摩擦不對稱耦合布朗馬達(dá)的定向輸運(yùn)*

張旭 曹佳慧 艾保全 高天附? 鄭志剛

1) (沈陽師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034)2) (華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院, 廣州 510006)3) (華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院, 廈門 361021)(2019年12月24日收到; 2020年3月9日收到修改稿)

本文研究了耦合布朗馬達(dá)在溶液摩擦對稱性破缺條件下的定向輸運(yùn)問題. 詳細(xì)討論了溶液阻尼系數(shù)比,周期外力以及耦合作用對布朗粒子定向輸運(yùn)的影響. 研究發(fā)現(xiàn): 溶液摩擦的不對稱性不僅能促進(jìn)摩擦棘輪的定向輸運(yùn), 且合適的溶液阻尼系數(shù)比還可以使耦合棘輪的定向輸運(yùn)達(dá)到最強(qiáng). 此外, 一定摩擦阻尼條件下外力振幅可以使耦合粒子的定向輸運(yùn)呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu). 研究還發(fā)現(xiàn)合適的自由長度和耦合強(qiáng)度也能增強(qiáng)摩擦棘輪的輸運(yùn)特性. 研究結(jié)果不僅能夠啟發(fā)實驗上選取合適的摩擦阻尼來優(yōu)化布朗馬達(dá)的輸運(yùn), 也可為信息容量大、反應(yīng)速度快的納米器件的制備提供一定的理論參考.

1 引 言

生物分子馬達(dá)廣泛存在于細(xì)胞內(nèi)部, 它們可將生物體內(nèi)部的化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能, 并利用細(xì)胞內(nèi)的自由能完成各種輸運(yùn)[1,2]. 例如, 細(xì)胞內(nèi)的Factin 馬達(dá)、肌球蛋白馬達(dá)、交聯(lián)蛋白等它們能夠產(chǎn)生機(jī)械運(yùn)動[3], 而動力蛋白和驅(qū)動蛋白還能拖動囊泡進(jìn)行步進(jìn)并完成細(xì)胞內(nèi)的貨物運(yùn)輸[4]. 生物分子馬達(dá)的這種定向運(yùn)動對于細(xì)胞內(nèi)的物質(zhì)運(yùn)輸起著非常重要的作用. 為了深入研究分子馬達(dá)的運(yùn)動機(jī)制, 人們建立了搖擺棘輪[5?8], 閃爍棘輪[9?12]等大量棘輪模型[13]. 通過研究各類棘輪不僅能夠深入理解布朗粒子的定向運(yùn)動行為[14], 找到其定向輸運(yùn)的優(yōu)化條件[15], 研究結(jié)果還可應(yīng)用于制備納米器件等領(lǐng)域.

目前, 關(guān)于布朗棘輪定向輸運(yùn)的研究已引起人們廣泛的興趣[16?19]. 如Hojo 等[20]通過研究由氣泡狀中心束縛力驅(qū)動的布朗馬達(dá), 發(fā)現(xiàn)驅(qū)動力作用下的馬達(dá)輸運(yùn)會優(yōu)于通常單分子馬達(dá)的輸運(yùn)行為.此外, Pattanayak 等[21]在理論上研究了周期性障礙陣列作用下布朗粒子的輸運(yùn), 發(fā)現(xiàn)障礙物陣列的周期性分布能促進(jìn)棘輪的定向輸運(yùn). 同時, Yan 等[22]還研究了反饋脈沖棘輪模型, 結(jié)果表明粒子間的自由長度和耦合強(qiáng)度都能促進(jìn)棘輪的定向輸運(yùn). 然而, 上述各類棘輪的研究中大都考慮的是單位阻尼條件下布朗粒子的運(yùn)動情況. 由于生物體內(nèi)細(xì)胞液的濃度、雜質(zhì)等都會影響溶液的實際環(huán)境[23?25], 因此分子馬達(dá)受到的介質(zhì)阻尼通常是變化的. 此外,大量實驗研究已表明布朗馬達(dá)的運(yùn)動都是通過耦合相互作用拖動負(fù)載并進(jìn)行集體定向步進(jìn)的[26?28].由此可見, 研究溶液阻尼對耦合布朗粒子運(yùn)動的影響更具實際意義. 因此將對不同摩擦阻尼條件下耦合布朗粒子的定向輸運(yùn)展開詳細(xì)討論. 通過對不同摩擦阻尼影響的研究, 不僅能深入理解以集體協(xié)作形式步進(jìn)的布朗馬達(dá)的定向輸運(yùn)特性, 而且對于研究摩擦對稱性破缺情況下分子馬達(dá)的能量轉(zhuǎn)化也具有一定的實驗啟發(fā).

