柵氧化層經時擊穿的非平衡統計理論分析方法

趙文靜 丁夢光 楊曉麗 胡海云

(北京理工大學物理學院, 北京 100081)(2020年1月15日收到; 2020年2月26日收到修改稿)

柵氧化層的經時擊穿作為影響互補型金屬-氧化物-半導體集成電路可靠性的一個重要因素, 一直是國內外學者研究的重點. 為了對其進一步研究, 首先從柵氧化層在電應力下經時擊穿的微觀機理出發, 基于柵氧化層中電子陷阱密度累積達到臨界值時發生擊穿的原理和電子陷阱生成過程的隨機性, 提出了柵氧化層經時擊穿的非平衡統計理論分析方法, 然后分別給出了恒定電流應力和恒定電壓應力下電子陷阱生成速率方程, 導出了電子陷阱密度的概率密度分布函數. 最后以具體器件為例進行分析, 得到了柵氧化層的最概然壽命隨電流應力、電壓應力及其厚度的變化規律, 并類比固體斷裂現象中“疲勞極限”的概念定義“擊穿極限”概念. 計算出了累積失效率隨電流應力、電壓應力和時間的變化規律, 引入特征值來描述累積失效率達到0.63 所用的時間. 結果表明: 電子陷阱密度的概率密度分布函數滿足對數正態分布, 且理論結果與實驗結果相符.

1 引 言

金屬-氧化物-半導體(metal oxide semiconductor, MOS)晶體管是微處理器、半導體存儲器件等超大規模集成電路的核心器件, 隨著大規模及超大規模集成電路的發展, MOS 晶體管的可靠性也成為人們研究的重點之一. MOS 晶體管中柵氧化層的完整性直接與集成電路的性能、可靠性以及成品率相關, 因此研究柵氧化層的可靠性非常有必要[1?3].

經時 擊 穿(time-dependent dielectric breakdown, TDDB)是指施加的場強低于發生本征擊穿時的場強, 在持續作用一段時間后發生的擊穿. 人們常通過TDDB 來評估柵氧化層的本征可靠性,測試柵氧化層的質量[4]. 由于二氧化硅具有禁帶寬度較大、介電強度較高、絕緣性好等優點, 一直是MOS 器件柵氧化層的主要材料. 本文以二氧化硅為例, 研究了電應力下柵氧化層的TDDB.

多年來, 人們為了了解柵氧化層的擊穿機理,建立了許多模型, 其中包括電子俘獲擊穿模型[5]、空穴擊穿模型[6]、感生共振隧穿模型[7]、陷阱產生相關模型[8]等. 而針對擊穿過程的隨機性, 也有一些模型, 如馬仲發等[9]提出的逾滲模型, 其認為柵氧化層中深能級缺陷產生與積累, 形成電導逾滲通路, 造成擊穿. Lee 等[10]的統計模擬模型把柵氧化層中缺陷的存在看作其減薄, 并認為柵氧化物層的壽命與空穴通量達到某一特征值所需的時間有關.Su?é等[11]將MOS 電容器分成若干個柱狀“小元胞”, 并將其定義為“擊穿前退化點的區域”, 用泊松分布描述一個元胞中電子陷阱出現的概率, 假設當其中產生一定數量的電子陷阱時, 該元胞發生擊穿. 但到目前為止, 柵氧化層經時擊穿的物理機理依然沒有完全定論, 一般認為其與柵氧化層中產生的電子陷阱有關. 本文以動態平衡模型[12]為基礎,提出了柵氧化層經時擊穿的非平衡統計理論分析方法, 為計算MOS 器件中柵氧化層的累計失效率、定量的分析其退化程度提供了一個新方法.

