrid和SBO-FCM得到的外形。可以發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后得到的外形在壓力恢復(fù)段只出現(xiàn)了弱激波，原始基準(zhǔn)外形的強(qiáng)激波被抹平，且SBO-Hybrid和SBO-FCM優(yōu)化后的外形上表面的激波更弱。從幾何外形上看，SBO-FCM得到的最優(yōu)外形的最大相對(duì)厚度前移，這有利于保持高的負(fù)壓力峰值。

圖10對(duì)比了SBO-FCM得到的最優(yōu)外形和基準(zhǔn)外形的壓力場(chǎng)云圖。很明顯，基準(zhǔn)外形的上翼面中部偏后一點(diǎn)的位置存在強(qiáng)激波，壓力等值線在該處集中匯聚；而優(yōu)化后的翼型上表面中部附近的壓力等值線分布的較均勻，不存在強(qiáng)激波，說(shuō)明了最優(yōu)外形的確具有更小的波阻。

圖9 優(yōu)化后的壓力系數(shù)和幾何外形對(duì)比Fig.9 Comparison of optimum pressure coefficients and geometries

為了分析SBO-FCM通過(guò)聚類(lèi)劃分子空間能夠加強(qiáng)空間勘測(cè)能力并加快樣本細(xì)化過(guò)程的速度，圖11對(duì)不同SBO方法中的樣本在不同設(shè)計(jì)變量構(gòu)成的空間內(nèi)的分布以及樣本響應(yīng)值的云圖進(jìn)行了對(duì)比。

圖11(a1)展示了SBO-FCM最后一步樣本細(xì)化迭代中的聚類(lèi)結(jié)果：圓球表示聚類(lèi)1中的偽樣本，立方體表示聚類(lèi)2中的偽樣本，樣本的顏色代表模型預(yù)測(cè)的響應(yīng)值；橙色八面體為尋優(yōu)得到的最優(yōu)解。可以發(fā)現(xiàn)，在設(shè)計(jì)變量2～4所構(gòu)成的空間內(nèi)，2個(gè)類(lèi)的偽樣本是相互摻混的，說(shuō)明這3個(gè) 設(shè)計(jì)變量對(duì)目標(biāo)影響的非線性程度很高。此外，摻混的類(lèi)空間會(huì)導(dǎo)致2個(gè)子空間范圍都較大，同時(shí)在子空間取樣可以提高樣本細(xì)化過(guò)程的全局勘測(cè)能力。相應(yīng)地，圖11(a2)顯示在設(shè)計(jì)變量2～4構(gòu)成的空間內(nèi)，至少有3個(gè)子區(qū)域存在極值，分別位于圖的中上部、左下側(cè)和中間偏右側(cè)一點(diǎn)的位置；尋得的最優(yōu)點(diǎn)位于左下側(cè)的區(qū)域。

表4 RAE2822翼型優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 4 Comparison of results for optimizing RAE2822 airfoil

圖10 SBO-FCM得到的最優(yōu)外形與基準(zhǔn)外形的壓力場(chǎng)云圖對(duì)比Fig.10 Comparison of contours of baseline and optimized geometry by SBO-FCM

圖11(a3)展示的樣本分布是由SBO-EI方法獲得的，樣本響應(yīng)值云圖說(shuō)明空間可能存在2個(gè)極值區(qū)域，分別位于圖中上部和中間偏右側(cè)，而尋得的最優(yōu)解位于中上部，說(shuō)明SBO-EI方法在處理非線性強(qiáng)的問(wèn)題時(shí)全局勘測(cè)能力不足。圖11(a4) 展示了SBO-Hybrid方法的樣本分布，圖示表明：空間中可能存在3個(gè)極值區(qū)域，但是所找到的極值位于圖中上部；此外，SBO-Hybrid尋得的最優(yōu)點(diǎn)與SBO-EI尋得的最優(yōu)點(diǎn)的3個(gè)變量相似，說(shuō)明SBO-Hybrid對(duì)于具有強(qiáng)非線性的復(fù)雜問(wèn)題，其局部的挖掘能力略顯不足。