迄今為止, 關(guān)于溶液阻尼對布朗馬達(dá)定向輸運(yùn)影響的研究理論上雖有涉及[29], 但并不深入. 如von Gehlen 等[30]通過研究無負(fù)載作用下摩擦對稱性破缺溶液環(huán)境中棘輪的輸運(yùn), 結(jié)果發(fā)現(xiàn)一定條件下的溶液阻尼會減小棘輪的定向輸運(yùn), 且通過選擇合適的阻尼還能誘導(dǎo)粒子的流反轉(zhuǎn). 此外,Saikia 和Mahato[31]還研究了空間關(guān)聯(lián)摩擦棘輪的輸運(yùn)行為, 結(jié)果表明只有在小阻尼條件下布朗粒子才能產(chǎn)生定向運(yùn)動. 然而, 對于復(fù)雜細(xì)胞溶液環(huán)境中布朗粒子拖動負(fù)載時的定向輸運(yùn)問題仍少有研究. 為了在理論上提高不同摩擦阻尼條件下耦合布朗馬達(dá)拖動負(fù)載時的定向輸運(yùn)能力, 深入研究了介質(zhì)阻尼對反饋耦合布朗粒子定向運(yùn)動的影響.

本文通過建立過阻尼摩擦棘輪模型, 研究了阻尼系數(shù)比、耦合強(qiáng)度和外力振幅等對耦合布朗棘輪定向輸運(yùn)的影響. 研究發(fā)現(xiàn)溶液阻尼并不總是阻礙棘輪的定向輸運(yùn), 合適的阻尼條件還能使棘輪的定向輸運(yùn)達(dá)到最強(qiáng). 此外, 研究還發(fā)現(xiàn)阻尼一定時存在多個外力振幅能使摩擦棘輪的定向輸運(yùn)達(dá)到極值, 且合適的外力振幅也可以使棘輪的輸運(yùn)達(dá)到最強(qiáng). 所得結(jié)果可用于研究納米尺度下分子馬達(dá)的可控制備, 以實現(xiàn)馬達(dá)做功及能量轉(zhuǎn)換等工作.

2 過阻尼摩擦棘輪模型

主要研究摩擦對稱性破缺條件下耦合布朗馬達(dá)在拖動負(fù)載時的運(yùn)動情況, 其動力學(xué)行為可由無量綱化的過阻尼朗之萬方程描述[32]:

其中t為時間, 兩個耦合布朗粒子的位置分別為x1(t),x2(t).γi(i=1,2)為第i個粒子的阻尼系數(shù),α=γ2/γ1為兩個粒子的溶液阻尼系數(shù)之比, 反應(yīng)的是摩擦阻尼的不對稱度. 模型中兩個耦合粒子的摩擦系數(shù)通常是不同的, 即摩擦不對稱. 此外,雖然方程(1)中兩個粒子的摩擦系數(shù)γi即不依賴于時間也不依賴于空間, 但是由于馬達(dá)兩個頭部的大小不同, 也會造成粒子受到的摩擦力不等, 因此會導(dǎo)致馬達(dá)的摩擦對稱性破缺. 由于耦合粒子摩擦對稱性的破缺會導(dǎo)致一個粒子運(yùn)動快, 另一個粒子運(yùn)動慢. 因此, 即使在對稱勢中耦合棘輪也能夠產(chǎn)生定向流. 下文通過調(diào)節(jié)摩擦阻尼系數(shù)比α來改變耦合棘輪摩擦的不對稱性, 從而研究摩擦棘輪的定向輸運(yùn)行為. 此外, 方程中F(t) 為時變外力,λ為負(fù)載,D為熱噪聲強(qiáng)度, 滿足關(guān)系D=kBT,kB為玻爾茲曼常量,T為溶液環(huán)境溫度.ξi(t) 為高斯白噪聲, 滿足如下統(tǒng)計關(guān)系:

