基于代理模型的高效全局氣動優化設計方法研究進展

韓忠華，許晨舟，喬建領，柳斐，池江波，孟冠宇，張科施，宋文萍

西北工業大學 航空學院 氣動與多學科優化設計研究所 翼型、葉柵空氣動力學重點實驗室，西安 710072

進入21世紀以來，基于高可信度計算流體力學(CFD，如Navier-Stokes方程數值模擬)的氣動分析與優化設計方法，已廣泛應用于現代飛行器設計，在提高飛行器的氣動與綜合性能、降低設計成本方面正發揮著越來越重要的作用[1-6]。然而，未來飛行器設計將面臨越來越多的設計約束和越來越嚴苛的設計要求，設計變量規模也在不斷擴大，要想進一步應用更高可信度CFD，并在現有方案的基礎上進一步提高設計質量，亟待發展更高效的全局氣動優化設計方法[6-7]。

目前常用的氣動優化設計方法主要包括梯度優化方法和啟發式優化方法兩大類[3]。梯度優化方法[5,8-9]從給定起始點出發，利用目標函數和約束函數關于設計變量的梯度信息來構造有利的搜索方向，并尋找最優的下降步長，不斷迭代直到收斂至離起始點最近的局部最優點。常用的梯度優化方法包括BFGS擬牛頓算法[10]、共軛梯度法[11]、序列二次規劃算法(Sequential Quadratic Programming, SQP)[12]等。在氣動優化設計領域，當采用Jameson教授發展的Adjoint(伴隨)方法[13-14]來計算梯度時，其計算量與設計變量數基本無關，可以有效處理高維非線性約束優化問題[15-18]。雖然基于伴隨方法的梯度優化方法在復雜外形氣動優化設計方面取得了極大成功，但對于多極值問題，該方法容易陷入局部最優[6]。研究表明，即使采用多起點的梯度優化策略，其優化效果也可能難以與全局優化算法相媲美[19]。啟發式優化方法[20-21]一般通過模擬自然界中的生物進化或生物群體行為等現象，設定某種標準來獲得全局最優解。常用的啟發式優化方法包括遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)[22-24]、粒子群優化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)[25]等。這類算法雖然具有非常良好的全局搜索能力，但由于在優化過程中需要成千上萬次(甚至更多)地調用計算代價昂貴的高可信度CFD分析，使得整個優化過程的計算成本巨大。更嚴重的是，隨著設計變量數和約束個數的增多，計算量劇增，出現了所謂的維數災難(Curse of Dimensionality)現象[26-27]，大大限制了其在復雜外形氣動優化設計中的應用[28]。于是，為了提高優化效率，同時兼顧全局搜索能力，一種基于代理模型的優化方法(Surrogate-Based Optimization, SBO)應運而生(文獻[7]首次稱之為“代理優化算法”)[29-32]，并逐漸成為氣動優化設計領域的前沿研究熱點之一[33]。

所謂代理模型，是指在分析和優化設計中可以代替那些計算復雜且費時的數值分析模型的數學模型，又被稱為“近似模型”“響應面模型”或“元模型”[34-38]。代理模型方法不但可以大幅提高優化設計效率，降低工程系統的復雜度，而且有利于濾除數值噪聲和實現并行優化設計[7]。目前，在代理模型研究方面，已經發展了包括多項式響應面(PRSM)[30,39]、徑向基函數(RBFs)[40-41]、Kriging模型[7,34-35]、人工神經網絡(ANN)[42-43]、空間映射(SM)[44-45]、支持向量回歸(SVR)[46-47]、多變量插值與回歸(MIR)[48-49]、混沌多項式展開(PCE)[50-51]等多種代理模型方法。這些模型最初被作為簡單的替代模型來避免大量調用代價昂貴的數值分析模型，降低計算成本。但隨著研究的不斷深入，代理模型的作用發生了轉變，構成了一種可以基于歷史數據來驅動新樣本的加入，并逼近局部或全局最優解的優化算法[7]，即“代理優化算法”。通過建立目標函數和約束函數的代理模型，求解由優化加點準則[52-55]定義的子優化問題，得到新的樣本點并加入樣本數據集中，循環更新代理模型，直到所產生的樣本點序列逼近局部或全局最優解[7]。具體來說，對于一個m維通用優化問題：

(1)

式中：y(x)為目標函數矢量；p為目標個數(p=1為單目標優化問題，p≥2為多目標優化問題)；xu和xl分別為設計變量的上下限；h(x)和g(x)分別為等式和不等式約束；nh、ng分別為等式和不等式約束個數。需要說明的是，對于等式約束，一般可以將其轉化為不等式約束來處理。圖1[7]給出了代理優化算法求解上述問題的基本框架。具體的求解過程如下：

從上述流程中可知，代理優化的核心機制是優化加點準則和子優化。在代理模型的基礎上，通過構造適當的學習函數，形成子優化問題的數學模型。采用傳統的梯度或進化算法等求解子優化問題，便可以不斷生成新的樣本點，并驅動主優化過程朝著局部或全局最優解逼近。此外，利用一些具有全局性的優化加點準則，構造在整個設計空間內的學習函數，可以保證優化算法的全局性。例如，改善期望(Expected Improvement, EI)[56]加點準則，可以同時考慮模型預測值的改善量和誤差最大處，是一種平衡全局探索和局部發掘的加點方法。文獻[57]指出，在某些假設條件下，基于EI準則進行的加點是稠密的，也就是說在加入足夠多的樣本點情況下，可以找到全局最優解。值得注意的是，子優化的計算量相比于昂貴的CFD計算，基本可以忽略不計。文獻[58-59]指出：“代理模型的建模過程，實質上是采用了機器學習技術，從設計空間中的少量樣本信息中學習出了目標函數和約束函數隨設計變量變化的規律或知識”。事實上，代理模型可以看作是針對小樣本的監督式機器學習模型，因而代理優化也被稱為智能化的優化算法。實踐證明，針對設計空間光滑連續且目標函數和約束函數計算代價昂貴的優化設計問題，代理優化算法的優化效率要比傳統進化類方法高出1～2個數量級。文獻[60]指出：“作為航空航天領域的研究熱點，基于代理模型的優化算法對于提升現代航空航天系統的性能、降低設計成本具有非常重要的意義。”

代理優化在航空航天工程設計中的應用可以追溯到20世紀70年代，最初應用于飛行器結構優化設計[29]，后來逐漸發展成為多學科優化設計(Multidisciplinary Design Optimization, MDO)[61-62]的關鍵技術，直到20世紀90年代末才被引入到氣動優化設計領域[6,63]。圖2和圖3分別給出了美國工程索引(Engineering Index)數據庫檢索的20世紀90年代以來關于代理優化方法及21世紀初以來基于代理模型的氣動優化設計的文章數量變化趨勢。從圖中可以清楚地看出，近年來國內外發表的關于基于代理模型的氣動優化設計的論文數量呈快速增長趨勢，代理優化方法已經成為氣動優化設計領域的研究熱點。基于文獻調研，表1 列出了相關領域代表性團隊及其代表性研究；主要介紹了基于代理模型的研究工作和一部分基于梯度優化和啟發式算法的氣動優化設計工作。限于本文作者調研水平，可能未能涵蓋國內外所有氣動優化設計團隊的研究工作。此外，代理優化的應用實際上非常廣泛，包括航空航天、船舶、汽車、能源、電子、環境、生物等眾多領域，由于本文的重點是介紹代理優化在氣動優化設計中的應用，在其他學科領域的應用超出了本文討論范疇，不再贅述。

圖2 美國工程索引數據庫檢索的與代理優化方法相關的文章數(自20世紀90年代以來)Fig.2 Number of published papers in the area of surrogate-based optimization obtained through Engineering Index database (since 1990s)

圖3 美國工程索引數據庫檢索的基于代理模型氣動優化設計的文章數(自21世紀初以來)Fig.3 Number of published papers in the area of surrogate-based aerodynamic shape optimization obtained through Engineering Index database (since 2000s)

