4-R（2-SS）并聯機器人機構積分指數自適應滑模控制研究

王 哲，高國琴

（江蘇大學 電氣信息工程學院，鎮江212013）

近年來，我國的水果產量增長迅猛，傳統人工分揀方法已很難滿足現代農業生產的需求。通常水果自動分揀操作中需要機械手可實現SCARA 運動。目前在可實現SCARA 運動的分揀操作中多采用Delta 機械手添加可伸縮轉軸UPU 支鏈的方式。然而，UPU 支鏈長期處在工作空間邊緣時磨損較嚴重，影響機械手壽命和控制精度。故在此研制了一款4-R（2-SS）并聯機器人，以實現可靠、高效的水果分揀。該機構可實現SCARA 運動，具有剛度大、精度高、承載能力強，分揀效率高等優勢。為實現4-R（2-SS）——R 為旋轉副、S 為球副——并聯機器人機構的運動學高性能控制，將研究解決2 個關鍵問題：①支路間耦合問題；②克服系統不確定性問題。

1 關鍵問題研究

通常，運動學控制假定并聯機器人支路間是獨立無耦合的，然而并聯機器人的閉鏈結構特點導致其關節空間各驅動關節間存在慣量耦合的動力學特性，這將會限制或降低并聯機器人系統控制精度和產生不希望的輸出[1]。其次，由于4-R（2-SS）并聯機器人機構系統是一種復雜的非線性系統，難以實時精確得到各支路驅動關節等效慣量，并且實際控制中并聯機器人系統存在外部擾動等。這些不確定因素也嚴重影響著并聯機構的控制性能，因此需要提高并聯機器人系統克服系統不確定性的能力。

目前，針對并聯機器人各支路所設計的自適應控制[2]、魯棒控制[3]等先進控制器，通過將各通道之間的耦合作為外干擾從而進行抑制或補償，通常作用有限，難以有效補償耦合作用。故在此通過建立關節空間動力學模型，求得各支路驅動關節包含耦合慣量的等效慣量，以能夠在運動學控制中補償各支路間耦合作用。

滑模控制被認為是一種設計非線性不確定系統魯棒控制器的有效方法。針對滑模控制存在的抖振問題，相關學者提出了很多方法，如高階滑模方法[4]、終端滑模方法[5]等，然而這些方法仍需根據系統不確定性的先驗信息進行切換增益設計；文獻[6]針對電控氣動執行器系統，提出了類似于“邊界層”的積分自適應滑模控制IG-ASMC 方案，但該方法仍存在切換增益過估計問題。為此而設計了積分指數自適應律算法，在無需系統不確定性邊界的先驗信息下，有效抑制滑模控制抖振，以提高4-R（2-SS）并聯機器人控制性能。

2 4-R（2-SS）并聯機器人機構動力學分析

2.1 機構簡述

4-R（2-SS）并聯機器人由4-R（2-SS）并聯機器人機構和夾持機構組成，其實物如圖1所示。

圖1 4-R（2-SS）并聯機器人實物Fig.1 Physical figure of 4-R（2-SS） parallel robot

4-R（2-SS）并聯機器人機構包括靜平臺、動平臺以及4 組正交布置的R-（2-SS）支鏈。為減小運動部件質量，主動臂和從動臂主要由碳纖維材料制作而成，動平臺主要使用鋁合金材料制成。動平臺由主平臺和輔平臺構成，主平臺和輔平臺通過轉動機構連接，轉動機構包括固接于輔平臺上的螺母和通過軸承轉動連接在主平臺上的絲杠。

2.2 運動學分析

為便于運動學分析，可將4-R（2-SS）并聯機器人機構簡化為如圖2所示的等效機構。

圖2 4-R（2-SS）并聯機器人機構運動學簡圖Fig.2 Kinematic schematic of 4-R（2-SS） parallel robot mechanism

選取靜平臺中點建立參考坐標系O-xyz，在該坐標系下將主平臺視為質點P1，輔平臺視為質點P2，則動平臺主（輔）上的點P1（P2）的位置矢量r 為

其中

式中：s 為點P1到點P2距離；e 為靜平臺中心到主動臂轉軸的距離；l1，l2，ui，wi分別為支路i 主動臂和從動臂的桿長、單位矢量；θi為主動臂i 的轉角。根據機構的裝配模式，可得運動學逆解方程為