方程(1)中外勢U(x1,x2;l) 的具體形式為

其中耦合粒子受到的棘輪勢Vp(xi) 為

L為棘輪勢的周期長度. 同時兩個粒子還將受到耦合 相互作用Vin(x1,x2;l) , 其表達(dá)式為

圖1 摩擦對稱性破缺耦合粒子的模型示意圖Fig. 1. Coupling particles model with broken friction symmetry.

式中,k為耦合強(qiáng)度,l為彈簧自由長度, 其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 所示. 圖1 中曲線代表棘輪勢Vp, 黑色與灰色兩個球分別代表耦合粒子x1和x2, 球的顏色代表粒子受到的不同摩擦力. 兩個耦合粒子的相互作用通過彈簧來實現(xiàn). A, B 兩組圖分別表示棘輪勢Vp處于不同的相位, A 組表示耦合粒子處于壓縮狀態(tài), B 組則表示耦合粒子處于伸長狀態(tài). 圖1中第1 行表示棘輪勢Vp存在時, 耦合粒子分別處于壓縮和拉伸狀態(tài); 第2 行表示棘輪勢Vp消失瞬間耦合粒子所處的狀態(tài); 第3 行表示棘輪勢Vp消失后, 兩個耦合粒子恢復(fù)到原長狀態(tài). 彈簧回到原長的趨勢能夠促使耦合粒子運(yùn)動. 由于粒子x2受到的摩擦力通常小于粒子x1(α<1.0 ), 所以粒子x2的運(yùn)動會快于粒子x1, 進(jìn)而耦合棘輪能夠形成定向輸運(yùn).

此外, (4)式中β為一個重要控制參量, 其具體形 式為

其中

表示耦合粒子受到棘輪勢的平均作用. 同時, 摩擦棘 輪還將受到時變外力F(t) 的作用, 其表述為

其中A為外力振幅,ω為圓頻率, 外驅(qū)動力的周期τ=2π/ω.

為了研究負(fù)載作用下不同摩擦阻尼對耦合棘輪定向輸運(yùn)的影響, 采用質(zhì)心平均速度描述耦合棘輪的定向輸運(yùn)行為, 其具體表示為

其中τ為周期時間,n為周期數(shù),t0為初始時刻,nτ表示耦合粒子的演化時間,表示系綜平均,表示第i個布朗粒子的平均速度.

采用二階龍格-庫塔算法對方程(1)式進(jìn)行數(shù)值計算, 研究耦合布朗粒子拖動負(fù)載時的輸運(yùn)特性隨棘輪各參量的變化. 為了得到穩(wěn)定的系綜平均值, 模擬了 1500個軌道, 每個軌道演化 2000個周期,時間步長取h=1×10?3. 文中所有物理量均采用無量綱化參量, 無特殊說明參量取L=1.0 ,ω=π.