鑒于目前國內外還沒有相關領域的綜述性文章，本文以飛行器精細化氣動優化設計問題為背景，系統地介紹了基于代理優化方法的高效全局氣動優化設計最新研究進展。第1節從代理模型理論和算法的角度，系統地綜述了基于變可信度代理模型的氣動優化設計方法、結合代理模型和Adjoint方法的氣動優化設計方法以及基于一種非生物進化的并行氣動優化設計方法的研究現狀和最新進展；第2節針對飛行器氣動優化設計前沿問題，介紹了基于代理模型的多目標氣動優化設計、混合反設計/優化設計、穩健氣動優化設計等方法的研究進展；第3節綜述了基于代理模型的飛行器多學科優化設計方法研究進展；第4節探討了基于代理優化的氣動模型設計理論和方法目前面臨的問題和挑戰，并給出了未來的研究方向建議。

表1 基于代理模型的氣動優化設計相關領域的代表性團隊及其研究工作Table 1 Representative teams and their research works relevant to surrogate-based aerodynamic shape optimization

續表

1 基于新型代理模型和新優化機制的氣動優化設計方法研究進展

經過近20年的研究和發展，基于代理模型的優化方法研究目前已取得了長足進步[7,183]。多種新型代理模型被提出[69,208,245-246,253]，優化理論和算法也得到不斷完善和發展[54-55，66,68,260-261]。然而，隨著飛行器設計指標的不斷提升，設計變量規模不斷擴大，代理優化算法的發展遇到了瓶頸：由于氣動特性對氣動外形的變化往往十分敏感，所以氣動優化設計需要大量獨立設計變量來描述飛行器外形，是一個典型的高維優化問題，面臨維數災難問題[7,26]。主要體現在：一方面，由于維數(設計變量數)高，利用少量初始樣本點建立的代理模型不精確，導致新產生的樣本點序列收斂較慢，需要調用更多次CFD分析才能找到設計空間內的最優解；另一方面，精細化氣動優化設計對CFD數值模擬可信度的要求不斷提升，正問題的計算成本也不斷增加。這兩方面共同作用，導致代理優化的計算量急劇增加，使其難以在有限的時間內找到全局最優解。

為了緩解飛行器精細化氣動優化設計中的維數災難，進一步提高代理優化的效率，目前一般有兩種解決方案：一種方案是引入低可信度樣本數據[64-65,245]或梯度信息[69,252-253]來輔助建立代理模型，用更少的高可信度樣本，實現更高的全局代理模型精度，從而大幅度提高優化效率。另一種方案是從優化機制的角度，將代理優化算法與并行計算技術相結合，發展一種基于代理模型的特殊優化機制——非生物進化，以充分運用高性能計算機的大規模并行計算能力和代理模型對所用歷史樣本數據的學習和再利用能力。這兩種方案都在緩解維數災難問題方面具有重要作用，相關研究也成為了研究熱點之一。

本節將從變可信度代理模型的氣動優化、結合代理模型和Adjoint方法的氣動優化、基于非生物進化的并行氣動優化等3個方面進行綜述。

1.1 基于變可信度代理模型的氣動優化設計方法

變可信度代理模型又稱變復雜度模型，其核心思想是使用大量低可信度樣本建模來反映函數正確變化趨勢，并采用少量高可信度樣本來對之進行修正，從而大幅減少構造精確代理模型所需的高可信度樣本點數，提高建模和優化效率。

由于變可信度代理模型方法充分挖掘了高低可信度分析的優勢，近年來已經在優化設計研究中取得成功應用。現有的基于變可信度代理模型的氣動優化設計方法可以分為以下3類：

1) 基于修正的變可信度氣動優化設計方法。該方法以低可信度模型為基礎，通過乘法標度、加法標度或混合標度的方式引入低可信度樣本數據，輔助構建高可信度模型的近似模型。乘法標度方法最早由Chang等提出[262]，可以用低可信度模型在局部近似高可信度分析的結果。后來，Alexandrov等[263]將其與置信域方法相結合，應用于翼型和機翼的氣動優化設計[264-265]，顯著提高了優化效率。加法標度方法[266-269]相比于乘法標度方法，能夠使低可信度模型全局地逼近高可信度分析函數，精度更高、魯棒性更好，因而逐漸得到更廣泛的使用。這兩種方法雖然都能提高精度，但是對于不同的問題適用性不同。為此，人們又提出了混合標度方法[270-271]。最簡單的混合標度方法是通過引入常系數對兩個修正因子進行加權[272]，更一般的方式是采用混合橋函數方法[273]。本文作者等[252]對混合橋函數方法進行了改進，并引入了梯度等信息，提高了預測精度。需要說明的是，基于修正的變可信度代理模型方法要求當前迭代點的高低可信度函數滿足一階一致性條件[274]，并且通常要結合置信域方法來保證優化的收斂性。

基于自適應混合橋函數的變可信度代理模型表達式為

(2)

(3)

(4)

式(2)右邊第1項表示乘法標度部分；第2項表示加法標度部分；ω為自適應權重系數。具體的建模思路可參見文獻[252]。

2) 基于空間映射(Space Mapping, SM)的變可信度氣動優化設計方法。通過改變低可信度函數的設計空間，使得低可信度函數的最優解能夠逼近高可信度函數的最優解。這樣只需在低可信度模型上進行優化，再通過高、低可信度函數的空間映射關系便可得到高可信度函數的近似最優解。該方法最早由Bandler等[44]在1994年提出，給出了用于優化的線性映射算法，后來又有人提出了漸進空間映射(ASM)[275]、神經網絡空間映射(NSM)[276]、隱式空間映射(ISM)[277]等算法。Robinson等[102]提出了一種改進的空間映射方法，并成功應用于機翼和撲翼的變可信度氣動優化設計。之后，Jonsson等[278]也將此方法用于跨聲速機翼氣動優化設計。

空間映射方法的核心思想在于生成合適的映射關系P：

φc=P(φf)

(5)

使得高、低可信度函數響應值之差的范數≤某個小量ε：

(6)

(7)

3) 基于Co-Kriging模型和分層Kriging模型的變可信度氣動優化設計方法。Co-Kriging是在Kriging模型基礎上發展起來的地質統計學方法，Kennedy和O’Hagan[279]首次將其應用于工程科學領域。Co-Kriging模型基于貝葉斯理論，通過建立自回歸模型將不同可信度的數據進行融合，利用交叉協方差來衡量不同可信度層之間的相關性。Co-Kriging模型的預估值表達式為

(8)

且y1、y2對應2個不同的靜態隨機過程：

(9)

Forrester等[27,280]和Kuya等[110]首次將上述Co-Kriging模型應用于航空航天工程設計領域。Huang等[281]在此基礎上發展了一種MFSKO(Multi-Fidelity Sequential Kriging Optimization)方法，給出了多可信度Kriging模型的建模理論，并將多層模型的超參數優化問題分解為多個子問題，提高了建模效率。Zimmermann和Han[282]對Co-Kriging模型的相關函數計算進行了簡化，使得需要訓練的模型超參數只比Kriging模型多一個，大大提高了建模效率。本文作者等[250,283]又提出了一種更實用的Co-Kriging建模方法，將模型預測值定義為高低可信度樣本點的加權，并把模型方差從協方差矩陣中提取出來，最后通過氣動預測和氣動優化設計算例驗證了該方法的有效性。Zaytsev[284]將Co-Kriging模型進行推廣，實現了任意多層可信度數據的引入。Chung[285]和Yamazaki[286]等將梯度信息作為一種低成本的輔助信息，引入到Co-Kriging的建模過程中，提出了一種梯度增強的Co-Kriging模型(GECK)。Co-Kriging方法同時采用高低可信度數據一次性建立了代理模型，其建模過程相比于基于修正的變可信度代理模型更加直接，但是高低可信度函數之間的交叉協方差計算使其建模的成本較大，限制了其在優化設計中的應用[287]。

