VTI介質彈性波相速度擴展各向異性線性近似

谷一鵬 印興耀② 梁 鍇*② 張佳佳②

(①中國石油大學(華東)地球科學與技術學院,山東青島 266580；②海洋國家實驗室海洋礦產資源評價與探測技術功能實驗室,山東青島 266071)

0 引言

各向異性是沉積巖中普遍存在的現象[1]。在地震數據處理中，尤其在面對復雜構造時，常常假設地球介質為各向同性，但是地球介質多呈各向異性，因此需要研究各向異性介質的物理性質。沉積巖的地震各向異性多呈速度各向異性[2]，人們廣泛研究了與此有關的正、反演問題[3-11]。

Delay[12]推導了TI介質中精確的速度與波傳播方程。Thomsen[1]提出了3個各向異性參數ε、δ和γ，大大簡化了上述方程，由于適用條件的限制，稱為弱各向異性方程。Alkalifah等[13]提出了表征橢圓各向異性的參數η。類比于VTI介質的Thomsen參數，Rüger等[14]引入了一套表征HTI介質的各向異性參數。Tsvankin[15]進一步將Thomsen參數推廣到正交各向異性(OA)介質。牛濱華等[16]認為在一般情況下，ε和γ的單調性是一致的，即同時增減或為0。Sarout等[17]通過實驗研究了Callovo-Oxfordian頁巖彈性波速度各向異性。李磊等[18]提出了常見的TI介質的Thomsen參數約束條件，避免了無物理意義的研究結果。蘇云等[19]討論了弱各向異性介質地震波傳播特征。姚振岸等[20]分析了對稱軸呈任意空間取向的TI(ATI)介質彈性波速度特征。梁鍇等[21]闡述了傾斜橢球各向異性介質彈性波傳播特征。李勤等[22]論述了垂向裂隙各向異性煤層地震響應特征。

在各向異性近似的研究方面，梁鍇等[23]利用弱各向異性近似和介質分解理論，推導了TTI介質qP波入射的近似反射、透射系數。吳國忱等[24]利用介質分解理論和地震波擾動理論，在保留各向異性一階擾動量的基礎上，建立了地震各向異性參數和巖石力學參數間的近似方程，可預測各向異性巖石的力學參數。梁鍇等[25]從TTI介質彈性波相速度精確公式出發，推導了TTI介質qP波和qSV波相速度的一般性近似表達式。

本文提出VTI介質彈性波相速度的擴展各向異性線性近似，即在相速度精確表達式函數曲線與擴展各向異性線性近似函數曲線切點處(下稱切點，附錄A)進行一階Taylor展開，構造雅可比矩陣，得到擴展各向異性線性近似公式。該方法通過改變線性近似的切點，使擴展各向異性線性近似適用于各向異性較強的情況。同時給出了相應數值示例，分析了介質各向異性程度不同時擴展各向異性線性近似的適用性。

1 方法與原理

1.1 VTI介質精確彈性波相速度

VTI介質有5個獨立的彈性常數，分別為C11、C33、C44、C66、C13。Delay[12]推導的彈性波相速度公式為

(1)

式中：θ為傳播角；ρ為介質密度；而

D(θ)={[(C11-C44)sin2θ-(C33-C44)cos2θ]2+

(2)

Thomsen[1]提出了以下各向異性參數

(3)

式中：α0、β0分別為qP波和qS波垂直TI介質各向同性面的相速度；ε、δ和γ為表征TI介質各向異性強度的三個無量綱因子，其中ε是度量qP波各向異性強度的參數，δ是影響TI介質對稱軸方向附近的qP波速度的參數，γ是度量qS波各向異性強度或橫波分裂強度的參數。使用Thomsen參數改寫式(1)，得

(4)

式中

(5)

而

(6)

1.2 弱各向異性線性近似

通過觀察發現，盡管礦物成分可能是高度各向異性的，但是大多數巖石只呈微弱的各向異性[1]。式(4)雖然用各向異性參數表征相速度，但難以看出該式的物理意義。在各向異性參數的絕對值遠小于1的情況下，Thomsen[1]在各向異性參數等于0時，將式(4)Taylor展開，并保留一階項，得到VTI介質弱各向異性彈性波相速度近似方程

(7)

式(7)形式簡潔，相速度為ε、δ和γ的線性函數，且

(8)

