基于極值思想的高壓油管壓力控制

韓露 楊鈺瑩

摘? 要：文章針對2019年“高教杯”全國大學生數學建模競賽A題——高壓油管的壓力控制，運用了動態平衡原理、夾逼原則及臨界條件下的極值思想，構建了流體力學模型、基于分段函數積分及連續微分方程的燃油流量計算模型、基于運籌學理論的目標規劃模型等，并綜合運用了MATLAB、EXCEL和LINGO等軟件進行數據擬合和編程求解，得出單向閥開啟時長的控制方案，使高壓油管內壓力在一定情況下盡可能穩定為某一常量。

關鍵詞：壓力控制;優化模型;極值思想;微分方程;夾逼原則

中圖分類號：O22 ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2020）16-0103-04

Abstract： Aiming at 2019 "Higher Education Cup" China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling （CUMCM） A problem - high-pressure tubing pressure control， the Dynamic Balance Principle， the Squeeze Theorem and the extremum thought under the critical condition were adopted， and fluid mechanics model was established based on the continuous and piecewise function integral differential equations of fuel flow calculation model， the goal programming model based on operational research theory， etc. In addition， MATLAB， EXCEL， LINGO and other kinds of software were used for data fitting and programming solution， and the control scheme of the opening time of the one-way valve was obtained to make the pressure in the high-pressure tubing as stable as possible as a constant under certain circumstances.

Keywords： pressure control; optimization model; extremum thought; differential equation; Squeeze Theorem

引言

燃油發動機基礎的工作之一是燃油進入和噴出高壓油管的過程，其中高壓油管是電控單體泵與噴油器之間連接的通道，是高壓油路的重要組成部分。柴油機高壓噴射技術對解決柴油燃燒提高燃油經濟性而言十分重要。然而，燃油進入和噴出的過程具有間歇性，將引起高壓油管內壓力發生變化，使噴出的燃油量與預期出現偏差，影響發動機的工作效率。不僅如此，高壓油管內壓力突變在一定程度上降低了其可靠性和使用壽命。因此，高壓油管的壓力控制就顯得極為重要。[1]吳慶林[2]針對高壓共軌系統進行了MATLAB Simulink仿真，運用遺傳算法實現優化;程濤[3]等研究了高壓油管尺寸參數和針閥壓力與噴油量的關系。

1 符號約定（如表1）

2 模型的建立與求解

由題目條件，已知壓力變化量與密度變化量成正比，為了使高壓油管內的壓力盡可能穩定在100MPa左右，高壓油管內的燃油密度基本不變，需控制高壓油管的噴油總量和進油總量相等，才能使其壓力維持穩定。[4]現已知噴油器工作時噴油速率隨時間的變化關系，因此首先計算一個周期內的噴油量，從而求出1s內維持初始壓力的進油量和所需時長。

2.1 根據噴油速率示意圖計算一個周期內的噴油量Q

設0-0.2ms內的噴油速率曲線為L1，0.2-2.2ms內的噴油速率曲線為L2，2.2-2.4ms內的噴油速率曲線為L3。噴油器每秒工作10次，則工作一次的周期T為100ms。則一個周期T=100ms內的噴油量為：

積分計算得：

Q噴=44mm3

2.2 計算壓力為160MPa時的燃油密度？籽A

2.4 臨界條件的極值思想

2.4.1 基本假設

由于題目中未明確給出進油與噴油過程之間的發生和停止時間關系，我們難以確定單向閥每次的具體開啟時長。因此，現做出以下假設：（1）管內燃油密度和壓力均勻分布;（2）進油與噴油工作同時發生;（3）在噴油的一個周期100ms期間，進油過程也剛好經歷若干個周期;（4）高壓側壓力恒定為160MPa，即過程中燃油密度不變。忽略其它微弱因素的影響，我們將油管內壓力變化值具體體現在油管內的燃油量變化。

2.4.2 方法分析

由題意知，噴油的一個周期過程為噴油2.4ms后一直停止至100ms。在2.4ms至100ms期間時長為97.6ms，2.4ms與此階段時長相比來說比重甚小。

首先，分析在第2.4ms時。顯然可以推斷出，為了保證整個過程高壓油管內壓力穩定，在前2.4ms期間進油量不會很多，可近似忽略不計。而又此時噴油剛剛停止，進油過程也僅發生了2.4ms，因此，此時油管內油量近似認為達到了極小值。

隨后，在長達97.6ms期間，噴油工作停止，此階段僅發生進油過程。因此，在第100ms時，油管內油量應達到了極大值。由于整個過程過于漫長，逐一分析各個時間點的壓力變化情況顯然是不可能的。因此，取整個過程的臨界情況分析，控制此階段的極小值與極大值所在時刻油管內的壓力值，使其盡可能穩定在100MPa。根據夾逼原則的思想，中間情況時自然也將滿足此條件。

2.4.3 具體求解

（1）0-2.4ms期間

同上述分析，我們取此過程中的兩個極值條件來推斷2.4ms整個期間的變化。又由上述計算可得，在2.4ms期間噴油總量為44mm3。將單向閥開啟時長x的取值分為以下三種情況，對其逐一計算分析。

即若單向閥每次開啟時長遠遠小于2.4ms，前2.4ms內進油量可近似忽略不計。由于高壓油管的內腔長度為500mm，內直徑為10mm，又由下列相關壓力計算公式可得，即使是忽略此階段的進油量，最大為44mm3的燃油量所引起的油管內壓力變化值為：

3 結論

本文旨在研究發動機高壓油管的壓力控制問題，利用已知條件及參數，進一步確定單向閥的有效控制方案。[7]為了維持高壓油管內壓力恒定為100MPa，利用動態平衡原理，從油閥輸入的油量近似等于噴油嘴噴出的油量。對噴油速度與時間關系函數積分，求出一個周期的噴油量;對附件二的數據進行擬合處理，將E代入并對？駐p=■？駐？籽先進行微分處理，最后進行積分求解，得出高壓側燃油的密度，并利用流量公式求出單位時間從小孔流過的燃油量。為了確定單向閥每次開啟時長，進行臨界情況分析，再對其構建目標規劃模型，利用LINGO軟件求解，最終得出單向閥每次的開啟時長為0.2951ms。將高壓油管內的壓力從100MPa增加到150MPa的過程中，經過約2s、5s和10s的調整，單向閥開啟的時長分別為0.7627ms、0.6039ms、0.5472ms。

參考文獻：

[1]崔雙雙.高壓共軌系統高壓泵關鍵部件研究[D].哈爾濱工業大學，2011.

[2]吳慶林.柴油機高壓共軌系統噴油量的控制方法研究[D].重慶理工大學，2012.

[3]程濤，李琦，朱鈺.柴油機電控組合泵系統噴油特性分析[J].集美大學學報（自然科學版），2015，20（88）：57-63.

[4]蔡梨萍，高世倫.基于MATLAB的柴油機高壓噴油過程的模擬計算[J].柴油機設計與制造，2005：28-32.

[5]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011：15-25.

[6]卓金武，王鴻鈞.MATLAB數學建模方法與實踐[M].北京航空航天大學出版社，2018：8-21.

[7]何雅寧，朱家明，高正帥，等.基于連續微分方程對高壓油管壓力控制的研究[J].齊魯工業大學學報，2019：77-83.