高考輪次復(fù)習(xí)重塑和提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

鄭 琦

（福建省福清第一中學(xué)，福建福清 350300）

引 言

數(shù)學(xué)能力即邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、分析和解決問題的能力，包括具有學(xué)科交點(diǎn)的“數(shù)學(xué)能力”和反映學(xué)生綜合素質(zhì)的“學(xué)習(xí)潛力”[1]。數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求學(xué)生解題時目標(biāo)準(zhǔn)確、方法有效，有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)記憶力，以保證熟練地運(yùn)用概念、公式、定理和方法技巧簡潔且迅速地答題，并對結(jié)果的正確性有一定的檢驗(yàn)?zāi)芰Α８呖驾喆螐?fù)習(xí)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的重塑和提升，必須注重運(yùn)算基本功和技能形成過程，強(qiáng)調(diào)解題的規(guī)范性和數(shù)學(xué)語言的邏輯性，不因解答不規(guī)范、運(yùn)算出錯影響邏輯推理過程，從而改變思路導(dǎo)致失分。

【重塑和提升運(yùn)算能力例析】近年來，高考對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了與邏輯思維能力、空間想象能力、幾何圖形的結(jié)合，并在思維與運(yùn)算的交匯處考查學(xué)生運(yùn)算能力。因此，在高考輪次復(fù)習(xí)中，教師要對學(xué)生從運(yùn)算基本能力、基本技巧和驗(yàn)證能力三大方面進(jìn)行修復(fù)和重塑。其中，運(yùn)算基本能力包括移項(xiàng)、通分、因式分解 、代入消元法和配方法等；運(yùn)算基本技巧包括換元法、配湊法、放縮法、中間量法、分離變量法、分離常數(shù)法、估值法、消參法等；運(yùn)算驗(yàn)證能力，包括對元素互異性、極值點(diǎn)參數(shù)值、離心率范圍、直線和圓錐曲線有交點(diǎn)的情況等進(jìn)行驗(yàn)證[2]。從計(jì)算關(guān)再結(jié)合知識關(guān)、思想方法關(guān)的角度來審視高考常見計(jì)算基礎(chǔ)專題題型，它有以下設(shè)計(jì)亮點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)亮點(diǎn)1】求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式題型，一般是利用函數(shù)單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化成具體不等式求解。遇到分段函數(shù)，“對段入則”，可結(jié)合分段函數(shù)圖像減少分類討論量和計(jì)算量。

解析：方法一，

即為2-(x+1)＜2-2x，即-(x+1)＜-2x,解得x＜1.

因此，不等式的解集為(-∞，-1].

即1＜2-2x，解得x＜0.

因此，不等式的解集為(-1，0).

綜上，不等式f(x+1)＜f(2x)的解集為(-∞，0).

方法二，當(dāng)x≤0 時，函數(shù)f(x)=2-x是減函數(shù),

則f(x)≥f(0)=1.

作f(x)的大致圖像如圖1所示，

結(jié)合圖像可知，要使f(x+1)＜f(2x)，

即不等式f(x+1)＜f(2x)的解集為(-∞，0).

圖1 函數(shù)圖像

【設(shè)計(jì)亮點(diǎn)2】從全局化繁為簡到局部結(jié)構(gòu)處理，用一元二次函數(shù)部分圖像分類討論或分離參數(shù)法，再結(jié)合構(gòu)造法和求導(dǎo)法，化歸為求c與f(x)值域大小關(guān)系的問題，最后要注意等號問題。

例2：若函數(shù)f(x)=(x2-cx+5)ex在區(qū)間[，4]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_______.

解析：函數(shù)f(x)=(x2-cx+5)ex在區(qū)間[，4] 上單調(diào)遞增，則f'(x)=[x2+(2-c)x+(5-c)]ex≥0 在區(qū)間[，4] 上 恒成立，即x2+(2-c)x+(5-c)≥0 在區(qū)間[，4]上恒成立，即在區(qū)間[，4]上恒成立.

令g'(x)=0，則x=1，或x=-3；

當(dāng)x∈[，1)時，g'(x)＜0，g(x)為減函數(shù)；

當(dāng)x∈(1，4]時，g'(x)＞0，g(x)為增函數(shù).

故當(dāng)x=1 時，g(x)取最小值4，故c∈(-∞，4].