圖11(b)展示了設(shè)計(jì)變量6～8構(gòu)成空間內(nèi)的樣本分布。圖11(b1)給出了SBO-FCM最后一步樣本細(xì)化迭代中聚類(lèi)的結(jié)果，圖中符號(hào)的意義與前述相同。可以發(fā)現(xiàn)，2個(gè)類(lèi)的偽樣本基本上位于2個(gè)獨(dú)立的子區(qū)域中，說(shuō)明這3個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)目標(biāo)的影響相對(duì)獨(dú)立。這樣，在子空間加點(diǎn)時(shí)，更容易發(fā)現(xiàn)多極值區(qū)間，同樣可以提高樣本細(xì)化的全局勘測(cè)能力。圖11(b2)～圖11(b4)對(duì)比了不同方法分析的樣本的空間分布和響應(yīng)值云圖。可以發(fā)現(xiàn)，除了試驗(yàn)設(shè)計(jì)的樣本，3種方法在樣本細(xì)化過(guò)程中添加了更多的目標(biāo)響應(yīng)值小的樣本。SBO-FCM通過(guò)子空間加點(diǎn)，目標(biāo)響應(yīng)值小的樣本聚集在2個(gè)局部區(qū)域；SBO-EI添加的目標(biāo)響應(yīng)值小的樣本較分散；SBO-Hybrid添加的目標(biāo)響應(yīng)值小的樣本集中在一個(gè)區(qū)域。3種方法找到的6～8這3個(gè)設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)點(diǎn)的值很接近，說(shuō)明變量對(duì)目標(biāo)影響的相關(guān)性較小時(shí)，優(yōu)化過(guò)程的難度減小；但是樣本分布表明SBO-EI的全局勘測(cè)能力最差，SBO-FCM的全局勘測(cè)能力較好。

設(shè)計(jì)變量6～8位于翼型上表面，如圖6所示。從圖9可以發(fā)現(xiàn)，設(shè)計(jì)變量6～8的變化趨勢(shì)與圖11(b1)中2個(gè)類(lèi)空間相對(duì)獨(dú)立。SBO-FCM尋得的最優(yōu)外形的設(shè)計(jì)變量2與設(shè)計(jì)變量3、4的變化趨勢(shì)相反；相應(yīng)地，圖11(a1)中類(lèi)空間是摻混的。但是，SBO-EI和SBO-Hybrid尋優(yōu)得到的外形的設(shè)計(jì)變量4與設(shè)計(jì)變量2、3相反。設(shè)計(jì)變量2～4對(duì)目標(biāo)影響相關(guān)性大的特性會(huì)使優(yōu)化問(wèn)題變復(fù)雜，這可能是不同方法得到的最優(yōu)外形在下表面差異較大的原因。根據(jù)上述分析，SBO-FCM的全局勘測(cè)和局部挖掘能力都強(qiáng)于SBO-EI和SBO-Hybrid，說(shuō)明SBO-FCM更適合于求解非線性強(qiáng)的復(fù)雜問(wèn)題。

圖11 不同SBO方法的樣本在不同設(shè)計(jì)變量構(gòu)成的空間中的分布對(duì)比Fig.11 Comparison of infills by different SBO methods within spaces expanded by defferent design variable

6 結(jié) 論

1) SBO方法在求解優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，可以大大減少高精度分析模型的調(diào)用次數(shù)，提高優(yōu)化過(guò)程的效率。但是針對(duì)具有強(qiáng)非線性或者高維設(shè)計(jì)空間的優(yōu)化問(wèn)題，SBO-EI的局部勘測(cè)能力呈現(xiàn)不足。

2) 采用聚類(lèi)分析算法對(duì)設(shè)計(jì)空間縮減后的偽樣本進(jìn)行聚類(lèi)，可以捕捉多個(gè)具有共性的子空間，然后在子空間中通過(guò)EI和MSP準(zhǔn)則選擇樣本，并進(jìn)行相似樣本剔除，可以提高樣本細(xì)化過(guò)程的自適應(yīng)性。

3) 經(jīng)過(guò)了聚類(lèi)分析后最后融合的新設(shè)計(jì)空間在樣本細(xì)化過(guò)程中也會(huì)自適應(yīng)地發(fā)生縮減，這有利于提高建模效率和模型的精度。

4) 解析算例測(cè)試證明SBO-FCM方法具有很好的全局探索和局部勘測(cè)能力，適用于強(qiáng)非線性和多設(shè)計(jì)變量的問(wèn)題。此外，SBO-FCM方法還具有很好的魯棒性和較高的效率，可以充分利用計(jì)算資源進(jìn)行多樣本的并行計(jì)算。

5) 優(yōu)化實(shí)例證明SBO-FCM在求解具有強(qiáng)非線性的氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題上，仍然具有較高的效率，其樣本細(xì)化過(guò)程保持良好的自適應(yīng)特性，可以獲得很高的優(yōu)化質(zhì)量。