基于阿基米德螺線的三導線環形磁導引*

凌云龍 汪川 張海潮?

1) (中國科學院上海光學精密機械研究所, 量子光學重點實驗室, 上海 201800)2) (中國科學院大學, 北京 100049)(2020年2月25日收到; 2020年3月20日收到修改稿)

提出了一種三線阿基米德螺線結構產生環形磁勢阱以囚禁中性原子的導引方案. 該結構具有 π /3 旋轉對稱性, 由三根導線組成. 每根導線包含一對由圓弧連接的阿基米德螺線, 且具有中心對稱性. 這種結構能夠避免電流引線端導致的導引缺口問題. 當加載直流電時, 可以形成閉合的環形磁導引, 但導引中心存在磁場零點. 利用時間軌道平均勢原理, 在直流電的基礎上再加載交流調制, 對調制電流的參數進行分析和討論后給出優化方案, 使環形磁導引中心無磁場零點, 同時平滑了環形磁導引中心磁場強度在角向上的起伏變化. 該結構可以刻蝕在芯片表面, 具有生產工藝簡單、調制穩定等優點, 有利于實現導引型原子芯片陀螺儀.

1 引 言

原子陀螺儀是用于測量旋轉角速度[1?3]的原子干涉儀, 其原理是利用Sagnac 效應[4]和原子干涉實現在慣性空間內對載體角速度信息的探測, 具有高精度、高靈敏度和高分辨率的特點, 在慣性導航領域的發展前景十分廣闊. 作為原子陀螺儀重要的發展方向之一, 導引型原子陀螺儀[5?7]利用物質波導約束原子, 避免了重力及其他雜散場的影響,相比自由空間型原子陀螺儀[8?11]具有更長的探詢時間. 實現中性原子的囚禁勢阱主要有兩種方式,即光勢阱和磁勢阱. 因為基于磁勢阱的原子導引可刻蝕在半導體芯片上, 所以磁導引型原子陀螺儀有望在更小尺寸上實現, 在小型化和集成化方面頗具潛力.

磁導引型原子陀螺儀面臨的首要問題是如何形成導引中心無零點且閉合光滑的環形磁導引. 為此, 國內外研究者提出了很多環形磁導引方案.2001年, Sauer 等[12]利用同軸圓環導線產生了直徑為 2cm 的環形磁導引, 實現了冷原子的裝載.2004年, Wu 等[13]利用導線、箔紙等材料制作了“跑道型”磁導引結構, 實現了數量為 107量級的冷原子在導引中的雙向傳播. 2005年, Gupta 等[14]利用四個同軸磁場線圈產生直徑為 1.2—3 mm 的環形四 極磁阱, 原子 在導引中傳播了 1 s . 2006年,Arnold 等[15]利用兩對線圈配合一根軸向直導線產生了直徑為 10 cm 的環形磁導引, 并利用磁阱將原子團分束. 2009年, 美國Baker 等[16]提出七線布局的雙層原子芯片方案, 理論上通過切換上下兩層芯片的電流可以實現無缺口的環形磁導引.2012年, Pritchard 等[17]利用均勻的交變磁場在銅環上誘導產生了半徑為 5mm 的環形磁導引.2012年, West 等[18]提出壓電驅動納米磁性材料結構產生環形磁導引的方案. 2014年, Garraway小組提出了利用綴飾誘導產生環形磁導引[19]和準一維磁導引[20]的方案. 2015年, 我們小組提出了基于原子芯片的單線阿基米德螺線方案[21,22]和基于垂直引線和交流調制的三環線方案[23]. 這兩種方案都存在不完善的地方: 單線阿基米德螺線方案涉及到的偏置線圈體積和電感很大, 使得整個系統的尺寸、功耗很大, 對電路也提出了很高的要求,不利于小型化和工程化; 垂直引線的三環線方案涉及到硅通孔技術, 在國內發展尚不成熟, 原子芯片[24,25]的垂直引線存在加工難度. 所以, 需要設計一種新的環形磁導引結構.