3 結(jié)果與討論

3.1 彈簧自由長度l 的影響

為了研究摩擦棘輪的定向輸運(yùn)特性, 深入討論了負(fù)載作用下摩擦對稱性破缺棘輪的輸運(yùn)隨各參量變化的行為. 首先, 不同熱噪聲D條件下, 耦合粒子的質(zhì)心平均速度隨彈簧自由長度l的變化關(guān)系如圖2 所示. 由于外勢U(x1,x2;l) 具有平移不變性,即U(x1,x2;l)=U(x1+nL,x2+mL;l ?nL+mL) ,n,m ∈Z, 且外勢還滿足反演對稱性, 即U(x1,x2;l)=U(?x1,?x2;?l). 因此耦合粒子的平均速度隨自由長度的變化具有周期性. 這與von Gehlen 等[30]研究棘輪輸運(yùn)時得到的結(jié)論類似. 為方便起見, 僅研究一個演化周期內(nèi)耦合粒子的輸運(yùn)隨彈簧自由長度的變化情況. 圖2 所示的研究結(jié)果表明, 在一個演化周期內(nèi)耦合粒子的質(zhì)心平均速度隨自由長度l的變化會出現(xiàn)極值. 如, 當(dāng)l=1.0時耦合粒子在一個演化周期內(nèi)彈簧自由長度最長, 此時粒子間的相互作用最弱, 所以耦合布朗粒子容易跨越勢壘形成定向運(yùn)動. 然而, 在一個演化周期內(nèi)還存在某一個特定的彈簧自由長度使耦合粒子的定向輸運(yùn)達(dá)到最小, 類似的分析可知由于此時粒子間的相互作用最強(qiáng), 使得耦合布朗粒子很難跨越勢壘形成定向運(yùn)動. 由此可見, 通過選取合適的彈簧自由長度可以增強(qiáng)棘輪的輸運(yùn). 此外, 研究還發(fā)現(xiàn)隨著熱噪聲D的增加, 耦合粒子的輸運(yùn)也會增強(qiáng),說明一定強(qiáng)度的熱噪聲也能增強(qiáng)耦合棘輪的定向輸運(yùn).

圖2 耦合粒子的平均速度 v 隨彈簧自由長度l 的變化曲線, 其中g(shù)1 = 5.0, k = 20.0, a = 0.3, A = 1.0, l = 0.1Fig. 2. The average velocity v of coupled particles varying with the free length l, where γ 1 =5.0 , k =20.0 ,α=0.3 , A =1.0 , λ =0.1 .

3.2 耦合強(qiáng)度k 的影響

通過上文研究已知粒子間的耦合對于棘輪的輸運(yùn)會產(chǎn)生一定影響, 接下來研究了不同外力振幅A作用下耦合強(qiáng)度k對棘輪平均速度的影響,如圖3 所示. 研究結(jié)果表明, 在小外力振幅條件下,如A=4時, 隨著k的增加, 耦合粒子的幾率流單調(diào)增加. 然而, 隨著外力振幅逐漸變大, 如A>4時, 發(fā)現(xiàn)在弱耦合條件下粒子的幾率流隨k的增加呈非單調(diào)的變化關(guān)系, 也就是說耦合粒子的定向輸運(yùn)能夠產(chǎn)生極值. 有趣的是在較大外力振幅作用下, 如時, 耦合粒子的幾率流會由單峰變成雙峰結(jié)構(gòu), 如圖3 插圖所示. 產(chǎn)生極值的原因主要是由于簡諧力與弱耦合作用的相互競爭與協(xié)作導(dǎo)致. 由圖3 還可以發(fā)現(xiàn)在振幅時, 耦合粒子幾率流隨k變化的曲線都存在峰值, 且隨著外力振幅的增加, 曲線峰值對應(yīng)的優(yōu)化耦合強(qiáng)度kopt也隨之增大. 然而, 隨著A的增大各曲線對應(yīng)的優(yōu)化耦合強(qiáng)度的間隔 ?kopt卻越來越小, 因此對于不同A值的曲線能夠產(chǎn)生交叉現(xiàn)象. 然而隨著耦合強(qiáng)度的繼續(xù)增大, 即耦合粒子的平均速度逐漸增加并趨于穩(wěn)定值. 這是因為隨著耦合作用的不斷增強(qiáng), 其他外力很難與耦合作用進(jìn)行競爭, 因此耦合粒子的輸運(yùn)最終會趨于穩(wěn)定. 由此可見, 在一定外力振幅條件下, 通過選擇一個或多個合適的耦合強(qiáng)度能夠增強(qiáng)布朗粒子的定向輸運(yùn). 此外, 還發(fā)現(xiàn)隨著外力振幅A的增加, 耦合棘輪的幾率流整體減小, 這說明較大的外力振幅對耦合棘輪的定向輸運(yùn)還會產(chǎn)生抑制作用. 同時, 圖3 中外力振幅較大時曲線出現(xiàn)的交叉現(xiàn)象說明外力振幅對耦合棘輪幾率流的影響并不是單調(diào)的, 所以下文將進(jìn)一步討論外力振幅對耦合棘輪定向輸運(yùn)的影響.