2 柵氧化層經時擊穿的微觀機理

在電應力作用下, 柵氧化層的TDDB 過程通常可分為兩個階段: 損傷建立階段和突變失控階段. 在損傷建立階段, 因電子與二氧化硅晶格發生碰撞, 注入電子的部分動能被耗散, 被耗散的動能可能造成二氧化硅中Si-O 鍵的斷裂, 而產生電子陷阱. 當局部電子陷阱密度達到臨界值Nbd時, 在電極之間產生歐姆通道, 進入突變失控階段, 其中電或熱的正反饋作用導致擊穿. 二氧化硅單位體積中Si-O 鍵的數量是一定的, 即可以產生的陷阱數量是一定的, 所以臨界陷阱密度Nbd與測試所用應力條件無關, 與制作工藝、面積、厚度有關[13?15].由于突變失控階段經歷時間較短, 所以一般將損傷建立階段的時間就看作柵氧化層的壽命[6,16]. 本文只研究損傷建立階段.

隨著MOS 器件尺寸的縮小, 柵氧化層逐漸變薄, 而工作電壓卻不能隨之減小, 所以此時的隧穿電流主要是Flower-Nordheim 隧穿電流. 人們一般采用恒定電流應力和恒定電壓應力方法[17]研究柵氧化層的TDDB 特性.

設恒流應力下t時刻二氧化硅中產生的電子陷阱密度為Nj(t) , 恒壓應力下t時刻二氧化硅中產生 的電子陷阱密度為Nu(t) . 它們可分別表示為[14]

其中N0為初始陷阱密度,e為元電荷量,l為柵氧化層厚度,ε為柵氧化層的介電常量,U0為恒流應力下的初始電壓,τu為電壓的馳豫特征時間, 與新電子陷阱的產生有關,K2為與電子的有效質量和勢壘高度有關的常量,E0為外加電場強度,τj為測試中電流密度的馳豫特征時間, 且

3 非平衡統計理論分析方法

由于材料結構本身等的不均勻性, 在電應力作用下, 柵氧化層中產生電子陷阱的位置和速率具有隨機性. 隨著時間的增加, 在電應力作用下, 柵氧化層中產生的電子陷阱數不斷增多, 對柵氧化層造成損傷. 當兩個電子陷阱接觸時, 就可合并成一個較大的電子陷阱. 如果產生的電子陷阱形成了連接兩個電極的歐姆通道, 就會造成柵氧化層擊穿, 此擊穿過程是不可逆的. 由于電子陷阱的生成過程的隨機性和不可逆性, 故電子陷阱的生成速率可用廣義的Langevin 方程來描述[18,19]:

假設電子陷阱的生成速率與達到的退化程度無關, 只與當時及稍早施加的電應力和柵氧化層的微觀結構有關[11], 故可將電子陷阱的生成過程看作一個馬爾可夫過程, 漲落函數f(t) 服從如下高斯分布:

其中D為漲落長大系數,d為Dirac 函數.

根據隨機理論[20], 與Langevin 方程(4)等價的Fokker-Plank 方程, 即電子陷阱密度的概率密度分布函數P(N0,N,t) 隨時間的演化方程為

其中P(N0,N,t)dN表示在電應力下, 柵氧化層中的電子陷阱密度由初始 (t=0 s)時的N0 在t時刻增長到N～N+dN之間的概率. 根據局部電應力漲落和結構背景漲落的特點,k(N),β(N) 和D的關 系為[18]

其中A為一個與電子陷阱密度N無關的常量,h為總的相對偏差,tbd為柵氧化層的最概然壽命.將(7)和(8)式代入(6)式, 采用路徑積分法可得電 子陷阱密度的概率密度分布函數P(N0,N,t) 為[18]

4 恒流應力下的經時擊穿研究

對(1)式求導可得, 恒流應力下柵氧化層中電子陷阱的平均生成速率k(Nj) 為

對比(10)與(7)式可得

將(11)式代入(9)式可得, 電子陷阱密度的概率密度分布函數P(N0,Nj,t) 為

從(12)式可以看出, 當指數項為1時, 電子陷阱概率密度函數值最大, 即此時為電子陷阱密度的最概然值. 所以恒流應力下柵氧化層中電子陷阱密度從初始值N0累計到Nbd的最概然時間, 即最概然壽命為