本文提出一種三線阿基米德螺線環形磁導引結構, 解決了通常環形磁導引中由于引線端所導致的導引缺口問題. 基于時間軌道平均勢原理(timeaveraged-orbiting potential, TOP)[26], 對三線阿基米德螺線結構加載交流調制, 使導引中心的磁場強度不為零, 解決了環形磁導引中心的磁場零點問題; 同時平滑了環形磁導引在角向的磁場起伏, 形成了閉合光滑且中心無零點的環形磁導引.

本文的組織結構如下. 首先介紹了基于原子芯片的三線阿基米德螺線環形磁導引的布線結構, 分析了三線阿基米德螺線布線結構的優勢; 其次, 基于時間軌道平均勢的原理, 討論了交流調制對環形磁導引的物理作用; 之后, 對三線阿基米德螺線結構加載交流調制產生的環形磁導引的參數進行具體的分析和討論; 最后給出本文的主要結論.

2 三線阿基米德螺線結構

理想的環形磁導引可以基于理想同心三環線或四環線結構[27], 通過對導線加載相應的交流調制[28], 可以產生閉合光滑的且勢阱中心無零點的環形勢阱, 如圖1 所示. 圖1(a)是理想的三環線布線結構, 圖1(b)是相應的磁勢阱.

顯然, 圖1(a)所示的三環線布線結構實際上是難以實現的. 在真實的實驗過程中, 如果要加載電流, 總是需要引線端的. 于是, 簡單的布線結構往往會由于三根引線端集中在一處而導致相應的環形勢阱有缺口, 很難形成封閉的環形導引. 盡管文獻[23]采用垂直引線的方法使得電流的流入端和流出端靠近而避免了環形勢阱的缺口, 但是該方案涉及到微米尺度的硅通孔技術, 這增加了半導體芯片的加工難度. 因此, 我們需要設計一種新的環形磁導引結構, 既可以避免導引的缺口問題, 又易于芯片加工. 我們的研究發現, 引入相互錯位的阿基米德螺線的布線結構就能夠達到上述目的.

圖1 (a)理想三環線結構, 其中箭頭表示電流方向;(b)理想環形磁導引的磁場分布示意圖, 圖中的藍色圓環部分為環形磁導引Fig. 1. (a) The ideal structure of the three concentric ring wires. The arrows represent the direction of currents;(b) The magnetic field intensity distribution of the ideal ring magnetic guide. The blue circle marks the ring magnetic guide.

阿基米德螺線在極坐標系 (θ,r) 下的表達式為

其中a為阿基米德螺線的起始半徑,b為螺線半徑相對于角度的變化率, 即 dr/dθ. 采用阿基米德螺線結構可以避免引線端集中分布導致的缺口問題.當按照特定的方式排列, 阿基米德螺線可以形成類似三環線的結構, 產生環形勢阱[21,22].

圖2 三線阿基米德螺線環形磁導引的布線結構, 其中黑色實線、紅色點劃線和藍色虛線分別表示三根不同的導線,每根導線的引線端分別用1, 2, 3 表示, 箭頭表示電流方向,阿基米德螺線起始半徑 a =5 mm , 相鄰螺線的間距d =0.1 mmFig. 2. Archimedean-spiral-based three wires structure of the ring waveguide. The black solid line, the red chain-dotted line and the blue dashed line denote three different wires respectively. The input and output ports of each wire are marked by 1, 2, 3 and the arrows represent the direction of currents. The initial radius of Archimedean spirals is a=5 mm and the distance between neighboring spirals is d=0.1 mm.

我們設計的三線阿基米德螺線結構如圖2 所示. 該結構主要包括三根相同的具有中心對稱性構型的導線, 每根導線包含一對由圓弧連接的阿基米德螺線和兩條直導線引線端, 每根導線間隔 π /3 的旋轉角度交錯排列在一起, 使得相鄰兩根阿基米德螺線的間隔相同, 且使整個結構具有以 π /3 為周期的旋轉對稱性. 于是, 這便巧妙地構成了六段首尾相接的三導線布局, 當加載電流后該結構便能夠形成 約束中性原子的環形磁勢阱.

