深度研讀教材策略一：還原數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)原理（3）

尹賽坤 周佳泉

【導(dǎo)讀】

“圖形放大或縮小”的教學(xué)內(nèi)容是西師大版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第五單元“圖形變換和位置確定”的內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了比的意義之后，學(xué)習(xí)比例和比例尺之前的一個(gè)內(nèi)容。而人教版則安排在六年級(jí)下冊(cè)，學(xué)習(xí)了比和比例知識(shí)后。兩個(gè)版本的“圖形放大或縮小”編排順序不同，學(xué)生學(xué)習(xí)的著眼點(diǎn)也理應(yīng)有所不同，但是圖形放大與縮小的本質(zhì)應(yīng)該是一樣的。怎樣在學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)比例尺和比例的情況下去深刻理解圖形縮放的本質(zhì)？這是本節(jié)課不能回避的現(xiàn)實(shí)問題。

來自昆明市盤龍區(qū)園博小學(xué)的尹賽坤老師，通過以活動(dòng)為主的課堂教學(xué)形式，帶領(lǐng)學(xué)生抽絲剝繭，步步深入地理解了圖形放大或縮小的本質(zhì)。

【案例】

課堂實(shí)錄：

一、直觀感知

師：冬日的長江三峽，風(fēng)景如畫，真美！請(qǐng)同學(xué)們觀察每組中的兩張圖片相同嗎？

生1：第一組兩張圖片完全一樣，第二組圖片一張大一張小。

生2：第二組兩張圖片形狀相同，大小不同。

師：也就是我們可以從圖片的大小和形狀來研究，是嗎？

生（齊）：是的。

（師板書：大小、形狀）

師：請(qǐng)觀察兩個(gè)圖形什么變了？什么沒變？

生1：小房子形狀沒變，大小變了。

生2：五邊形形狀沒變，大小變了。

師：變化后的圖形與原圖做比較，變大的叫放大，變小的叫縮小。

（板書：放大，縮小）

師：這些圖片哪些是被放大了，哪些是被縮小了？（課件出示圖片）

生1：如果以第一幅為標(biāo)準(zhǔn)，右邊兩張放大了……

生2：如果以第二幅為標(biāo)準(zhǔn)，左邊一張縮小了，右邊一張放大了……

師：這么說，需要確定以哪一張為標(biāo)準(zhǔn)。是嗎？

生（齊）：是的。

師（課件標(biāo)注“原圖”）：老師給出標(biāo)準(zhǔn)，你會(huì)說了嗎？

生1：與原圖比較，（1）號(hào)被縮小了，（2）號(hào)被放大了……

師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的圖形放大或縮小。

師：一個(gè)圖形放大或縮小時(shí)，只能改變什么？不能改變什么？

生：只能改變大小，不能改變形狀。

（板書：只能改變大小，不改變形狀）

二、探索規(guī)律

師：怎樣才能保證圖形在放大或縮小時(shí)，只改變大小，不改變形狀？

（生若有所思）

師：電腦課上，我們就放大、縮小過圖片，下面這張圖片用鼠標(biāo)要拉哪里才能正確放大？

生1：用鼠標(biāo)拉圖片的角。

師：如果只拉長會(huì)怎么樣？（動(dòng)畫演示）

生2：圖片變扁了。

師：如果只拉寬呢？（動(dòng)畫演示）

生3：圖片變瘦了。

師：現(xiàn)在呢？（動(dòng)畫演示“拉對(duì)角”）

生3：正確放大。

師：為什么拉對(duì)角就能正確放大了？

生1：因?yàn)殚L和寬都同時(shí)放大了。

生2：因?yàn)殚L和寬都同時(shí)放大了相同的倍數(shù)。

師：同意嗎？

生（齊）：同意！

師：那么現(xiàn)在呢？（拉住對(duì)角縮小）

生4：長和寬都同時(shí)縮小相同的倍數(shù)，所以是正確縮小。

師（用PPT隱去圖片的內(nèi)容，剩下長方形的邊框，底下襯方格紙）：我們用方格紙幫忙來看一下，圖形A、B和原圖比較各有什么變化？