針對Co-Kriging模型不夠魯棒、建模效率低等問題，本文作者[245]于2012年提出了一種更簡單實用的分層Kriging模型(Hierarchical Kriging, HK)。依次建立低、高可信度層Kriging模型，并將低可信度模型的預估值直接作為全局趨勢函數引入到高可信度模型的建模中，有效避免了Co-Kriging模型交叉協方差難以計算的問題，且模型提供的誤差估計更加合理。HK模型的基本假設如下：

(10)

在HK模型方法的后續研究中，Ha等[288]采用不同組合的高低可信度CFD數據建立分層模型，并通過翼型的變可信度優化設計驗證了該方法的可行性。Hu等[208]對HK模型進行了改進，他將原先反映高、低可信度函數之間的常數因子改為多項式響應面的形式，從而能更準確地表述高低可信度函數間的相關性，提高了HK模型的精度。宋超等[289]將樣本點處的梯度信息引入到HK模型中，建立了耦合梯度信息的GEHK模型，并應用于RAE2822翼型的單點/多點氣動優化設計中。本文作者[246]將分層Kriging模型推廣到任意多層，發展了一種多層Kriging模型(Multi-level Hierarchical Kriging, MHK)。該方法的核心思想是將較低可信度模型作為較高可信度模型的全局趨勢模型，遞歸式地從低到高依次建立不同可信度的Kriging模型，直到完成最高一層Kriging模型建模。文獻[246]開展了基于MHK模型的氣動優化設計算例研究，與兩層的HK模型相比，優化效率又得到進一步提高，優化結果也得到改善，如圖4所示。目前，HK方法已經被國內外的大量學者采用[290]。NASA著名的《CFD 2030愿景》報告[2]曾指出變可信度代理模型方法在飛行器設計中具有巨大發展潛力，其中HK方法作為一種具有代表性的方法被引用。

目前，國內外針對變可信度代理優化的加點準則研究較少，通常將針對單可信度優化發展的加點準則直接應用于變可信度優化。這就意味著在優化過程中只能增加高可信度的樣本點，沒有充分利用低可信度數據來提高優化設計的效率。為此，Jo等[291]提出了一種根據現有高、低可信度樣本點分布的統計特征，建立動態可信度指標來指導調用高低可信度CFD分析的方法。Huang等[281]發展了一種適用于多層可信度優化的改善期望加點準則(Augmented EI, AEI)，該準則可以合理選擇加點的可信度層及加點的具體位置。Mehmani等[292]提出了一種針對不同可信度分析模型的管理策略，利用模型轉換開關在優化過程中合理地選擇不同的可信度模型。其核心思想是在最近一次加點后，判斷函數值改善量中模型誤差占據的比分大小，當模型誤差占據的比分較大時，則會選擇高可信度CFD分析，否則進行低可信度CFD分析。張瑜等[55]提出了一種針對分層Kriging模型的變可信度改善期望(Variable-Fidelity Expected Improvement, VFEI)加點準則，可以自適應地選擇對最優值期望改善量最大的可信度層進行加點，大幅提高了變可信度優化的效率。圖5展示了基于VFEI準則的ONERA M6跨聲速機翼氣動優化設計，表明VFEI方法可以提高變可信度優化設計的效率[55]。

圖4 基于變可信度代理模型的ONERA M6機翼氣動優化設計[246]Fig.4 Aerodynamic shape optimization of ONERA M6 wing using variable-fidelity surrogate models[246]

圖5 基于變可信度EI準則的ONERA M6機翼氣動優化設計[55]Fig.5 Aerodynamic shape optimization of ONERA M6 wing using variable-fidelity EI criterion[55]

1.2 結合代理模型和伴隨方法的氣動優化設計方法

將目標函數和約束函數關于設計變量的梯度信息引入代理模型建模，建立梯度增強代理模型，以較小的額外計算代價，可以達到大幅提高代理模型精度的目的。

在氣動優化設計領域，目標函數和約束函數的梯度值可以通過Jameson教授發展的伴隨方法[13-14]來獲得。而一次梯度求解的計算量與一次流場控制方程求解的計算量基本相當，所以總的計算量約相當于2倍的流場計算量，并且與設計變量的數目基本無關。這樣一來，建立合理近似精度代理模型所需CFD計算量大幅減少，優化效率得到顯著提升。2002年，Chung和Alonso[285]將梯度增強Kriging(Gradient-Enhanced Kriging, GEK)模型應用于超聲速公務機的氣動布局優化設計中，自此梯度增強代理模型在氣動設計優化領域引起了人們的關注。根據Kriging模型和梯度信息的不同結合方法，可以將梯度增強Kriging模型分為間接GEK和直接GEK模型。

間接GEK方法[293]引入梯度信息的方式是采用一階泰勒展開來獲得樣本點x(i)相鄰樣本點處的響應值信息：

i=1,2,…,n;k=1,2,…,m

(11)

式中：ek是設計空間的正交基矢量。通過這樣的方法，某個樣本點處的m個偏導數值就變成了m個附加樣本點的響應值，然后再基于這n×(m+1)個樣本點建立Kriging模型。間接GEK模型的主要缺點是建模的精度依賴于步長Δxk的選取：如果步長太小，則可能引起模型相關矩陣病態，而如果步長太大又會產生較大的數值誤差。針對該問題，Liu[294]采用最大似然估計法來獲得最優的步長。

而直接GEK方法將樣本點處的梯度作為函數響應值以外的信息直接引入Kriging的建模樣本數據集中，并利用增廣的相關矩陣中交叉協方差項，來考慮函數響應值與梯度或梯度與梯度之間的相關性。直接GEK的預測模型定義為

(12)

Laurenceau等[293-295]比較了Kriging、直接GEK、間接GEK模型對氣動力預測的精度，發現在相同樣本點數下兩種GEK模型的精度都高于Kriging模型。Zimmermann[296]通過理論分析和數值算例，證實大多數情況下間接GEK的相關矩陣條件數都比直接GEK的大。此外，Laurent等[297]的數值算例表明間接GEK方法只在低維問題中顯示出了與直接GEK方法相近的建模精度，而在高維問題中的表現不如后者。

雖然GEK模型已在氣動優化設計中得到一些初步應用，但也暴露出一些問題，主要體現在兩個方面：① 在優化過程后期，新加的樣本點會聚集在最優值附近，這會導致相關矩陣的病態，從而使得代理模型建模不準確,GEK模型中梯度信息的引入使得相關矩陣病態的問題更加嚴重，這一現象可能是導致基于GEK的代理優化方法在優化過程后期收斂速度變慢的原因之一；② 隨著設計變量的增加，GEK模型的相關矩陣規模急劇增大，模型訓練的計算量大幅增長，導致建模時間達到或超過了數值模擬分析本身的時間，同樣出現了維數災難現象，大大限制了其在大規模設計變量飛行器氣動優化設計領域的發展。

針對相關矩陣的病態問題，許多研究者開展了諸多研究工作。Dimond和Armstrong[298]通過理論分析和數值算例證實了相關矩陣的條件數會影響Kriging模型的魯棒性。Posa[299]考察了不同相關函數模型的選擇對相關矩陣條件數的影響，發現相比于其他相關模型，高斯相關模型更容易導致相關矩陣出現病態。隨后，Ababou等[300]通過大量數值實驗得出了與Posa[299]一致的結論，并認為高斯相關函數無限可微的屬性，是造成相關矩陣條件數過大的原因。在最近的研究中，Zimmermann[301]在數學上嚴格證實了高斯相關函數的數學特性使得它更容易引起相關矩陣的病態。他還研究了Kriging相關矩陣的條件數與最大似然估計(超參數優化)之間的聯系，并發現在采用高斯相關函數時，距離權重θk對應的似然函數最優值往往靠近似然函數發散的區域，而似然函數的發散正是由相關矩陣條件數過大導致的[302]。

為了避免模型相關矩陣的病態，一種流行的做法是采用正則化方法，即在相關矩陣R的對角元素加上一個大于零的小量：

R′=R+δI

(13)