3 形成光滑環形磁勢阱的物理分析

首先分析討論三線阿基米德螺線的幾何參數.理論上, 在同樣的環路面積條件下, 原子陀螺儀的靈敏度比光學陀螺儀至少高10個量級. 因此, 基于Sagnac 效應的物質波干涉儀原則上可實現獨立于全球定位系統(GPS)的自主導航. 粗略的估算表明, 獨立于GPS 的原子陀螺儀可測量的最小轉動角速度為 2.3×10?11rad/s . 以87Rb 原子為例, 大約 7.9 mm2的環路面積即可達到最低要求. 因此,我們以10 倍于最小環路面積, 即 79 mm2作為設計三線阿基米德螺線結構的出發點. 于是選擇這樣的參數, 即阿基米德螺線的起始半徑a=5 mm . 考慮到在距離半導體芯片表面大約 100 μm 的平面內形成環形勢阱, 選擇相鄰螺線的間距d=0.1 mm .

數值計算表明, 對圖2 所示的布線結構加載直流電后能夠形成環形勢阱, 詳細的計算結果將在第4 節給出. 這里主要討論采用TOP 技術的必要性. 原子在環形勢阱中沿角向傳播時, 環形導引中心的磁場起伏和零點都會造成原子數目的損失和物質波的退相干, 所以最理想的情況是環形勢阱中心沒有磁場零點并且在角向光滑. 對于理想的圓環導線結構而言(參見圖1), 由于電流密度只有角向分量而無徑向分量, 所以在加載直流電后理想三環線形成的環形勢阱中心磁場為零. 但對于我們設計的三線阿基米德螺線結構來說, 從(1)式可看到,隨著角度θ的變化, 導線在徑向上有伸縮變化, 所以相應的電流密度除了在角向有分量外, 在徑向也有分量. 這使得三線阿基米德螺線結構形成的環形勢阱中心在絕大部分角度處具有非零的磁場值.

但是, 遺憾的是, 在加載直流電的情況下, 三線阿基米德螺線的布線方式并不能完全消除環形導引中心的磁場零點. 由于三線阿基米德螺線結構在角度方向上以 π /3 為周期變化, 使得理論上存在六個零點. 因此利用TOP方法移去導引中心的磁場零點以避免原子的損失. TOP 阱的原理是利用外加調制場, 使磁場零點沿某種軌跡旋轉, 從而使環形磁導引中心的磁場不為零. 當外加的調制場頻率滿足特定的條件, 即遠小于原子進動的拉莫頻率并遠大于磁阱頻率時, 原子在導引中心附近沿徑向感受到的是簡諧勢阱且導引中心的磁場強度不為零.

對三線阿基米德螺線結構同時加載直流電流和交變電流, 三根導線上加載的總電流分別為:

其中Ii和Ij分別為所加載電流的直流成分和交流調制的幅度,ωb為調制頻率,?為不同導線加載的交變電流的相位差. 隨著角度θ的變化, 三線阿基米德螺線結構的三根導線的相對位置不斷變化, 為保證三根導線的電流相位差在一個環路內的變化相同, 我們設定電流相位差?=2π/3 .

我們發現, TOP 方法不但能夠移除導引中心的磁場零點, 而且也可以平滑在直流情況下環形勢阱極小值在角度方向上的起伏. 這就是說, 在電流值給定的情況下, 盡管環形勢阱中心是磁場強度的極小值, 但在不同的角度方向上該磁場極小值并不同. 因此, 在角度方向上導引中心的磁場強度存在極大值和極小值, 兩者的差值即磁場強度起伏 ?B,可以用來表征導引中心沿角度方向的平滑度. 物理分析和數值計算表明, 在布線結構確定的情況下,平滑程度 ?B主要由調制深度Ij/Ii決定, 如圖3 所示.

從圖3 中可以看到, 隨著調制深度Ij/Ii的增加, 導引中心的磁場強度起伏 ?B呈現先減后增的變化趨勢. 當調制深度在Ij/Ii=0.1 左右時, 導引中心的磁場強度起伏最小: ?B ≈0.007 mT . 這是由于調制深度Ij/Ii過小, 會導致交流調制效果不明顯; 調制深度Ij/Ii過大, 會導致磁阱消失. 只有選取合適的調制深度Ij/Ii, 才能最有效地抑制導引中心的角向磁場起伏, 導引的交流調制效果才能最好.所以, 在后續的計算中將選擇調制深度Ij/Ii=0.1 .根據原子芯片導線可承受的安全電流以及實驗上囚禁原子的阱深需要, 作為計算例子, 選擇直流電流值Ii=1 A . 于是, 調制電流的幅度自然應該選取為Ij=0.1 A .