生1：圖形A與原圖比較，放大到了原來的2倍。

師：你說的2倍是指哪里是原來的2倍？

生2：長和寬都是原來的2倍。

師：還有補(bǔ)充嗎？

生3：每條邊都是原來的2倍。

師：大家同意嗎？

生（齊）：同意。

師：面積也應(yīng)該是原來的2倍吧？

生：是！……不是！

師：怎么一會(huì)兒是一會(huì)兒又不是啊？

生2：面積不是原來的2倍，而是4倍。

師（用PPT演示）：是幾倍？

生（齊）：4倍！

師：所以說，我們把一個(gè)圖形放大到原來的幾倍，指的是哪個(gè)部分？

生（齊）：每條邊。

師（PPT出示邊長6 cm的正方形）：你會(huì)把這個(gè)正方形縮小到原來的嗎？

（生獨(dú)立完成后匯報(bào)，師組織訂正）

三、拓展應(yīng)用

師（用PPT出示“L”形圖形）：你會(huì)把這個(gè)“L”形各邊縮小為原來的嗎？

生（動(dòng)手操作后匯報(bào)）：先算出原圖各邊縮小到它的后是幾格，再畫出新圖形。

師：你們畫出縮小后的圖形形狀變了嗎？

生（齊）：沒有。

師：除了剛才的方法，你能再想一種更簡捷的方法嗎？

（生面面相覷）

師：（PPT演示）：廣告公司做這樣“L”形的宣傳展板，是先把原材料做成長方形，然后裁去多余的部分。

你會(huì)用這種方法重新把這個(gè)圖形縮小嗎？

（生用第二種方法操作、匯報(bào)）

師：這種方法比剛才的方法……

生（齊）：快多了。

師：是的。復(fù)雜問題往往都是從簡單問題變化而來的。我們學(xué)過的簡單圖形有長方形、正方形、三角形等，遇到復(fù)雜圖形，我們可以請(qǐng)“基本形”幫忙，這樣就容易多了。來，試一試！

（在方格紙上按要求作圖：三角形各邊放大到原來的2倍）

（生不知所措）

師：一塊長方形木板怎樣可以剛好裝下這個(gè)三角形？

（生畫一畫，然后小組交流展示）

師：先把這個(gè)長方形的各條邊擴(kuò)大到原來2倍，會(huì)嗎？

生（齊）：會(huì)！（動(dòng)手操作）

師：接下來我們?cè)诶锩娈嬋切巍Ｈ齻€(gè)頂點(diǎn)中，哪兩個(gè)是特別容易確定的？

生：下面兩個(gè)。

師：不容易確定的是哪一個(gè)？

生：上面一個(gè)頂點(diǎn)。

師：我們來觀察：它原來距離右上角多少格？

生：距離一格。

師：也就是從右上角往左走一格就是原來的頂點(diǎn)，對(duì)吧？

生（齊）：對(duì)！

師：那現(xiàn)在該往左走幾格呢？

生（齊）：兩格。

師：這下問題解決了吧？

生（齊）：解決了。

（學(xué)生動(dòng)手操作，畫出三角形，然后展示）

師：現(xiàn)在難度又增加了。還會(huì)解決嗎？

把三角形的各邊擴(kuò)大到原來的3倍。

生（不知所措）。

師：還是先畫“外框”啊。

（有一部分學(xué)生反應(yīng)過來了，畫出“外框”。其余學(xué)生模仿）

……

四、回歸生活

師（PPT出示）：與原字比較，哪個(gè)臨摹得更像一些？并說說為什么？

（生完成后匯報(bào)）：第二個(gè)更像一些，它“出界”的筆畫更少一些。

師：我們都說中國字是“方塊字”。其實(shí)，在漢字中，真正的方塊字只占10%左右，大部分漢字的外輪廓是梯形、三角形，甚至還有圓形、菱形、五邊形等。

五、小結(jié)

師：通過今天的學(xué)習(xí)，來說說你學(xué)到了什么？

生1：我明白了圖形的放大或縮小是怎么回事了。

生2：我知道了復(fù)雜圖形的變化可以用簡單圖形做基礎(chǔ)。

【評(píng)析】

西師大版的“圖形放大或縮小”是撇開比例依托“倍數(shù)”來進(jìn)行學(xué)習(xí)的。沒有了比例尺和比例作為支撐，“怎樣在直觀形象的活動(dòng)體驗(yàn)中讓學(xué)生逐步理解圖形放大、縮小的本質(zhì)？”是這節(jié)課必須解決的難題。尹老師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、操作體驗(yàn)，不但完全掌握了圖形放大或縮小的方法，還學(xué)以致用，解決了生活中的“難題”。