在地質統計學領域，該方法又被稱作Nugget效應[303]。通過引入一定程度的回歸，提高了插值結果的光順性，從而達到減小相關矩陣條件數的目的[299]。Ranjan等[304]利用相關矩陣條件數作為約束來確定δ的下界，并提出一種“迭代正則化”的數值策略來降低引入Nugget效應對建模精度的影響。Peng和Wu[305]也采用相同方法確定δ的下界，并提出利用均方誤差最小來動態確定該值的策略。Andrianakis和Challenor[306]研究了Nugget效應對Kriging模型和似然函數的影響。

另一種避免相關矩陣病態的策略是在模型訓練或超參數優化的過程中，將相關矩陣的條件數作為約束，例如Won[307]和Johann[308]等將相關矩陣的條件數作為最大似然估計的一個約束：

maxL(θ)

s.t.k(R(θ))≤kmax

(14)

式中：L為超參數對應的似然函數；kmax即為相關矩陣條件數的上限。

有研究表明，直接GEK模型的相關矩陣條件數比間接GEK模型更小，但即便如此，直接GEK模型也往往比普通Kriging代理模型面臨更為嚴峻的相關矩陣病態的問題[309]。目前，針對GEK模型相關矩陣病態的研究比較少，一般都采用與Kriging模型相同的正則化方法，例如一些研究者提出對函數值項和梯度項分別采用兩種正則化小量的思路[308,310]：

(15)

美國桑迪亞國家實驗室的Dalbey[311]提出了另一種解決思路：首先對相關矩陣利用選主元Cholesky分解方法，然后按照主元順序對原相關矩陣進行重新排序，越靠后的樣本點信息重要性越低，最后通過從后向前剔除樣本點信息，來實現降低相關矩陣條件數的目的。他利用DAKOTA優化工具箱進行了數值建模實驗，研究表明該方法降低了相關矩陣條件數，提高了GEK模型的建模精度。

針對GEK模型訓練的計算量隨設計變量和樣本數量的增加而急劇增大的問題，本文作者等[253]在2017年提出了一種加權梯度增強Kriging(Weighted Gradient-Enhanced Kriging, WGEK)模型。該方法將GEK模型轉化為一系列子GEK模型的疊加，每個子模型的樣本集由所有樣本點和其中一個樣本點在所有維度方向的梯度值組成。首先建立一系列相關矩陣規模小得多的子模型，然后將這些子模型加權起來，獲得所需的梯度增強代理模型。WGEK模型的預估值公式為

(16)

圖6 加權梯度增強Kriging(WGEK)模型與梯度增強Kriging(GEK)模型的建模時間對比[253]Fig.6 Comparison of correlation matrix decomposition efficiency (Flops) of WGEK and GEK models[253]

圖7 基于梯度增強代理模型的ONERA M6機翼壓力分布反設計(108個設計變量)[253]Fig.7 Inverse design for ONERA M6 wing using gradient-enhanced surrogate models (108 design variables)[253]

表2 基于梯度增強代理模型的氣動優化設計領域的代表性研究工作Table 2 Representative research works relevant to aerodynamic shape optimization based on gradient-enhanced surrogate model

1.3 基于非生物進化的并行氣動優化設計方法

對于傳統的代理優化方法，每步更新代理模型時一般只采用一種加點準則，且只增加一個新的樣本。即便是同時根據多種加點準則選擇新樣本點，一次迭代新增的樣本點數仍然有限，嚴重制約了其在大規模并行優化設計中的應用。為此，研究人員發展了將代理優化算法與并行計算技術相結合的方法，將優化過程中產生的眾多中間設計方案分配到多個計算節點中進行并行計算，可極大地加速優化的迭代歷程，提高優化效率。

基于代理模型的并行優化算法與傳統生物進化類全局優化方法非常類似。為了區別起見，本文將上述方法稱為“基于代理模型的非生物進化方法”。該方法能夠有效運用高性能計算機的并行運算能力和代理模型對所用歷史樣本數據的再利用能力，實現大規模并行優化設計。該優化機制運用最小化代理模型預測(MSP)、改善期望(EI)、改善概率(PI)、均方誤差(MSE)、置信下界(LCB)等多種優化加點準則，在代理模型更新迭代的每一步，選取任意多個樣本外形進行CFD并行計算。其核心思想是在初始樣本(類似于初始種群)基礎上，利用所有已知樣本點數據集建立代理模型，然后采用多種加點準則分別獨立地選取任意個新樣本(類似于傳統進化算法中的新種群)；重復這種進化過程，直到產生的樣本序列收斂于優化問題全局最優解。由于每一步優化迭代過程可選取大量樣本，不僅可以在樣本之間進行并行計算，每個樣本外形自身也可進行網格分區并行計算，從而實現了真正意義上的大規模并行氣動優化設計。

在上述的算法框架中，優化加點準則仍是核心機制。為了實現在每一步迭代過程中添加任意多個新樣本，亟需發展一類新的加點準則。一般將這一類加點準則稱為并行加點準則(或多點加點準則)。國內外研究者已經對并行加點準則開展了研究，提出了多種典型的并行加點準則。根據其構造原理，一般可以分為以下兩類：

1) 基于單一加點準則的并行優化方法。Chevalier和Ginsbourger[319]率先在EI準則的基礎上提出了“多元EI”準則(q-EI)，可以在一步迭代中得到q個新樣本。但該方法的實現需要借助蒙特卡洛抽樣，并需要求解復雜的高維積分問題，因此當設計變量數目較多時計算成本會急劇增加，降低了工程實用性。出于降低計算成本的考慮，Ginsbourger等[320]又提出了“Kriging Believer(KB)”方法，其原理是將設計空間中EI最大值處用當前Kriging模型的預測值作為虛擬的樣本響應值，隨后建立虛擬代理模型，并再次尋找該虛擬新模型下的EI最大值點，上述過程不斷重復q-1次即可得到所需的q個新樣本點。由于在該過程中不需要重新訓練模型參數，因此KB方法的計算成本相對較低。與之類似還有CL(Constant Liar)方法[320]。但是，研究表明，隨著單步迭代中添加新樣本數目的增多，這一類方法的優化效果會隨之減弱[39]。近年來，Li等[321]借助于熵的概念，精確衡量了Kriging模型的不確定性，并據此提出了一種“EI&MI”準則，也可以實現并行加點。Cai等[322]也提出了一種基于EI函數及其概率分布函數的多點加點準則。

除了對EI準則進行拓展外，也可以針對EI函數自身的特點開展研究。Sóbester等[323]提出了一種將EI函數上的多個局部最大值當作新樣本的方法。但由于無法確定EI函數局部最優解的個數，因此該方法無法保證每步迭代添加的樣本點數目相同，從而給實際應用帶來不便。近年來Zhan等[324]對該方法做出了改進。此外，Feng等[325]則從加權EI準則的原理出發，提出了一種基于多目標優化的并行加點方法。其原理是將EI表達式中分別代表局部發掘和全局探索的兩項分別視作兩個優化目標，求解此多目標優化問題便可得到一組Pareto解集，并從這組解集中選取任意多個點作為新樣本。

值得一提的是，除EI準則外，其他常用的加點準則(如PI準則、LCB準則等)也能加以改進成為并行加點準則。Jones等[56,326]曾指出，為PI準則設定不同的目標值即可實現添加多個新樣本的目的。與之類似的，Laurenceau等[295]也提出通過改變LCB準則中的系數值來獲得多個新樣本。這一類方法雖然簡單易行，但在實際情況中一般難以確定最合適的一組目標或系數。Chaudhuri和Haftka[327]針對該問題提出了使用PI準則并自適應選取合理目標值的方法，取得了初步成效。Viana等[68]則提出了一種選取聯合PI函數上多個局部最大值作為新樣本的方法。數值算例表明，該方法的優化效果隨著新樣本數的增加而減弱。