圖3 當調制頻率 ω b =2π×10 kHz , 電流位相 ? =2π/3 ,電流直流成分 I i =1 A時, 導引中心的角向磁場起伏?B與調制深度 I j/Ii 的關系. 當 I j/Ii =0.1時, 環形磁導引中心磁場強度的起伏最小: ?B ≈0.007 mTFig. 3. The relation of the angular magnetic field intensity?B of the guide center with the modulation depth Ij/Ii when the modulation frequency is ω b =2π×10 kHz , the current phase is ? =2π/3 and the DC part of the currents is I i =1 A . When the modulation depth is I j/Ii =0.1 , the variation of the angular magnetic field intensity is the minimum: ? B ≈0.007 mT .

由于加載交流調制后, 原子在環形磁導引中感受到的磁阱是時間平均勢阱, 所以不同的調制頻率ωb不會影響導引中心磁場強度的起伏范圍. 但原子運動的絕熱近似條件要求調制頻率ωb應遠小于原子 的拉莫頻率ωL并遠大于磁阱頻率ωt[26], 即

其中γ為原子的旋磁比,m為原子的質量,Ui=μBmF gF Bi為對于第i個坐標軸的勢能,μB為玻爾磁子,mF為磁量子數,gF為朗德因子,Bi為磁場強度在第i個坐標軸方向的分量. 當選取Ii=1 A ,Ij=0.1 A時, 導引中心的磁場強度約為B ≈0.25 mT. 在這種電流條件下, 由(3)式可知,對于|F=2,mF=2的87Rb 原子, 其拉莫頻率約為ωL≈2π×5.2 MHz, 原子在磁阱中r方向和z方向上的最大振蕩頻率分別約為ωtr=2π×36.8 Hz ,ωtz=2π×29.3 Hz . 所以, 根據(3)式, 調制頻率ωb的選擇余地還是很大的, 比如可選ωb=2π×10 kHz.

綜上所述, 為滿足勢阱在角度方向光滑的要求和原子運動的絕熱近似條件, 最終確定所加載的電流的幾個參數為:Ii=1 A,Ij=0.1 A ,ωb=2π×10 kHz,?=2π/3 .

4 計算結果

在上述參數的條件下, 以三線阿基米德螺線結構中心為原點, 采用柱坐標系 (r,θ,z) , 對加載交流調制的三線阿基米德螺線結構產生的磁勢阱進行計算和分析.

首先研究方位角固定時導引橫截面的勢阱情況. 不失一般性, 選定方位角度θ=π/2 .

圖4 是形成TOP 阱的示意圖. 加載交流調制使得導引中心的極小值(對有些方位角即為磁場零點)沿虛線軌跡旋轉, 旋轉軌跡在水平和豎直方向上的變化幅度分別為 0.02 和 0.03 mm .

圖4 三線阿基米德螺線結構產生的環形磁導引在θ =π/2 截面上的磁場分布. 調制電流的直流成分 I i =1 A ,交 流 成 分 I j =0.1 A , 調制頻率 ω b =2π×10 kHz , 電流相位差 ? =2π/3 . 加載交流調制后, 磁場的瞬時極小值(磁場零點)沿紅色虛線旋轉, 旋轉軌跡在水平和豎直方向上的變化幅度分別為 0 .02 和0.03 mmFig. 4. The distribution of the magnetic field intensity in the θ =π/2 cross section of the ring magnetic guide generated by the Archimedean-spiral-based three wires structure.The DC part and the AC part of the modulation currents are I i =1 A and I j =0.1 A , respectively. The modulation frequency is ω b =2π×10 kHz . The current phase is ?=2π/3. After loading AC modulation, the minimum(zero point) of the magnetic field rotates along the red dashed line. The variation amplitude of the path along r and z direction are respectively 0 .02 and 0 .03 mm .