回顧這節(jié)課的學(xué)習(xí)歷程，有以下幾點(diǎn)值得我們借鑒與思考：

1.直觀感受是深入理解的基礎(chǔ)。通過圖片的比較，學(xué)生很容易直觀判斷哪些圖形是放大了，哪些圖形是縮小了。圖形的放大和縮小，都是只改變了大小，而沒有改變形狀。這些淺顯的經(jīng)驗(yàn)，就算是低齡的兒童也能發(fā)現(xiàn)，似乎不足為奇。但這卻是學(xué)習(xí)本節(jié)課的重要基礎(chǔ)。作為六年級(jí)的學(xué)生來講，要把他們的生活經(jīng)驗(yàn)逐步轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力，把學(xué)生的注意力從表象感知逐步引導(dǎo)到對(duì)事物內(nèi)部屬性的深刻理解上來。所以，感知部分既是一個(gè)不可缺少的環(huán)節(jié)，但又不是這節(jié)課的終極目標(biāo)。既要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又要避免淺嘗輒止。對(duì)老師熟練駕馭課堂的能力提出了較高的要求。

2.“相似”是圖形縮放的本質(zhì)。放大或縮小以后的圖形與原來的圖形之間的關(guān)系，其實(shí)就是“相似圖形”。相似圖形之間對(duì)應(yīng)邊的比值相等，對(duì)應(yīng)邊相互平行，相鄰兩邊之間的夾角與原圖形相等。這些“專業(yè)知識(shí)”不可能出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，但還是要讓學(xué)生有所體會(huì)。怎么辦呢？尹老師通過引導(dǎo)學(xué)生比較變換前后的圖形，用口語化、兒童化的語言進(jìn)行了歸納：圖形放大或縮小，只是改變了圖形的大小，而不改變圖形的形狀。這樣，就把圖形縮放的本質(zhì)——“相似”清楚地表達(dá)了出來。所以，變化或縮小后的圖形與原圖形之間每條邊都相似。這就要求我們把一個(gè)圖形放大或縮小的時(shí)候，每條邊都放大或縮小相同的倍數(shù)。

3.復(fù)雜圖形其實(shí)是簡單圖形的一部分。簡單圖形的放大或縮小，對(duì)學(xué)生來說并不難。但復(fù)雜圖形的縮放，就具有很大挑戰(zhàn)性了。尹老師遵循“大道至簡”的原則，在復(fù)雜圖形的外面加了一個(gè)簡單圖形作為“邊框”，通過“邊框”的縮放來實(shí)現(xiàn)內(nèi)部復(fù)雜圖形的縮放，收到了化難為易、化繁為簡的教學(xué)效果。能把簡單問題看得復(fù)雜的，是精明;能把復(fù)雜問題看得簡單的，是高明。以簡馭繁，往往事半功倍。

4.生活問題其實(shí)是數(shù)學(xué)問題的外顯。漢字結(jié)構(gòu)分析，是正確且美觀書寫漢字的重要基礎(chǔ)。在我們大多數(shù)人的印象里，漢字就是方方正正的“方塊字”。通過尹老師的這節(jié)課“書法診所”的環(huán)節(jié)，相信很多學(xué)生都恍然大悟了：原來很多漢字都不是標(biāo)準(zhǔn)長方形或正方形的“方塊字”，這也正是他們一直不能很好掌握漢字結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要原因。可見，很多時(shí)候數(shù)學(xué)問題是生活問題的本質(zhì)，而生活問題則是數(shù)學(xué)問題的外顯。從生活問題中看到數(shù)學(xué)問題，思維才深邃;從數(shù)學(xué)問題中還原生活問題，表達(dá)才豐富。

不依靠比例知識(shí)和生澀的數(shù)學(xué)術(shù)語，也仍然要讓學(xué)生深刻體驗(yàn)圖形放大或縮小的本質(zhì)，是西師大版“圖形放大或縮小”的價(jià)值所在。事實(shí)證明，只要老師課前深入理解了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，再通過形式豐富、新穎有趣的活動(dòng)體驗(yàn)，就能帶領(lǐng)學(xué)生到達(dá)勝利的彼岸。