2) 多種加點準則組合的并行優化方法。Sekishiro等[328]首先提出了將基于EI準則得到的新樣本和當前代理模型最優解(即MSP準則)同時加入樣本集的方法，可以實現在一步迭代中添加兩個新樣本。研究表明，該方法對于氣動優化設計而言非常實用[329]。Hamza和Shalaby[330]隨后提出了一種同時使用3種加點準則并結合KB方法添加新樣本的方法，可以在一步迭代中添加任意多個新樣本。Chaudhuri等[331]提出了一種同時使用EI準則與多點PI準則[66]的并行加點方法，并將其成功應用于撲翼的氣動優化設計中。Bischl等[332]則指出，可以將不同加點準則的子優化目標函數視作多個目標并求解該多目標優化問題，從而得到一組Pareto解集，并從中選取新樣本。相同的原理也可以推廣為使用多種代理模型，Viana等[68]就提出可以在同一組樣本集的基礎上建立不同代理模型，隨后分別使用EI準則添加新樣本的方法，也可在一步迭代中得到多個新樣本。

為了將不同的加點準則進行合理組合，劉俊等[53]首先系統地比較了各種加點準則的異同，分析了其各自的優缺點。隨后，在此基礎上提出了一種同時使用EI、PI、LCB與MSP 4種加點準則的并行加點方法，實現了一步迭代添加4個新樣本的方法，并將其成功地應用于一系列跨聲速機翼的氣動優化設計中[54]。從理論上講，每種加點準則都有其內在的優缺點，而多種加點準則的組合在某種程度上可以彌補各自的缺點，起到增加樣本多樣性的效果(類似于遺傳算法的交叉、變異機制)，因而可改善優化質量。研究結果表明，該方法相較于EI準則，不僅優化效率有顯著提高，優化質量也得到了改善。但由于受加點準則種類的限制，該加點方法在每一步迭代中所能添加的新樣本數量無法任意給定，這無疑限制了其在大規模并行計算集群中的應用。為此，汪遠等[260]提出了一種改進的組合并行加點準則，實現了可以使用多種加點準則添加任意多個新樣本，進而將這些新樣本分配至多個計算節點并行求解響應值，從而大幅度提高優化效率。該方法的優化機制如下：

(17)

圖8給出了采用組合并行加點準則進行代理優化的流程[260]。圖9和表3展示了采用并行加點準則方法對DLR-F4機翼進行減阻優化設計的結果，優化中采用拉丁超立方抽樣生成50個初始樣本點，分別使用EI準則、基于EI準則的KB方法和組合并行加點準則添加新樣本，樣本總數為300，整個優化流程重復10次[260]。從優化結果可知，組合并行加點準則效果最佳。

圖8 基于非生物進化機制的并行代理優化算法流程[260]Fig.8 Framework of surrogate-based parallel optimization based on none-bio-inspired mechanism [260]

圖9 基于并行氣動優化設計方法的DLR-F4機翼減阻優化設計[260]Fig.9 Drag minimization of DLR-F4 wing using parallel aerodynamic shape optimization [260]

表3 DLR-F4機翼減阻優化設計結果對比[260]Table 3 Comparison of drag minimization results for aerodynamic shape optimization of DLR-F4 wing [260]

2 代理優化算法在氣動優化設計前沿問題中的應用進展

2.1 基于代理模型的多目標氣動優化設計方法

為了應對未來飛行器設計的需求，多目標氣動優化設計方法逐漸成為氣動優化設計的研究熱點之一。多目標氣動優化設計與單目標優化設計在保證優化設計的全局性和高效性上存在相同的矛盾，并且多目標氣動設計問題往往具有更為復雜的設計空間，需要更多的樣本點，進而需要付出更大的計算代價，極大限制了多目標氣動優化設計方法在實際工程問題中的應用。

多目標氣動優化設計問題的一般數學模型為

minf1(x),f2(x),…,fp(x)p≥2

w.r.t.xl≤x≤xu

(18)

式中：f(x)代表優化目標，可以是不同設計點的性能參數。當采用傳統多目標優化算法進行求解上述優化模型時往往需要大量調用高可信度數值模擬，使得優化設計成本大幅增加。為了提高多目標氣動優化設計的效率，基于代理模型的多目標氣動優化設計方法逐漸得到發展和應用。一種簡單的思路是通過建立不同目標的代理模型用以直接替代CFD分析，采用多目標遺傳算法等傳統多目標優化算法在代理模型上進行多目標優化，評估優化獲得的非支配解集作為設計結果[232-333]。然而，面對復雜外形多目標氣動優化設計問題，該方法需要大量的樣本點來建立足夠精確的代理模型。因此，亟需發展一種具備代理優化機制的多目標氣動優化設計方法，來進一步降低計算成本。

21世紀以來，國內外研究人員在基于代理模型的多目標進化方法領域已經開展了較深入研究，并取得了一些有意義的研究成果[334]。Knowles[335]提出了將高效全局優化(EGO)方法與切比雪夫聚合方法相結合的ParEGO方法。在建立不同目標的代理模型以后，每一次迭代時通過隨機選取目標權重系數將多目標問題轉換為單目標問題尋優，找到新樣本點用以更新代理模型。Keane[336]和Emmerich等[337]分別提出了Multi-EI和EHVI加點準則，將原本用于單目標優化問題的改善期望(EI)和改善概率(PI)推廣到了多目標優化中。Beume[338]和Ponweiser[339]等發展了SMS-EMOA和SMS-EGO方法，將最大化超體積因子作為子優化目標來指導加點。這些工作，雖然能夠提高傳統無代理模型輔助的多目標優化算法效率，但是在每次迭代中只添加一個新樣本點來更新代理模型，整個Pareto前沿不能在一次迭代中得到充分探索。為此，張青富等[340]將MOEA/D[341]與代理模型相結合，提出了MOEA/D-EGO方法。Lin[342]和Silver[343]等發展了類似的MOBO/D和s-MOEA/D方法。這些方法能夠在一次迭代中同時添加多個樣本點，進一步提高了優化效率。最近，文獻[344]將4種典型的基于代理模型的多目標進化算法應用于翼型的多目標氣動優化設計中進行對比分析。

近年來，基于代理模型的多目標氣動優化設計方法在高升力翼型[345]、跨聲速翼型[85]、高超聲速飛行器寬速域翼型及機翼[261]、增升裝置[333]、熱交換器[346]、壓氣機轉子[347]、超聲速壓氣機葉柵[348]、高超聲速乘波體[333]、再入式飛行器[349]等各類航空航天領域氣動優化設計問題中得到了應用。圖10為采用基于代理模型的多目標氣動優化設計方法，進行某寬速域翼型優化設計得到的Pareto前沿。

圖10 基于代理模型的高超聲速寬速域翼型多目標氣動優化設計Fig.10 Multi-objective aerodynamic shape optimization of wide-Mach-number-range airfoil using surrogate-based approach

2.2 基于代理模型的混合反設計/優化設計方法

基于代理模型的混合反設計/優化設計方法，是一種將反設計方法與直接優化設計相結合的優化設計方法。通過借助高效全局的代理優化算法，可在設計空間內尋找兼顧反設計和直接優化設計目標且滿足約束的飛行器氣動外形。反設計方法通過目標特征流場分布(如目標壓力分布)，可以很好地運用設計者的經驗和對流動機理的認識，但針對多目標、多約束問題顯得無能為力。基于代理模型的直接優化設計則直接以氣動性能指標(如阻力系數)為目標，通過優化算法自動尋找性能最優的外形。但搜索過程比較盲目，無法有效結合設計者的設計經驗。為了兼顧兩種方法的優勢，將反設計方法和代理優化算法相結合，可使得優化算法在追求全局氣動性能最優的同時保證局部流場特性良好。該方法的一般數學模型為

minfdir(x),finv(x)

w.r.t.xl≤x≤xu

(19)