由式(8)可見：ε反映了縱波速度各向異性強度，ε越大，縱波速度的各向異性越強，ε等于0時，縱波速度呈各向同性；γ反映了橫波速度各向異性強度；δ只與VP(0°)、VP(45°)和VP(90°)有關。

1.3 擴展各向異性線性近似

本文提出了擴展各向異性線性近似，即在切點(ε0,δ0,γ0)處進行一階Taylor展開，構造雅可比矩陣，得到擴展各向異性線性近似公式。首先根據式(4)對各向異性參數求一階偏導數，得

(9)

式中

(10)

使用在切點(ε0,δ0,γ0)處的一階偏導數構成雅可比矩陣

(11)

因此，式(4)變為

(12)

式中VP0(θ)、VSV0(θ)和VSH0(θ)為式(4)在切點(ε0,δ0,γ0)處的值。式(12)為VTI介質擴展各向異性線性近似彈性波相速度公式。

2 數值示例

2.1 弱各向異性線性近似適用性分析

本文分析了各向異性參數變化對理論相速度和弱各向異性線性近似相速度的影響。以Berea砂巖[1]為例(表1)，在ε、δ和γ中只有一個發生變化時，繪制彈性波精確相速度(式(4))和弱各向異性線性近似相速度(式(7))隨各向異性參數的變化曲線(圖1)，其中θ分別為0°、45°和90°。分析圖1可知：

(1)式(7)是式(4)在切點(0,0,0)的線性近似，無論各向異性參數小于0還是大于0，在一般情況下如果各向異性參數的絕對值增大，式(4)與式(7)計算結果的差異變大。

圖1 Berea 砂巖速度隨各向異性參數變化曲線(a)VP-ε； (b)VSV-ε； (c)VP-δ； (d)VSV-δ； (e)VSH-γ

表1 Berea砂巖的各向異性參數表[1]

(2)δ對θ為0°和45°時的qP波和qSV波的速度無影響(圖1c、圖1d)。

(3)式(7)在各向異性參數的絕對值小于0.2時擬合精度很高，由式(7)與式(4)計算的相速度曲線幾乎重合。

2.2 各向異性參數絕對值較小時情況

Thomsen[1]給出的弱各向異性線性近似的條件為各向異性參數的絕對值小于0.2，故本文也將其定義為弱各向異性線性近似適用條件。選取三種各向異性參數絕對值較小的巖石模型(表2)，分別利用式(4)、式(7)和擴展各向異性線性近似彈性波相速度公式(式(12))計算彈性波相速度(圖2～圖4)。

表2 各向異性參數絕對值較小的巖石模型參數[1]

圖2 由不同方法計算的Berea 砂巖彈性波相速度曲線(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)

圖3 由不同方法計算的Green River 頁巖彈性波相速度曲線(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)

由圖2～圖4可見：在Thomsen[1]弱各向異性近似適用條件下，式(7)、式(12)均與式(4)的擬合度很高，并且由式(7)和式(12)得到彈性波相速度曲線基本重合，說明當切點為(0,0,0)時兩者的計算結果基本相同。

2.3 各向異性參數絕對值較大時情況

選取二種各向異性參數絕對值較大(絕對值大于0.2)的巖石模型(表3)，利用式(4)、式(7)和式(12)計算彈性波相速度及其相對誤差(圖5～圖8)。

圖5、圖6分別為由不同方法計算的Calcareous砂巖彈性波相速度曲線及其相對誤差。由圖可見：①由式(12)得到的VP和VSV的精度明顯高于式(7)(圖5a、圖5b、圖6a、圖6b)，如由式(12)得到的VP和VSV的最大相對誤差分別為0.10%、-0.13%，由式(7)得到的VP和VSV的最大相對誤差分別為1.51%、-1.78%；②由式(7)和式(12)得到的VSH的精度相同，最大相對誤差均為0.0025%(圖5c、圖6c)，這是由于VSH的各向異性只與γ有關，且Calcareous 砂巖的γ在弱各向異性適用范圍內所致。

圖7、圖8分別為由不同方法計算的Mesaverde泥頁巖彈性波相速度曲線及其相對誤差。由圖可見：在Mesaverde泥頁巖的各向異性參數絕對值大于0.2的情況下(表3)，由式(12)得到的VP、VSV和VSH的精度明顯高于式(7)，如由式(12)得到的VP、VSV和VSH的最大相對誤差分別為0.46%、-0.35%、0.89%，由式(7)得到的VP、VSV和VSH的最大相對誤差分別為4.83%、-12.49%、6.87%。