圖5 給出交流調制對導引橫截面磁場強度的影響. 可以看到, 加載交流調制后, 導引中心附近的磁場強度的時間平均值的改變非常明顯. 在上述參數條件下, 導引中心的磁場強度由 0.12 mT 變為0.26 mT. 在導引的橫截面上磁勢阱在加載交流調制后從尖銳變得平緩, 即在r方向和z方向上實現了TOP 阱約束. 對于|F=2,mF=2的87Rb 原子,導引在r方向和z方向上的阱深分別約為?Ur=739 μK 和 ?Uz=195 μK , 磁阱頻率的最大值分別約為ωtr=2π×36.8 Hz 和ωtz=2π×29.3 Hz .

現在討論環形導引在交流調制下勢阱在角向的改變情況.

圖5 (a) 環形磁導引加載交流調制前(黑色實線)和加載交流調制后(紅色虛線)在 θ =π/2 截面上磁場在r 方向上的分布; (b) 環形磁導引加載交流調制前(黑色實線)和加載交流調制后(紅色虛線)在 θ =π/2 截面上磁場在z 方向上的分布. 加載電流的直流成分 I i =1 A , 交流成分Ij =0.1 A , 調制頻率 ω b =2π×10 kHz , 電流相位差?=2π/3. 加載交流調制后, 截面上的磁場最小值由0.12 mT 變為0.26 mTFig. 5. (a) The magnetic field distribution in the cross section with θ =π/2 of the ring magnetic guide along r direction before (black solid line) and after (red dashed line)loading AC modulation; (b) The magnetic field distribution in the cross section with θ =π/2 of the ring magnetic guide along z direction before (black solid line) and after(red dashed line) loading AC modulation. The DC part and the AC part of the AC modulation currents are Ii =1 A and I j =0.1 A , respectively. The modulation frequency is ωb =2π×10 kHz . The current phase is ? =2π/3 . After loading AC modulation, the minimum of the magnetic field intensity in the cross section changes from 0 .12 mT to 0.26 mT.

圖6 為導引中心磁場強度在加載調制與否時的對比圖. 在未加載交流調制而僅僅加載直流電的情況下, 隨著角度θ的變化, 導引中心的磁場強度存在較大的起伏, 其變化范圍大約為0.025—0.120 mT, 極大值和極小值之差為 0.095 mT . 當加上上述交流調制后, 隨著角度θ的變化, 導引中心的磁場強度起伏明顯變小, 導引中心的磁場強度B ≈0.25 mT , 極大值和極小值之差?B ≈0.007 mT, 磁場起伏 的 相 對 變化約為?B/B=2.88%. 可見交流調制改變了環形磁導引的導引中心磁場強度, 從而在本質上移除了導引中心存在磁場零點的可能性; 同時有效地抑制了環形磁導引的角向磁場起伏, 使得導引更光滑.

圖6 在三線阿基米德螺線上單獨加載直流電流時的環形磁導引(虛線)和加載交流調制(實線)后導引中心的磁場強度隨著角度 θ 的變化. 圖中虛線情形: 三根導線上加載的直流電流分別為 I 1 =1 A , I 2 =?1 A , I 3 =1 A , 導引中心的磁場強度的變化范圍約為 0 .025—0.120 mT , 最大值和最小值之差為 0 .095 mT . 圖中實線情形: 三根導線上加載電流 的直 流成分 I i =1 A , 交流成分 I j =0.1 A , 調制頻率 ω b =2π×10 kHz , 電流相位差 ? =2π/3 , 導引中心的磁場強度 B ≈0.25 mT , 磁場起伏?B ≈0.007 mTFig. 6. The magnetic field intensity of the guide center versus azimuthal angle θ for loading DC currents only(dashed line) and loading AC modulation (solid line), respectively. The dashed line: The DC currents applied to the three wires respectively are I 1 =1 A , I 2 =?1 A ,I3 =1 A. The variation of the magnetic field is about 0.025—0.120 mT. The difference between the maximum and the minimum is 0 .095 mT . The solid line: The DC part and the AC part of the AC modulation currents applied to the three wires are I i =1 A and I j =0.1 A , respectively.The modulation frequency is ω b =2π×10 kHz . The current phase is ? =2π/3 . The magnetic field intensity of the guide center is about B ≈0.25 mT . The variation of the magnetic field is ? B ≈0.007 mT .