式中：fdir(x)代表直接優化設計目標函數，可以是阻力等性能參數；finv(x)代表反設計目標函數，通常與局部壓力分布相關。

目前，國內外對適用于飛行器氣動外形的混合反設計/優化設計方法研究較少，大多數研究分屬于反設計和直接數值優化設計這兩大類里面。20世紀80年代初，Garabedian和McFadden[350]發展出通用的反設計方法——GM(Garabedian-McFadden)。由于設計出的翼型在激波附近不能和目標壓力分布吻合，Malone等[351]在GM方法基礎上做了改進，發展出MGM(Modified Garabedian-McFadden)方法。1984年，Takanashi[352]提出正反迭代-余量修正的反設計方法，其幾何修正量來源于求解跨聲速小擾動方程。該方法由于其計算分析程序可隨意更換的優點而受到廣泛關注和使用。1987年，NASA蘭利研究中心的Campbell和Richard[353]提出DISC(Direct Iterative Surface Curvature)方法，又稱為流線曲率法,該方法核心在于提出翼型壓力系數的變化量通常正比于翼型表面曲率的改變量的觀點，并以此為基礎建立數學模型。進入20世紀90年代，華俊等[354-355]對Takanashi的反設計方法進行了改進，并成功應用于跨聲速翼型和自然層流翼型的設計中。2003年，楊旭東等[356]將流場計算、共軛方程數值求解、敏感性導數求解和優化算法4個方面進行結合，發展出了一種針對機翼氣動外形的反設計方法。同年，詹浩等[357]將只針對單獨翼面的余量修正方法發展到針對多翼面問題，形成一種處理多翼面升力系統的余量修正設計方法。2008年，李焦贊等[358]通過對壓力分布進行約束優化，將優化的壓力分布當做反設計的目標壓力分布并利用華俊等[355]改進的正反迭代、余量修正的反設計方法進行翼型設計，減少了人為經驗對設計結果的影響。2013年，白俊強等[359]在Gappy POD翼型反設計的快照采樣過程中，用壓力分布最接近目標壓力分布的翼型替換基礎擾動翼型，獲得了離目標翼型更近的快照空間，有利于提高反設計的精度。此外，如前文所述，國內外在基于代理模型的直接氣動優化設計方面也開展了諸多相關研究。陳靜等[360]發展了基于代理模型的跨聲速自然層流翼型混合反設計/優化設計方法，采用該方法獲得的翼型升阻比較高，壓力分布形態也相對更穩健,圖11為采用混合反設計/優化設計方法得到的自然層流翼型的壓力分布。

總的來說，基于代理模型的混合反設計/優化設計方法還處于初步發展階段。該方法能夠充分發揮代理優化算法和反設計方法的優勢，既具有高效全局性，又能引入設計者的指導，體現“人在回路”的思想[139]，在飛行器氣動優化設計領域具有很大的發展潛力。

圖11 基于代理模型的自然層流翼型混合反設計/優化設計[360]Fig.11 Natural laminar flow airfoils using a surrogate-based hybrid inverse/optimization design method[360]

2.3 基于代理模型的穩健氣動優化設計方法

近年來大量試驗研究已經表明，流場激波、流動的黏性效應以及其引起的分離等復雜非線性流動問題，往往對馬赫數、迎角、氣動外形的微小變化異常敏感。但由于在優化設計中并未考慮這些不確定性因素的影響，可能導致優化外形的氣動特性隨工況/幾何外形的微小改變而劇烈變化，不符合工程實際使用需求。因此，如何設計出氣動性能魯棒且優良的外形是亟待解決的關鍵問題。穩健優化設計方法(RDO)正是針對傳統優化設計方法單純追求最佳性能而魯棒性欠佳的問題而發展起來的一類優化設計方法。穩健優化設計的數學模型主要分為最小化目標均值和標準差、區間模型和最差性能改善3類。其中最小化目標均值和標準差模型應用最為廣泛，目的是同時減小優化設計目標的均值和標準差，其數學表達式為

(20)

式中：ξ=[ξ1,ξ2,…,ξnu]T為已知分布的nu個不確定變量；μ(x|ξ)和σ(x|ξ)分別為響應值的均值和標準差，共同構成目標函數f；μh表示等式約束的均值；μg表示不等式約束的均值。

由于穩健優化設計過程中需要進行不確定性量化(Uncertainty Quantification, UQ)，需要大量計算真實函數響應值，所以相比于傳統的確定性優化設計，其計算量巨大。隨著代理模型技術的發展，在氣動優化設計中越來越多地使用代理模型來代替耗時的CFD計算，實現對氣動外形的力系數、壓力分布的快速估算。基于這一思路，在UQ過程中也可以采用計算成本較低的代理模型來代替計算代價昂貴的CFD分析，從而提高不確定性量化的效率。

2006年，Ong等[361]提出了在信賴域內建立局部的代理模型以降低計算成本，從而輔助基于遺傳算法的穩健優化設計。2009年，Shimoyama等[362]使用Kriging模型和數據挖掘技術對多目標穩健優化設計問題的穩健性進行預測，發現該方法可顯著降低計算成本，提高優化設計的效率。Dwight等[309]針對不確定變量較多且真實函數計算成本較高的問題，在梯度增強的Kriging模型上使用稀疏網格技術進行UQ分析，從而提高了效率和精度。Chatterjee等[363]詳細對比了不同代理模型在穩健優化設計中的性能，雖然都能降低計算成本，提高穩健優化設計的效率，但針對不同類型的問題需要選取合適的代理模型。高正紅等[218]在對穩健氣動優化設計的綜述中指出，在UQ分析時使用代理模型輔助的蒙特卡洛方法能降低計算成本，在優化設計時使用GEK模型可顯著提高代理優化方法的精度和效率。

1998年，Drela[364]開展了跨聲速翼型、低雷諾數自然層流翼型的多點優化設計，研究發現雖然多點設計能夠一定程度上改善設計翼型的穩健性，但其結果具有局部性，翼型的氣動特性會在多個單點較優，而不是整個馬赫數變化區間內都較優。2002年，Huyse等[365]提出了最大/最小化期望和方差的穩健設計方法，該方法不僅能使翼型的性能全面提高，還可以顯著降低不確定性因素對翼型性能的影響。文獻[366]在Huyse最大化期望值思想的基礎上結合梯度優化，提出了期望值最大化設計方法，開展了翼型穩健氣動優化設計研究。Zhang等[367]提出了基于混沌多項式展開模型的穩健優化方法，除了隨機不確定變量(馬赫數、迎角等)外，還首次將PCE方法應用于認知不確定性與混合不確定性的量化分析中。Rashad和Zingg[119]開展了來流馬赫數不確定條件下的跨聲速層流翼型穩健優化設計。Lewis等[368-369]開展了基于多目標穩健優化的數據處理方法研究，并將其應用于旋翼的穩健設計中。Lockwood等[370]使用梯度增強Kriging模型輔助的蒙特卡洛方法對繞圓柱體的高超聲速流動進行不確定性量化，該方法在保證計算精度的同時能顯著降低計算成本。Yamazaki[371]使用變可信度Kriging模型開展了來流馬赫數和迎角不確定情況下的翼型穩健氣動優化設計，并展示了該方法的高效性和實用性。

此外，王元元等[372]開展了馬赫數不確定條件下的翼型穩健氣動優化設計，借助改進的BP神經網絡建立代理模型進行UQ分析，并應用于超臨界機翼的翼梢小翼設計中。馬東立等[373]采用基于BP神經網絡代理模型的UQ方法，開展了考慮工況不確定性和幾何不確定性(扭轉角)的機翼穩健設計。Shahbaz等[374]對基于Kriging模型輔助的UQ方法開展研究，并將其應用于馬赫數不確定條件下的ONERA M6機翼穩健氣動優化設計中。圖12給出了優化設計前后機翼的阻力系數隨馬赫數的變化趨勢，以及概率密度函數(Probability Density Function, PDF)的對比結果。鄔曉敬等[375]采用基于Kriging模型的優化方法開展了來流馬赫數不確定情況下跨聲速翼型的穩健優化設計研究。趙歡等[220]采用改進的PCE方法進行UQ分析，并基于代理優化方法開展了馬赫數和升力系數不確定條件下自然層流翼型的穩健氣動優化設計研究。

圖12 基于代理模型的ONERA M6機翼穩健氣動優化設計Fig.12 Surrogate-based robust aerodynamic shape optimization of ONERA M6 wing