表3 各向異性參數絕對值較大的巖石模型參數[1]

圖4 由不同方法計算的Silty 灰巖彈性波相速度曲線(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)

圖5 由不同方法計算的Calcareous 砂巖彈性波相速度曲線(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)式(12)在切點處的各向異性參數分別為ε0=0、δ0=-0.3,γ0=0

圖6 由不同方法計算的Calcareous 砂巖彈性波相速度曲線相對誤差(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)

圖7 由不同方法計算的Mesaverde泥頁巖彈性波相速度曲線(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)式(12)在切點處的各向異性參數分別為ε0=0.3、δ0=0.3和γ0=0.3

圖8 由不同方法計算的Mesaverde泥頁巖彈性波相速度曲線相對誤差(a)VP(θ)； (b)VSV(θ)； (c)VSH(θ)

3 討論

弱各向異性線性近似是在切點(0,0,0)處對彈性波精確相速度方程的一種線性近似，所以當各向異性參數的絕對值增大時，弱各向異性線性近似所得結果的誤差也會相應地變大。當各向異性參數的絕對值很小時，弱各向異性線性近似所得結果的精確度很高，此時認為介質的各向異性較弱。

針對某些各向異性較強的巖石，如Mesaverde泥頁巖，因為部分各向異性參數絕對值很大，所以由弱各向異性線性近似計算的相速度有較大誤差。在該情況下，弱各向異性線性近似的誤差大，可以使用擴展各向異性線性近似。

至于切點的選取問題，筆者認為，在各向異性較強的情況下可以選取各向異性參數的絕對值在0.2～0.8范圍的點作為切點，因為Thomsen[1]的強各向異性巖石的各向異性參數大多位于該范圍，本文選擇的切點處的各向異性參數的絕對值均為0.3。如果選擇的切點處的各向異性參數的絕對值太小，由擴展各向異性線性近似與弱各向異性線性近似得到的結果幾乎完全一致；如果選擇的切點處的各向異性參數的絕對值太大，會失去物理意義。某些礦物的各向異性極強，如部分水晶的各向異性參數的絕對值甚至超過1，對這種礦物可以適當地在各向異性參數絕對值較大處做切線。

在巖石物理實驗中由測得的聲波速度估算巖石樣本各向異性參數時，可根據擴展各向異性線性近似公式快速估算各向異性參數近似值，且速度快，穩定性較好。另一方面，可以以擴展各向異性線性近似公式為理論基礎，探討中強各向異性介質分界面處的反射、透射特征及其近似公式，期望為后續AVO分析、AVO反演、阻抗反演等提供基礎。

4 結論

本文從VTI介質彈性波精確相速度公式出發，在切點處進行一階Taylor展開，構造雅可比矩陣，推導了VTI介質彈性波相速度的擴展各向異性線性近似公式。該方法通過調節線性近似的切點，可以適用于各向異性較強的情況。理論分析和數值示例表明：當各向異性參數絕對值較小時，弱各向異性線性近似和擴展各向異性線性近似所得結果均與理論值吻合較好；當各向異性參數絕對值較大時，弱各向異性線性近似所得結果與理論值偏差較大，擴展各向異性線性近似所得結果與理論值吻合較好。說明擴展各向異性線性近似不但適用于各向異性參數較小的情況，而且也適用于各向異性參數較大的情況。

附錄A VTI介質彈性波相速度擴展各向異性線性近似誤差分析

VTI介質彈性波相速度擴展各向異性線性近似的絕對誤差為

(A-1)

弱各向異性線性近似是在點(0,0,0)處對彈性波精確相速度方程的一種線性近似，所以當各向異性參數的絕對值增大時，弱各向異性線性近似所得結果的誤差也會相應地變大。由式(A-1)可以看出：擴展各向異性線性近似是在切點(ε0，δ0，γ0)處對彈性波精確相速度方程的一種線性近似；一定存在一個包含切點(ε0，δ0，γ0)的鄰域，在該鄰域內絕對誤差最小(相較于其他切點的線性近似而言)。因為擴展各向異性線性近似可以選取各向異性參數的絕對值較大處作為切點，所以在各向異性參數絕對值較大的情況下，一定存在一個包含切點(ε0，δ0，γ0)的區間，使擴展各向異性線性近似的絕對誤差(或相對誤差)小于弱各向異性近似。