根據(13)式, 并結合他人[21,22]實驗中MOS 器件兩種樣品的數據進行分析, 得到柵氧化層的最概然壽命tbdj隨其厚度l和初始電壓U0的變化規律如圖1 所示. 其中, 樣品1[21]和樣品2[22]的厚度分別為l1= 10 nm,l2= 11 nm; 初始電子陷阱密度為N0=1.5×1016cm?3[23]; 臨界電子陷阱密度分別為Nbd1=4.3×1018cm?3,Nbd2=6.5×1018cm?3; 初始電壓分別為U01=13V ,U02=12V .

從圖1 可以看出, 恒流應力下, 如果不考慮臨界電子陷阱密度Nbd隨柵氧化層厚度l的變化, 則柵氧化層的最概然壽命tbdj隨其厚度l的增大而增大, 隨其初始電壓U0的增大而減小. 這可能是由于柵氧化層厚度l的減薄和初始電壓U0的增大會導致其上電場強度增大, 使其更容易被擊穿, 造成其壽命tbdj減小.

圖1 不同厚度柵氧化層的最概然壽命(a)樣品1[21],J =1 A/cm2 ; (b) 樣品2[22], J =0.8 A/cm2Fig. 1. The most probable lifetime of gate oxide with different thickness: (a) Sample 1[21] at J =1 A/cm2 ; (b) sample 2[22] at J =0.8 A/cm2 .

當柵氧化層的材料、厚度、制作工藝、所處溫度一定時, 電壓的馳豫特征時間τu和電流密度J的乘 積為一個常量, 即[14]

由(13)和(14)式可得柵氧化層的最概然壽命tbdj與電流密度J的關系曲線, 并與實驗結果進行對比, 如圖2 所示. 類比固體斷裂現象中“疲勞極限”的概念定義“擊穿極限”, 其表示當電流應力低于某一值時, 很難發生TDDB. 由圖2 可以看出, 樣品1的“擊穿極限”大約在 0.05 A/cm2, 樣品2 的“擊穿極限”大約在 0.1 A/cm2, 在此電流應力下, MOS器件基本可以安全使用; 理論結果與實驗結果[21,22]趨勢一致, 即柵氧化層的最概然壽命tbdj隨所加電流密度J的增大而減小. 但理論上推出二者是非線性關系, 與實驗定量上有差別, 這或許是由于所能獲得的實驗數據較少, 或許是源于理論在微觀機理上考慮的因素不夠全面.

圖2 不同電流密度對應的柵氧化層的最概然壽命 (a) 樣品1; (b) 樣品2Fig. 2. The most probable lifetime of gate oxide under different electric current density: (a) Sample 1; (b) sample 2.

根據(12)式可得, 在電流密度J不變(即電壓的馳豫特征時間τu不變)的情況下, 不同時刻電子陷阱密度的概率密度分布如圖3 所示. 顯而易見,電子陷阱密度的概率密度分布函數服從對數正態分布. 概率密度函數曲線的峰值代表某一時刻電子陷阱密度Nj(t) 的最概然值. 樣品1 在電流密度J=1 A/cm2(樣品2 在電流密度J=0.8 A/cm2)的情況下, 不同時刻, 柵氧化層中電子陷阱密度Nj(t)的最概然值不同; 隨著恒流應力作用時間的增加, 概率密度函數曲線的峰值向右移, 說明電子陷阱密度Nj(t) 隨時間t的增加而增加; 峰高越來越小, 半峰寬越來越大, 說明隨時間的增加電子陷阱數量增加, 電子陷阱密度的概率密度分布趨向于均勻化.

圖3 不同時刻的P-N 圖 (a) 樣品1, J =1 A/cm2 ; (b)樣品2, J =0.8 A/cm2Fig. 3. The probability density varies with electron trap density at different time: (a) Sample 1 at J =1 A/cm2 ;(b) sample 2 at J =0.8 A/cm2 .