3 基于代理模型的高效全局多學科優化設計方法研究進展

3.1 基于代理模型的氣動/結構耦合優化設計方法

飛行器設計除了考慮氣動學科外，還涉及結構、控制、推進等多個學科，是一個多學科耦合的復雜系統性工程。例如在高亞聲速機翼設計中，氣動/結構兩個學科的緊密耦合作用尤為突出，因而在設計之初就要考慮機翼氣動彈性的影響。傳統的機翼設計方法，根據經驗給出期望的氣動力分布，然后設計出能產生相同氣動力分布的機翼型架外形。這樣經驗式的方法只能找到一個局部最優或相對較好的機翼設計方案，而且僅適用于常規布局的機翼設計。機翼氣動/結構耦合優化設計方法可以充分發揮氣動、結構兩個學科間的耦合作用，使機翼獲得更大的升阻比和更高的結構效率。

國外學者對機翼氣動/結構耦合優化設計方法研究的比較早，取得了一系列的成果。美國學者Haftka[376]、Martins[377-380]、Alonso[381-382]等基于梯度優化方法開展了機翼氣動/結構耦合優化設計的工作。歐洲的學者也發表了很多有關機翼氣動/結構優化的文獻，如德國宇航局(DLR)[383-385]、荷蘭代爾夫特理工大學[386]等。

國內學者也進行了機翼氣動/結構耦合優化設計的相關研究，主要分為梯度優化[235,387]和代理優化兩大類。由于代理優化算法的高效性和全局性，在機翼氣動/結構耦合優化設計方面受到研究人員的青睞。張科施等[388]建立了基于代理模型的多學科優化框架，并對高亞聲速運輸機機翼開展了多目標、多約束的氣動/結構綜合優化設計，優化后的機翼具有更好的氣動/結構綜合性能。之后，張科施等[389]證明針對高亞聲速運輸機機翼進行考慮氣動彈性的優化設計，比不考慮氣動彈性的機翼優化結果有較大性能提高。針對具有上萬個結構應力約束的機翼氣動/結構耦合優化設計問題，張科施等[390]提出一種采用約束累積的處理方法，顯著提高了代理優化算法的大規模約束處理能力，提高了優化設計效率。薛飛等[391]采用基于響應面的協同優化方法，進行了輕型飛機機翼氣動/結構一體化優化設計。胡婕等[166]對客機機翼進行氣動外形和結構參數化建模，通過基于響應面的兩級優化方法求解機翼的氣動/結構多學科設計問題，獲得升阻比和結構重量最優的解集。董波等[392]結合了基于非等熵全速勢方程的CFD方法與基于工程梁理論的結構設計方法，采用序列二次規劃法，對由全局敏度方程構造的近似系統進行優化計算，并驗證了該方法的可行性。盧文書等[393]基于CFD/CSD耦合計算方法和Kriging模型，建立了大展弦比復合材料機翼靜氣動彈性的近似模型并開展優化設計。李育超等[394]以運輸機機翼為研究目標，基于Kriging模型發展了在初步設計階段考慮氣動彈性問題的機翼氣動/結構優化設計方法。

圖13給出了采用代理優化算法進行氣動/結構耦合優化設計的典型流程。圖14給出了文獻[390]采用代理優化算法和約束累積方法，處理含上萬個結構應力約束的氣動/結構耦合優化設計的結果。

圖13 基于代理模型的氣動/結構耦合優化設計典型流程Fig.13 Typical framework of surrogate-based aerodynamic/structural design optimization

圖14 含有上萬個約束的機翼氣動/結構耦合優化設計(Ma = 0.76, Re = 2.77×107)[390]Fig.14 Wing aerodynamic/structural design optimization with more than ten thousands of constraints(Ma = 0.76, Re = 2.77×107)[390]

3.2 基于代理模型的氣動/噪聲、氣動/聲爆綜合優化設計方法

隨著環保意識的增強，氣動噪聲、聲爆等對環境和人類活動的影響逐漸受到重視。然而，飛行器的噪聲、聲爆等聲學特性與氣動性能往往是矛盾的。在保證飛行器氣動性能的條件下，如何盡量降低噪聲、聲爆的影響，成為亟待解決的關鍵問題。基于代理模型的優化設計方法在兼顧氣動性能與聲學特性的飛行器設計方面，展現出了良好的應用前景。

在基于代理模型的氣動/噪聲綜合優化設計方面，國內外學者已經針對旋翼、螺旋槳降噪開展了一系列研究。宋文萍等[395-396]結合Ffowcs Williams-Hawkings方程和RANS方程求解器，采用代理優化對旋翼翼尖形狀進行了降噪優化設計。招啟軍等[397]基于徑向基函數和遺傳算法等對旋翼翼尖形狀進行了優化設計，降低了其高速脈沖噪聲。陳絲雨等[398]采用徑向基函數模型代替費時的噪聲分析方法，并結合遺傳算法，開展了剪刀式尾槳氣動與噪聲特性綜合優化設計。Yang等[399]采用遺傳算法和Kriging代理模型方法優化了懸停狀態下旋翼的翼尖外形，通過減弱槳尖激波強度，達到降低高速脈沖噪聲的目的。Wilke[400]采用變可信度代理模型對直升機旋翼進行了氣動優化設計。這些研究表明，代理優化算法在氣動與噪聲綜合優化設計方面具有很大的應用潛力。圖15和圖16為旋翼降噪優化設計的結果，設計過程中保證了拉力及懸停效率不減，總設計變量數為106個。

圖15 基于代理模型的旋翼氣動/噪聲優化設計收斂歷程[400]Fig.15 Convergence history of rotor aerodynamic/aeroacoustic design optimization using surrogate-based approach[400]

圖16 優化設計前后旋翼外形及觀測點聲壓對比[400]Fig.16 Comparison of geometrical shapes and acoustic pressures for baseline and optimal rotors[400]

在氣動/聲爆綜合優化設計方面，Chung和Alonso[312]將代理優化算法應用于超聲速公務機的低聲爆優化設計，其優化目標為阻力和遠場聲爆過壓值。Chio等[266]為了降低計算成本，采用渦格法和粗細網格對飛機的氣動力及聲爆響應值建立了分層代理模型，并采用單純形方法進行了優化設計。Kirz[401]基于代理模型對第二屆聲爆預測研討會的軸對稱標模進行低阻低聲爆優化設計，優化外形的地面感覺聲壓級降低了4.82 dB，阻力降低了2個阻力單元。喬建領等[402]基于代理優化算法，對第一屆聲爆預測研討會的翼身組合體標模開展了低聲爆優化設計，優化外形的遠場N波峰值降低了27.4%，波阻降低了5.4%。圖17和圖18所示為文獻[402]中對翼身組合體標模進行低聲爆優化設計的結果，經過高精度的遠場聲爆預測方法對優化后外形進行評估，展示了代理優化算法在低聲爆優化設計中的應用能力。

圖17 基于代理模型的翼身組合體低聲爆優化設計收斂歷程[402]Fig.17 Convergence history of low-boom design optimization for a wing-body configuration using surrogate-based approach [402]

圖18 優化設計前后翼身組合體外形及其遠場聲爆波形對比[402]Fig.18 Comparison of shapes and far-field waveforms of baseline and optimum for low-boom design optimization for a wing-body configuration [402]

3.3 基于代理模型的氣動/隱身綜合優化設計方法

對于軍用飛行器而言，雷達隱身性能已成為先進戰機的重要考量指標。目前，實現雷達隱身的主要途徑有外形隱身技術、材料隱身技術和阻抗加載技術。其中，外形隱身技術是指通過改變飛行器的外形，從而在特定入射角范圍內降低其RCS的設計技術。外形隱身技術是實現飛行器隱身的根本，是決定飛行器隱身性能的首要因素。然而，飛行器外形也是產生氣動力和決定飛行器機動性能的重要因素。一般而言，氣動性能和隱身性能對飛行器外形的要求存在矛盾，例如只考慮隱身性能的F-117A攻擊機，其氣動性能極差。