其中

將式（1）等式兩邊分別對時間求導，整理可得

其中

式中：Jθ為直接雅克比矩陣；Jx為間接雅克比矩陣；J 為雅克比矩陣。

將式（5）關于時間求導，可得加速度模型為

其中

2.3 動力學分析

為建立4-R（2-SS）并聯機器人機構動力學模型，作出假設：①運動副無因摩擦引起的能量耗散；②因從動臂為輕桿，忽略其轉動慣量，而將其質量按1∶2分比號配到動平臺和主動臂。

根據虛功原理，可得

式中：τ 為主動關節的驅動轉矩；τAg為主動臂對其轉軸的重力矩；IA為主動臂等效至其轉軸的轉動慣量；IS為動平臺轉動絲杠及負載對其轉軸的轉動慣量；為動平臺轉動絲杠角加速度。

將δθ=Jδr 和δθS=（2π/p）δs（式中p 為絲杠螺距）代入式（8），整理為關節空間動力學模型，可得

對于4-R（2-SS）并聯機器人機構，M（θ）為44的對稱正定矩陣，稱為慣量矩陣。若不考慮各支路間的耦合作用，則各驅動關節上的等效慣量參數即為慣量矩陣中相應主對角元素。耦合作用的強弱可通過慣量矩陣對角占優特性描述，其定義為：若矩陣的每個主對角元素的模都大于該行其它元素的模之和，則稱該矩陣“嚴格對角占優”。

2.4 慣量矩陣耦合分析

文獻[7]采用“關節反映慣量”JRI（joint-reflectedinertia）的概念，解決并聯機器人的慣量匹配問題，但它未考慮支路間的耦合作用。故在此定義慣量矩陣對角占優特性指標DDI（diagonally dominant index）為

可得

式中：tr（M）為慣量矩陣的跡。

2.5 等效慣量參數計算

將式（9）中的慣量矩陣展開，可得

式中：τa為驅動轉矩中的慣量項，有

使得

結合式（12），可以得到

綜上，可得驅動關節等效慣量為

式中：λi為慣量矩陣的特征值。從而施加在電機軸上的電機等效負載慣量為

3 控制器設計

3.1 自適應律設計

3.1.1 假設

考慮不確定非線性系統

式中：x∈χ 為系統狀態向量；χ?Rn為包含原點的領域；u∈R 為控制輸入；f（x）與g（x）為包含參數不確定與外界擾動的光滑函數。控制目標為迫使滑模變量s 有限時間到達零的領域附近。假設s 相對于控制輸入u 的相對階為1。因此

3.1.2 自適應律設計

對于非線性不確定系統（19），其滑模變量如式（20）所示。將定義的反饋控制律u（t）=-K（t）sgn（s）代入式（20），可得

式中：sgn 為符號函數；K 為切換增益。為克服現有自適應律存在的缺點，設計了新型積分指數自適應律，即

式中：α＞0，ε＞0，β＞0，μ＞0，γ 為正整數。當β=0，該自適應律簡化為如文獻[6]所提出的積分自適應律。

3.2 自適應滑模控制器設計

所設計的4-R（2-SS）并聯機器人機構運動控制的原理如圖3所示。

以各支路交流伺服驅動電機和驅動器為被控對象，建立并聯機器人單支路數學模型[3]，即

其中

圖3 4-R（2-SS）并聯機器人機構運動控制原理Fig.3 Motion control principle of 4-R（2-SS）parallel robot mechanism

式中：x 為系統狀態變量；u，y 分別為系統輸入、輸出；d（t）為外部干擾。考慮f（x）=（x）+（x），g（x）=（x）+（x），其中（x）和（x），（x）和（x）分別為f（x）和g（x）的名義值、相應不確定值。則單支路控制系統基于等效控制的滑模控制輸入設計如下：

設計滑模變量s 為

其中

式中：c1，c2為可調參數，且滿足霍爾伍茲穩定條件。可得

其中

式中ρ（t）為集總不確定項。則滑模變量動態方程為

控制律u 為

當s˙=0 時，可推導出ueq為

將式（28）代入式（26），可得

綜上，總的控制律為

3.3 穩定性證明

所設計的ASMC 存在補償階段與趨近階段。

1）補償階段 對于切換增益K＜（ψsgn（s）/Γ），有

由式（21）（31），可得

對于任何t≥t*，如果再次出現（ψsgn（s）/Γ）＞K，K 將再一次補償ψsgn（s）/Γ，因此總是存在t*≥0。由于滑模變量s 滿足＞ε，因此（t）仍保持增加，不失一般性，存在к＞0 和δt＞0。對于t≥t*+δt