在時間t不變的情況下, 不同電流密度J下電子陷阱密度的概率密度分布如圖4 所示. 從圖4 中可以看出, 在時間t=20 s時, 隨著電流密度J的增大, 概率密度函數曲線的峰值向右移動, 說明電子陷阱密度Nj(t) 隨著電流密度J的增大而增加.因為當電流密度增大時, 相應的就需要更大的柵極電壓, 在柵氧化層厚度不變的情況下, 電壓越大,其中的電場強度越大. 注入的電子被加速到更大的速度, 因而獲得了更大的能量. 使得電子與二氧化硅中的晶格碰撞時被散射的那部分能量也成比例增加. 因此產生的電子陷阱數也隨之增加. 所以在同一時刻, 被施加電流應力大的二氧化硅中產生的電子陷阱數量更多. 隨著電流的增大, 概率密度函數曲線的峰高越來越小, 半峰寬越來越大. 說明隨著電流的增大, 概率密度分布趨向于均勻化.

圖4 不同電流密度下的P-N 圖( t =20 s ) (a) 樣品1;(b) 樣品2Fig. 4. The probability density varies with electron trap density under different electric current density( t =20 s ):(a) Sample 1; (b) sample 2.

將某一電應力下, 概率密度分布函數P(N0,Nj,t) 從臨界電子陷阱密度Nbdj積分到無窮大 , 即可得到MOS 器件的累積失效率F為

結合(15)和(12)式, 并代入數據計算可得某一恒流應力下的累積失效率.

圖5 和圖6 分別是樣品1 和樣品2 在不同恒流應力下, 累積失效率F隨時間t的變化曲線.

其中,C0為t=0時刻歐式看漲期權價格;S0為t=0時刻基礎資產(股票)價格;X為敲定價格;r為無風險利率;q為股息收益率;τ為期權到期時間;Πj(j=1,2)的定義如下[14]:

圖5 樣品1 中兩種不同電流密度的累積失效率 (a) J =0.1 A/ cm2; (b) J =1 A/cm2Fig. 5. Breakdown cumulative distributions for two different electric current densities in sample 1: (a) J =0.1 A/cm2 ; (b) J =1 A/cm2 .

圖6 樣品2 中三種不同電流密度的累積失效率 (注: 實心五角星代表實驗值, 線段代表理論值.)Fig. 6. Breakdown cumulative distributions for three electric current densities in sample 2. (Note: solid five-pointed star represents experimental value and line segment represents theoretical value.).

當累積失效率F達到0.63時, 大部分器件發生擊穿失效, 且此時測試參數不受前期失效的影響, 與累計失效率為1時的測試參數接近[17], 所以取累積失效率F達到0.63 所用的時間τ作為特征值, 即

τ可看做擊穿過程的“時間尺度”,τ越大則累積失效率F達到0.63 所需時間越長, 柵氧化層的壽命越長.

從圖5和圖6中可以看出, 當樣品1 在電流密度J為0.1 A/cm2和1.0 A/cm2時,τ分別為249.8 s 和24.9 s; 樣品2 在電流密度J為 0.4 A/cm2,0.6 A/cm2和0.8 A/cm2時,τ分別為58.7 s, 39.4 s和 28.1 s. 累積失效率F隨時間t的增大逐漸增大,在短時間內達到1, 且電流密度J越大, 累積失效率F達到1 所用的時間越短, 這個結果與實驗結果[21,22]一致.

5 恒壓應力下的經時擊穿研究

同理可得, 在恒壓應力下, 電子陷阱的平均生產速率k(Nu) 為

對比(17)與(7)式可得

電子陷阱密度的概率密度分布函數P(N0,Nu,t) 為

在恒壓應力下, 柵氧化層中陷阱密度Nu(t) 達到臨界值Nbd的最概然時間, 即最概然壽命tbdu為

由(20)式可知, 不考慮臨界電子陷阱密度Nbd隨柵氧化層厚度l的變化, 最概然壽命tbdu隨樣品厚度l的增大而增大, 隨電場強度E0的增大而減小.