【設(shè)計(jì)亮點(diǎn)3】直接用兩角和差、正余弦、正切公式拆括號，涉及解方程組，計(jì)算量大。觀察發(fā)現(xiàn)，條件角和結(jié)論角存在特殊數(shù)量關(guān)系，結(jié)合整體法和誘導(dǎo)公式，拆分復(fù)合角，減少計(jì)算量。

例3：已知θ是第四象限角, 且sin(θ+)= 3 5，則tan(θ-)=為_______.

解析：θ是第四象限角，

【設(shè)計(jì)亮點(diǎn)4】在解三角形問題時滲透減元思想，運(yùn)用內(nèi)角和定理、正余弦定理減少三角函數(shù)名和角的個數(shù)。

例4：△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0，a=2，c=，則C=_______.

解析：△ABC中，A+B+C=π，

sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C).

因?yàn)閟inB+sinA(sinC-cosC)=0，

所以sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0，

sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0，

cosAsinC+sinAsinC=0.

因?yàn)閟inC＞0，

所以sinA+cosA=0，tanA=-1.

又因?yàn)锳∈(0，π)，所以

由正弦定理得

【設(shè)計(jì)亮點(diǎn)5】用公式法化同名或用換元法轉(zhuǎn)為一元二次函數(shù)型求復(fù)合三角函數(shù)的最小正周期、單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心和最值。

例5：函數(shù)y=2cos2x-1+2sinxcosx的單調(diào)遞減區(qū)間為______.

例6：函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域?yàn)開______.

解析：設(shè)t=sinx+cosx，

則sinxcosx=

y=t+t2-=(t+1)2-1.

當(dāng)t=時，y取最大值為

當(dāng)t=-1 時，y取最小值為-1.

【設(shè)計(jì)亮點(diǎn)6】解圓錐曲線最值問題可以采取的方法：一是幾何法，通過曲線定義、幾何性質(zhì)以及平幾定理、性質(zhì)等求解；二是代數(shù)法，把最值的幾何量表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，用求導(dǎo)法、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，不滿足“一正二定三相等”，則可適當(dāng)變形后用基本不等式求最值。

(1)求橢圓的方程；

(2)過點(diǎn)F1的直線和橢圓交于兩點(diǎn)A、B，求△F2AB面積的最大值.

(2)由(1)知F1(-1，0)，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2),

過點(diǎn)F1的直線方程為x=ky-1,

又因?yàn)閗2≥0，所以遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)k=0 時取得等號，所以△F2AB面積的最大值為3.

【設(shè)計(jì)亮點(diǎn)7】解析幾何中的定點(diǎn)和定值問題，借“設(shè)而不求”減少計(jì)算量。

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)P(4，0)，A、B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連接PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸相交于定點(diǎn).

解析：（1）橢圓C的方程為

(2)證明：由題意知，直線PB的斜率存在，設(shè)其為k，則直線PB的方程為y=k(x-4).

設(shè)點(diǎn)B(x1，y1)、E(x2，y2)，則A(x1，-y1)，

由于直線AE的方程為

所以令y=0，

①②代入上式可解得x=1，所以直線AE與x軸相交于定點(diǎn)(1，0)。

【設(shè)計(jì)亮點(diǎn)8】用構(gòu)造法構(gòu)造e 的方程或不等式求e 的值或取值范圍。

例9：(1) 已知F1、F2是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率=_______.

(2)已知直線l：y=kx+2 過橢圓的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，且被圓x2+y2=4 截得的弦長為h。若，則橢圓離心率e 的取值范圍是_______.

解析：(1)由題設(shè)可知∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，|F1F2|=2c，所以|PF2|=c，|PF1|=c。由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=2a，即c+c=2a，所以(+1)c=2a，故橢圓C的離心率

(2)依題意知b=2、kc=2，設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，解得。又因，所以，解得.于是，，所以

結(jié) 語

高考輪次復(fù)習(xí)要重視數(shù)學(xué)運(yùn)算中的常用運(yùn)算工具，如向量法（法則法、坐標(biāo)法）解決和解析立體幾何問題，構(gòu)造函數(shù)法、求導(dǎo)法和圖像法齊頭并進(jìn)解決函數(shù)零點(diǎn)和極值點(diǎn)問題，同時重視公式定理推導(dǎo)過程。這有助于修復(fù)和重塑學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，發(fā)現(xiàn)出題者的命題意圖，更好地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。