為了完整起見, 圖7 給出導引中心位置的空間起伏. 物理上空間起伏是由三線阿基米德螺線的布線結構決定, 與交流調制無關. 數值計算也證明了這一點. 由圖7 可知, 角度θ每變化 π /3 , 導引中心的位置在r=5.15 mm ,z=0.12 mm 附近變化, 變化幅度約為 ?r=0.015 mm , ?z=0.005 mm , 相對于導引長度l≈2πa/6≈5.236 mm 的變化約為?r/l=0.3% , ?z/l=0.1% .

圖7 對三線阿基米德螺線加載交流調制. 加載調制電流的直流成分 I i =1 A , 交流成分 I j =0.1 A , 調制頻率ωb =2π×10 kHz , 電流相位差 ? =2π/3 . (a) (b)分別為加載交流調制后導引中心空間位置在半徑r 方向和豎直z 方向上的起伏變化, 起伏變化的幅度分別為?r =0.015 mm和?z =0.005 mmFig. 7. Applying AC modulation to the three-wires Archimedean spirals structure. The DC part and the AC part of the AC modulation currents are I i =1 A and Ij =0.1 A, respectively. The modulation frequency is ωb =2π×10 kHz . The current phase is ? =2π/3 . (a) and(b) are respectively the spatial position in r direction and z direction of the ring magnetic guide after loading AC modulation. The amplitudes of variation along r direction and z direction are ? r =0.015 mm and ? z =0.005 mm , re- spectively.

圖8 是加載交流調制后的三線阿基米德螺線環形磁導引在高度z=115 μm 處的磁場分布. 由三線阿基米德螺線結構形成的環形勢阱即為圖8 中藍色圓環部分, 其中心強度約為 0.25 mT . 可以看出此三線阿基米德螺線環形磁導引是閉合光滑且中心無零點的環形導引, 可以導引處于|F=2,mF=2態的87Rb 原子.

圖8 加載交流調制后的三線阿基米德螺線環形磁導引在高度 z =115μm 處的磁場分布. 圖中的藍色圓環部分為環形磁導引, 導引中心的磁場強度約為 0 .25 mT . 加載電流的直流成分 I i =1 A , 交流成分 I j =0.1 A , 調制頻率ωb =2π×10 kHz , 電流相位差?=2π/3Fig. 8. The magnetic field intensity distribution of the three-wires Archimedean spirals structure of the ring magnetic guide at z =115μm when both DC and AC modulation are loaded. The blue circle marks the ring magnetic guide and the magnetic field intensity of the guide center is about 0 .25 mT . The DC part and the AC part of the currents are I i =1 A and I j =0.1 A , respectively. The modulation frequency is ω b =2π×10 kHz . The current phase is?=2π/3.

5 結 論

為了實現導引中心無零點的閉合光滑環形磁導引, 提出了三線阿基米德螺線環形磁導引結構.該結構是由三根包含阿基米德螺線和圓弧的導線間隔交錯在一起形成的, 具有 π /3 旋轉對稱性. 每根導線具有中心對稱性, 其中阿基米德螺線用于形成磁導引, 圓弧導線穿過對稱中心用于導通電流.這種結構避免了引線端的集中分布, 解決了導引的缺口問題, 可刻蝕于半導體芯片表面. 加載直流電流后, 可以在芯片表面產生閉合的環形磁導引. 但是導引中心在角向的磁場起伏不平, 有些角度處甚至存在磁場零點. 我們基于時間軌道平均勢原理對三線阿基米德螺線結構加載交流調制, 既平滑了角向的磁場起伏, 又使得導引在橫截面上獲得了平緩的諧振子勢阱約束. 相比國內外的環形磁導引方案, 三線阿基米德螺線結構簡單, 便于在半導體芯片表面刻蝕. 三導線結構不需要設計偏置線圈, 減少了系統的體積和功耗, 有利于集成化和工程化.產生的環形磁導引對原子的束縛效果好, 對電流的要求和對原子芯片的散熱要求不高, 在實驗上具有可行性, 有利于實現大閉合環路面積的高精度、高可靠、小型化和低功耗的導引型原子芯片陀螺儀.