圖7 不同厚度的柵氧化層的最概然壽命Fig. 7. The most probable lifetime of gate oxide with different thickness.

圖8 不同電場強度對應的柵氧化層的最概然壽命Fig. 8. The most probable lifetime of gate oxide under different electric field.

根據樣品2 的數據進行分析, 不同厚度的柵氧化層的最概然壽命tbdu如圖7 所示；不同恒定電場E0下, 柵氧化層的最概然壽命tbdu如圖8 所示. 從圖8 中可以看出, 柵氧化層的壽命tbdu隨電場強度E0的增大而減小, 其“擊穿極限”大約為 5 MV/cm ,且與實驗結果[22]趨勢一致.

根據(19)式得到相同電場下, 不同時刻柵氧化層中電子陷阱密度的概率密度曲線如圖9 所示;以及同一時刻, 不同電場下的概率密度曲線如圖10所示. 由圖9 和圖10 可以看出, 隨電場強度E0和時間t的增大, 電子陷阱密度的概率密度的最概然值逐漸增大, 且電子陷阱密度的概率密度分布趨于均勻.

圖9 E 0 =13.75 MV·cm?1時, 不同時刻的P-N 圖Fig. 9. The probability density varies with electron trap density at different time under E 0 =13.75 MV·cm?1 .

圖10 t =30 s時, 不同電場強度下的P-N 圖Fig. 10. The probability density varies with electron trap density at t =30 s under the different electric field.

根據(15)式可得某一恒定電場強度E0下的累積失效率F隨時間t變化的圖像, 并與實驗結果[22]進行了對比, 如圖11 所示. 當K2= 100 MV/cm時, 理論結果與實驗結果擬合較好, 但實驗得到K2的值一般在200 MV/cm 左右[24]. 可以看出, 當電場強度E0為13.7 MV/cm, 14.00 MV/cm和14.25 MV/cm時,τ分別為71.8 s, 46.8 s 和30.7 s, 即隨電場強度E0增大柵氧化層的壽命變短; 隨時間t和電場強度E0的增大, 累積失效率F逐漸增大, 且理論結果與實驗結果相符.

圖11 三種不同電壓下的累積失效率Fig. 11. Breakdown cumulative distributions for three different electric field.

6 結 論

本文基于柵氧化層中電子陷阱生成過程的隨機性, 在動態平衡模型的基礎上提出了柵氧化層經時擊穿的非平衡統計理論分析方法, 并以具體的MOS 器件為例, 分別研究了在恒流應力、恒壓應力情況下柵氧化層的壽命、電子陷阱密度的概率密度分布函數、累積失效率. 所得結論如下:

1) 分別對不同電應力下、不同厚度的柵氧化層進行了壽命預測; 得到在相同電流應力、電壓應力下, 柵氧化層中電子陷阱密度的概率密度分布函數隨時間的變化曲線; 同一時刻下, 柵氧化層中電子陷阱密度的概率密度分布函數隨所加電流、電壓的變化曲線, 以及累積失效率隨時間、電流應力、電壓應力的變化曲線.

2) 類比“疲勞極限”概念提出了“擊穿極限”概念, 引入特征值作為擊穿過程的時間尺度, 描述累積失效率達到 0.63 的時間.

3) 發現柵氧化層中電子陷阱密度的概率密度分布函數服從對數正態分布, 得到的累積失效率雖與Weibull 分布所得的累積失效率形狀相似, 但Weibull 分布是基于簡單的統計假設, 而非平衡理論方法是從微觀機理出發嚴格導出的.

隨著MOS 器件的變小, 柵氧化層逐漸減薄,其在電應力下TDDB 的微觀機理發生了變化, 動態平衡模型可能不再適用, 但我們依然可以使用非平衡統計理論方法來描述其退化程度、計算累計失效率、預測其壽命.