圖3 耦合粒子的平均速度 v 隨耦合強(qiáng)度k 的變化曲線,插圖為A =20.0時的變化曲線, 其中 γ 1 =5.0 , l =0.25 ,α=0.3 , D =0.35 , λ=0.1Fig. 3. The average velocity v of coupled particles varying with the strength of coupling k, the insert figure described the average velocity curve when A =20.0 , where γ1 =5.0 , l =0.25 , α =0.3 , D =0.35 , λ =0.1 .

3.3 外力振幅A 的影響

圖4 耦合粒子的平均速 度 v 隨外力振幅A 的變化曲線, 其中g(shù)1 = 5.0, l = 0.25, k = 20.0, D = 0.35, l = 0.1Fig. 4. The average velocity v of coupled particles varying with the amplitude A of external force, where γ 1 =5.0 ,l =0.25 , k =20.0 , D =0.35 , λ =0.1 .

圖3 的研究結(jié)果已表明外力振幅A對棘輪的輸運(yùn)能夠產(chǎn)生抑制作用, 且棘輪的輸運(yùn)隨振幅的變化關(guān)系并不是單調(diào)的. 為了深入研究外力振幅對摩擦棘輪輸運(yùn)的影響, 還詳細(xì)討論了不同摩擦阻尼系數(shù)比α條件下的幾率流隨A的變化關(guān)系. 由圖4 可知, 隨著外力振幅A的增加耦合粒子幾率流的變化曲線呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu), 且在較大的外力振幅條件下, 如A>30時, 曲線逐漸變得平緩并最終趨于穩(wěn)定. 產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因可由棘輪受到外力作用的分析得到, 即在一定振幅條件下, 如A<30 , 此時簡諧力會與摩擦阻尼, 耦合作用等其他外力相互協(xié)作與競爭, 隨著振幅A的增加, 耦合粒子受到的簡諧力逐漸增大, 從而棘輪產(chǎn)生的幾率流會逐漸變大.由于幾率流的增加會導(dǎo)致耦合粒子受到的黏滯阻尼隨之增大. 此外, 由于黏滯阻力還會阻礙耦合粒子的定向運(yùn)動, 因此當(dāng)黏滯阻力增大到一定程度時, 耦合棘輪的幾率流將會減小, 而減小的幾率流又將導(dǎo)致耦合粒子受到的黏滯阻力減小. 當(dāng)溶液的黏滯阻力減小時耦合粒子的定向輸運(yùn)會再次增強(qiáng).因此耦合粒子幾率流隨外力振幅A的變化曲線能夠呈現(xiàn)多個極值. 然而, 隨著A的繼續(xù)增加, 簡諧力逐漸變大, 此時耦合粒子受到的主要外力為F(t) ,而其他外力很難再與簡諧力競爭, 因此曲線的波動逐漸變小, 進(jìn)而摩擦棘輪的幾率流會變得更加平緩. 上述結(jié)果表明, 在一定條件下存在多個合適的外力振幅使摩擦棘輪的質(zhì)心平均速度達(dá)到極值.此外研究還發(fā)現(xiàn), 隨著摩擦阻尼系數(shù)比α的增加,摩擦棘輪的輸運(yùn)整體減小, 說明摩擦阻尼對摩擦棘輪的輸運(yùn)也有一定抑制作用. 由此可知, 通過選取合適的外偏置力振幅及溶液阻尼系數(shù)比也能增強(qiáng)摩擦棘輪的定向輸運(yùn). 關(guān)于摩擦阻尼對耦合粒子定向輸運(yùn)的影響將在下文進(jìn)行詳細(xì)討論.