何開鋒等[403-404]提出采用神經網絡模型、模糊邏輯模型、Kriging模型等代理模型建立氣動性能目標函數、隱身性能目標函數與設計變量之間的近似函數，從而無需使用面元法和物理光學法等數值方法求解氣動性能和目標雷達散射截面(RCS)值，提高了氣動/隱身綜合優化設計的效率。王明亮等[405]開展了氣動與隱身性能計算精度對飛行器外形設計的影響研究，研究表明采用低精度計算模型優化設計的外形難以獲得最佳的性能，采用高精度計算模型優化可以獲得性能更優的外形但計算量較大，優化效率需要提高。張彬乾[406]和焦子涵[407]等采用RBF模型進行氣動性能、隱身性能的預測，用Pareto多目標遺傳算法進行了飛翼布局內外翼段翼型氣動/隱身多目標優化設計。張德虎等[227]發展了基于雙層代理模型(DSM)的飛翼布局無人機氣動/隱身綜合優化設計方法，將回歸型代理模型和插值型代理模型分別作為第1層和第2層代理模型，結合回歸型代理模型反映全局分布和插值型代理模型局部精確擬和的優點，提高了代理模型預測精度。汪遠[408]采用代理優化方法對某飛翼布局無人機構型開展了氣動/隱身綜合優化設計，包括內翼段翼型與全機巡航構型的設計。龍騰等[191]針對翼型氣動/隱身多目標優化中存在的計算量大、權重難以確定等問題提出了基于自適應徑向基函數代理模型和高效多目標規劃策略的優化方法。

圖19～圖21[408]展示了采用代理優化算法，對飛翼無人機內翼段翼型進行氣動/隱身綜合優化設計的結果。經過兩輪優化設計，最終外形的氣動性能和前向±30°角域內的RCS分布都有明顯改善，展示了代理優化算法在氣動/隱身綜合優化設計方面的應用潛力。

圖19 基于代理模型的飛翼無人機內翼段翼型氣動/隱身綜合優化設計收斂歷程[408]Fig.19 Convergence history of aerodynamic/stealth design optimization for inner-wing section airfoil of a flying-wing UAV using surrogate-based approach[408]

圖20 氣動/隱身綜合優化設計前后翼型RCS對比(前向±30°照射，頻率=1 GHz，垂直極化)[408]Fig.20 Comparison of RCSs of baseline and optimum for aerodynamic/stealth design optimization (radar wave from ±30° angular region in the front, frequency=1 GHz, vertical polarization)[408]

圖21 氣動/隱身綜合優化設計前后翼型散射電場強度對比(沿正前向照射，頻率=1 GHz，垂直極化)[408]Fig.21 Comparison of electric-fields scattering around baseline and optimum airfoil for aerodynamic/stealth design optimization (radar wave from the front of airfoil, frequency=1 GHz, vertical polarization)[408]

4 存在的問題和未來發展趨勢

本文以飛行器精細化氣動優化設計問題為背景，探討了基于代理模型的高效全局優化設計方法這一前沿研究領域的現狀和最新進展。首先，重點討論了基于新型代理模型和新優化機制的氣動優化設計方法研究進展。其次，介紹了代理模型在飛行器氣動優化設計領域若干前沿問題中的應用研究。最后，綜述了基于代理模型的多學科優化設計方法研究進展。

通過對400多篇文獻的綜述，認為目前代理優化所面臨的關鍵問題及主要挑戰包括：

1) “維數災難”問題。近10年來，代理優化算法在優化效率、質量和魯棒性方面取得了長足進步，已經從最初只能解決20維左右的氣動外形優化設計問題，發展到可以解決100維以內機翼、翼身組合體和更復雜外形的氣動優化設計問題。但是對于超過100個設計變量的更高維優化問題，其效率顯著降低，仍然面臨巨大挑戰。

2) 氣動優化設計的多極值特性問題。氣動優化問題設計空間的多極值特性，對于算法選擇具有重要影響。例如，已有研究發現，對于超臨界翼型和變剖面的跨聲速機翼減阻優化設計(如ADODG的Case 4)，由于主要是減激波阻力，因而認為它不是一個多極值問題。但是，對于需要同時減小激波阻力和黏性阻力的問題(如自然層流翼型或機翼設計)，或變平面形狀(如ADODG的Case 6)，以及設計變量變化范圍較大的氣動布局優化設計問題，多極值特性還是很明顯的。對于這些多極值優化問題，需要進一步提高代理優化算法的全局搜索能力。

3) 變可信度代理優化算法的泛化問題。實際工程設計都會采用不同可信度的分析方法，因而變可信度優化設計無疑具有很大發展潛力。但是，現有方法的泛化能力明顯不足。雖然有大量文章發表，但對于實際工程問題，如果使用不當，優化效果可能很不理想。正因如此，變可信度優化方法目前還主要停留在實驗室研究階段，并沒有在實際工程設計中得到較廣泛應用。如何提高其泛化能力，發展合理低可信度模型選擇方法、更高精度代理模型建模和更有效的變可信度優化加點準則，是其中需要解決的關鍵問題。

4) 梯度增強代理模型的矩陣規模和條件數大的問題。將Adjoint方法計算的低成本梯度信息與代理模型相結合，是一種解決高維優化設計問題非常具有潛力的方法。雖然目前GEK模型的理論和算法已經基本成熟，但在復雜外形氣動優化設計方面表現卻并不理想。主要有兩個方面的問題：一是相關矩陣規模過大，導致訓練時間過長；二是相關矩陣條件數大，導致優化后期效果變差。

5) 大規模并行氣動優化設計問題。多種加點準則組合的并行優化方法，可以在每一代優化迭代時選擇任意多個新樣本。這些樣本之間可以并行計算，樣本自身也可以通過計算網格分區進行CFD的并行求解，從而實現大規模的并行優化。但目前該方法還處于發展初期，今后需要采用萬核以上的大規模并行計算進行驗證。同時優化算法也還有較大的改進空間。特別是對于設計空間呈超多極值、高度非線性、強烈振蕩等特性的復雜氣動優化設計問題，還需要進一步提高算法的效率和魯棒性。

6) 數值噪聲及如何濾除的問題。由于不同樣本外形的CFD計算可能未充分收斂或各個樣本外形計算網格分布存在不一致性，使得CFD求解結果可能帶有不同幅值和頻率的數值噪聲。這將對代理優化的效率和結果產生重要影響。另外，對于結合Adjoint方法的梯度增強代理模型，其梯度計算結果的數值噪聲將會對代理模型的建模和優化設計產生重要影響。

經過大量文獻調研和分析，認為今后在基于代理模型的高效全局氣動優化設計方法方面值得開展的研究方向如下：

1) 針對“維數災難”現象，結合代理模型和Adjoint方法是最具潛力的發展方向之一。其中，如何突破梯度增強代理模型在氣動優化設計后期效果不理想的問題，成為需要重點解決的問題。例如，發展濾除函數和梯度數值噪聲的方法，發展基于梯度的新型加點準則，發展大型相關矩陣的并行分解技術，都是非常有意義的研究方向。

2) 結合代理優化和基于伴隨方法的梯度優化方法各自的優勢，發展混合優化策略。如先采用較少的設計變量進行基于代理模型的全局優化，然后進一步在所得的最優解基礎上提高設計變量數，并采用梯度方法進行優化，是一種值得研究的實用方法。

3) 研究發展具有更好泛化能力的變可信度優化方法。例如，文獻[246]采用不同疏密網格的CFD計算作為高低可信度分析模型，如果再進一步引入文獻[55]的變可信度加點方法，將可能形成一種具有很好泛化能力的“多層網格加速優化方法”。

4) 引入最新發展的機器學習、數據挖掘、數據融合等人工智能算法，結合數據庫技術，研究發展新型代理模型和新的優化加點準則。

5) 發展更有效的多目標氣動優化設計方法。基于張青富教授提出的MOEA/D方法的思想，將多目標優化問題分解成若干單目標優化問題，從而可以采用目前發展比較成熟的單目標代理優化算法進行求解，也是非常有前景的發展方向。

6) 針對穩健氣動優化設計效率低的問題，需要發展更有效的不確定性量化方法和基于代理模型的穩健優化設計方法。

7) 將代理優化算法應用于復雜系統全局多學科優化設計問題，包括具有大規模設計變量和大規模約束，且各學科之間具有復雜耦合關系的工程設計問題。