2）趨近階段 補償階段結束后，系統軌跡進入趨近階段。構造Lyapunov 函數為V=s2，對于所有t≥t*+δt，有

即

對式（37）不等式兩邊在t*+δt 和t≥t*+δt 間進行積分，可得在有限時間內收斂到領域≤ε。

4 仿真試驗及結果分析

為驗證所設計積分指數自適應滑模控制算法和驅動關節等效慣量參數計算方法的正確性與有效性，在4-R（2-SS）并聯機器人工作空間中選取一段門子形測試軌跡，根據動力學模型分別得到相應包含耦合慣量的與未包含耦合慣量的電機慣量參數J′DDI與J′JRI（電機轉子慣量J 與相應電機等效負載慣量之和）。在此基礎上取其平均值和進行自適應滑模控制器設計。其過程如下：

1）分別對所設計的積分指數自適應滑模控制IEG-ASMC 方法、文獻[6]中IG-ASMC 方法及切換增益恒定的滑模控制（SMC）方法，在如圖4給定期望軌跡下，以作為電機慣量參數及為自適應滑模控制設計參數，外部擾動d（t）=6000 cos（2πt）進行仿真。圖中，機構的4 個自由度分別為x，y，z 方向的平動，以及繞z 軸方向的轉動（s 方向）。

圖4 末端執行器位姿各分量期望軌跡Fig.4 Desired trajectory of the end effector

根據電機模型參數和伺服驅動器，設置式（23）中參數為Rph=18 Ω，Kpi=15，Kii=1，LD=0.0525 H，KT=1.25 N·m/A，aT=0.1，Kpv=0.08，KE=1.215。自適應滑模控制器參數為c1=2500，c2=100，α=0.01；ε＝（x）KTe。其中仿真步長Te=0.001，β=1.5，μ=0.01，γ=1。仿真結果圖5所示。

圖5 積分指數自適應滑模驗證Fig.5 Verification of integral index adaptive sliding mode

由圖可見，所提出的IEG-ASMC 方法在保證良好的跟蹤性能下，可以有效削弱滑模控制的抖振問題。

圖6 機構慣量特性Fig.6 Inertia characteristics of mechanism

驅動關節等效慣量的驗證如圖7所示。由圖可見，所提出的考慮支路間耦合的驅動關節等效慣量計算方法，由于有效地計入了支路間的耦合作用，使得系統具有更高的跟蹤精度。

圖7 驅動關節等效慣量驗證Fig.7 Verification of equivalent inertia of driving joint

5 試驗

為進一步驗證所提出的積分指數自適應控制方法和驅動關節等效慣量參數計算方法的正確性與有效性，將該算法應用于4-R（2-SS）并聯機器人樣機進行試驗。4-R（2-SS）并聯機器人樣機系統如圖8所示，主要由上位——PC，下位機——UMAC 多軸運動控制器組成。

圖8 4-R（2-SS）并聯機器人樣機Fig.8 Prototype of 4-R（2-SS）parallel robot

將所設計的考慮支路間耦合的IEG-ASMC 與IG-ASMC，SMC 以及不考慮支路間耦合的IEGASMC 進行對比試驗。支路電機跟蹤誤差曲線如圖9所示。

圖9 支路1 電機跟蹤誤差Fig.9 Tracking error of branch 1 motor

試驗結果進一步驗證了本文所提出的方法，能夠克服支路間耦合作用和系統不確定性作用，提高4-R（2-SS）并聯機器人控制性能。

6 結語

以所研發的4-R（2-SS）并聯機器人機構為被控對象，著重研究了支路間存在的耦合問題，以及提高并聯機器人系統在無需系統不確定性邊界的先驗信息條件下克服系統不確定性能力。為此，在關節空間動力學模型分析的基礎上，研究了考慮支路間耦合的驅動關節等效慣量計算方法。針對4-R（2-SS）并聯機器人機構控制系統中存在的不確定性問題，在無需系統不確定性邊界的先驗信息條件下克服系統不確定性能力，同時有效地抑制滑模控制抖振。