3.4 摩擦阻尼系數(shù)比 α 的影響

為了進(jìn)一步研究溶液阻尼對摩擦棘輪定向輸運(yùn)的影響, 研究了耦合粒子的幾率流隨溶液阻尼系數(shù)比α=γ2/γ1的變化關(guān)系. 由圖5 可得, 隨著阻尼系數(shù)比的增加, 耦合粒子的定向輸運(yùn)整體減小. 產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因主要是隨著α的增加, 將導(dǎo)致γ2增加(γ1是常數(shù)). 這就意味著α越大, 粒子2 受到溶液的摩擦阻尼也越大, 因此耦合粒子的幾率流會整體變小. 然而, 在一定條件下, 如小負(fù)載條件λ<0.54 , 曲線存在兩個不明顯的拐點. 隨著負(fù)載λ的繼續(xù)增加, 如曲線能夠產(chǎn)生兩個明顯的峰值, 圖5 中插圖僅給出λ=0.6時的速度變化曲線. 產(chǎn)生上述峰值現(xiàn)象的原因主要是由于負(fù)載較小時, 負(fù)載與阻尼的競爭較弱, 隨著負(fù)載逐漸變大,如時負(fù)載與阻尼的競爭變強(qiáng), 因而速度曲線的變化會由兩個不明顯的拐點逐漸變成明顯的波峰. 由此可見, 在一定負(fù)載條件下通過選取合適的摩擦阻尼系數(shù)比也能夠增強(qiáng)摩擦棘輪的定向輸運(yùn).

圖5 耦合粒子的平均速度 v 隨摩擦阻尼系數(shù)比 α 的變化曲線, 插圖為 λ =0.6時 的變化曲線, 其中 γ 1 =5.0 ,k =20.0 , l =0.25 , A =20.0 , D =0.35Fig. 5. The average velocity v of coupled particles varying with the frictional damping coefficient ratio α , the insert figure described the average velocity curve when λ=0.6 , where γ 1 =5.0 , k =20.0 , l =0.25 , A =20.0 ,D =0.35.

4 結(jié) 論

本文主要研究了摩擦對稱性破缺條件下耦合布朗粒子的定向輸運(yùn)行為, 同時耦合粒子還會受到外勢的反饋作用. 詳細(xì)討論了摩擦阻尼系數(shù)比、彈簧自由長度、耦合強(qiáng)度以及外力振幅對耦合布朗棘輪定向輸運(yùn)的影響. 研究發(fā)現(xiàn), 一定的自由長度和耦合強(qiáng)度都可以促進(jìn)棘輪的定向輸運(yùn). 同時, 有趣地發(fā)現(xiàn)在一定條件下摩擦阻尼并不總是阻礙布朗粒子的定向輸運(yùn), 合適的摩擦阻尼系數(shù)比還可增強(qiáng)摩擦棘輪的定向輸運(yùn)特性. 此外, 研究還發(fā)現(xiàn)當(dāng)摩擦阻尼一定時, 耦合粒子的輸運(yùn)隨外力振幅的變化呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu), 即存在多個外力振幅能使耦合粒子的質(zhì)心平均速度達(dá)到極值, 這也意味著合適的外力振幅可以使摩擦棘輪的定向輸運(yùn)達(dá)到最強(qiáng). 所得結(jié)論不僅可應(yīng)用于研究ATP 合成、信號傳導(dǎo)等生命活動方面, 還可為微觀尺度下納米器件的研制提供一定的理論指導(dǎo).