考慮微觀結構噪聲與測量誤差的波動率預測

趙 華，肖佳文

(廈門大學經濟學院，福建 廈門 361005)

1 引言

波動率是資產定價、投資組合和風險管理等研究主題中的核心變量。相對于低頻數據，日內高頻數據能夠更好地測度日波動率(Andersen和Bollerslev)[1]。隨著金融高頻數據越來越容易存儲與計算，估計、預測波動率的理論研究逐漸由以前的低頻數據方法轉向到日內高頻數據方法上。不過，基于高頻數據計算得到的波動率會受到金融資產收益率中微觀結構噪聲的影響。

在真實的金融市場中，有效市場假設難以成立。市場買賣價差與非連續報價等市場摩擦的存在會影響資產價格產生所謂的微觀結構噪聲。微觀結構噪聲的存在會使得觀測到的價格過程偏離真實價格過程(無摩擦的市場均衡價格過程)。此時資產價格不再服從簡單的連續半鞅過程。隨著日內收益率抽樣頻率的提升，微觀結構噪聲會帶來嚴重的偏誤使得已實現波動率不再是積分波動率的一致估計量[2-4]。因此在估計積分波動率時需要考慮微觀結構噪聲的影響。常用的噪聲穩健估計量包括Zhou估計量[5]、TSRV估計量[6]、已實現核估計量[7]、預平均估計量[8]等。由于微觀結構噪聲帶來的測量誤差變動反映了市場結構和市場參與者的行為，可能包含一些市場動態變化的有用信息，利用這些信息改進波動率預測已經成為波動率研究的新動向(Bollerslev等[9])。

由高頻數據得到的真實波動率已實現測度是基于非參數方法計算得出的“已實現波動率”。已實現波動率的概念最早由Merton[10]提出。Barndorff-Nielsen和Shephard[11]與Andersen等[12]研究提出的二次變差理論為已實現波動率建立了理論基礎。研究表明，當樣本量趨于無窮時，已實現波動率(Realized Volatility, RV)是二次變差的一致估計量。當價格跳躍與微觀結構噪聲不存在時，二次變差等于積分波動率(Integrated Volatility, IV)，此時已實現波動率為積分波動率的一致估計量。

隨后，大量的已實現波動率預測模型被提出。比較有代表性的是Corsi[13]提出的異質性自回歸已實現波動率(HAR-RV)模型。在HAR-RV模型的基礎上，人們對其進行修正并考慮其它因素對已實現波動率的影響。如Andersen等[14]考慮跳躍變差的HAR-RV-J模型與HAR-RV-CJ模型，他們發現跳躍對已實現波動率有顯著的影響。Corsi和Renò[15]考慮杠桿效應的LHAR-CJ模型，研究表明，引入杠桿效應能夠顯著提升模型預測效果，杠桿效應與波動率一樣存在長期依存。Patton和Sheppard[16]考慮已實現半方差與符號跳躍的HAR-RSV模型與HAR-RV-SJ模型，發現未來的波動率與負的已實現半方差有更強的關聯，價格中的負向跳躍通常會顯著擴大未來的波動率。

國內學者和國外學者的研究思路類似，也是在HAR-RV模型的基礎加入新的影響因素。王春峰等[17]對上證綜指已實現波動率進行了連續部分和跳躍部分的分解，并利用HAR-CJ模型進行實證分析，發現波動率可預測性的決定因素是二次變差中的連續部分。魏宇[18]對比了基于歷史波動率和基于已實現波動率的模型，發現基于已實現波動率的模型預測效果最佳，而學界業界通常使用的GARCH及其擴展預測能力較弱。趙華[19]將已實現極差方差進行了連續部分和跳躍部分的分解，并構造了LHAR-RRV-CJ模型，研究發現，中國股市有顯著的跳躍效應和杠桿效應，并且兩種效應對股市長短期波動率的影響是不同的。文鳳華等[20]考慮了市場中的杠桿效應并構造了LHAR-RV-V模型，在對滬深300指數的實證研究中發現杠桿效應能很好描述其非對稱性。唐勇[21]將波動率分解為連續方差、跳躍方差與微觀噪聲三部分并構造了新模型，發現新模型預測效果優于未考慮噪聲的模型。賀志芳等[22]將已實現極差變換成高頻和低頻兩個部分構造了HAR-HLT模型，發現股指波動率存在短期“動量效應”與中長期的“反轉效應”。唐勇與黃志剛[23]對多分形波動率進行了改進，在新模型中考慮了跳躍與杠桿效應。劉曉倩等[24]將表示隱含波動率的市場波動率指數作為影響因子引入新模型，發現考慮隱含波動率能夠提升模型預測能力。龔旭與林伯強[25]在模型中檢驗了跳躍風險和結構突變的影響，發現這兩個因素能夠顯著提高絕大多數HAR族模型的預測精度。

國內外文獻從不同方面、不同市場分析了已實現波動率的影響因素，在改進波動率預測方面起到了積極作用，但它們忽略了已實現波動率估計中測量誤差的影響。根據二次變差理論，當采樣頻率趨于零時，已實現方差是真實波動率的一致估計量，但是現實中的一個問題就是采樣頻率不可能趨于零，因此真實波動率的估計中不可避免地會存在測量誤差[11]，以往絕大多數的研究都簡單地假設測量誤差為一常數，但這一假定并不符合實際，因此，在建模過程中引入測量誤差的影響就顯得尤其必要。Bollerslev等[9]在HAR模型中加入測量誤差因素，提出了HARQ模型，討論了測量誤差對已實現波動率預測的作用。HARQ模型的理論假定建立在無微觀結構噪聲的基礎之上。但是真實的金融市場通常達不到強式有效，市場買賣價差與非連續報價等市場摩擦的存在會影響資產價格產生微觀結構噪聲?，F有文獻多集中討論價格跳躍及杠桿效應對已實現波動率預測的影響。微觀結構噪聲如何影響已實現波動率預測在現有文獻中研究則較少。本文將在國內外文獻的基礎上，討論微觀結構噪聲存在時測量誤差對已實現波動率的影響并分析其影響程度，主要從以下三個方面開展研究。第一，考慮微觀結構噪聲的影響，提出HARQ-N模型。相對于HARQ模型，HARQ-N模型引入高頻數據中的微觀結構噪聲的影響，更全面地分析測量誤差對波動率的影響。第二，通過隨機模擬與實證分析全面比較各模型的樣本內、樣本外預測效果，并通過蒙特卡羅模擬研究微觀結構噪聲的大小對模型預測效果的影響。第三，使用中國股市數據從日、周與月三個不同周期全面考察HARQ-N模型的預測效果。

2 HARQ模型和HARQ-N模型

2.1 已實現波動率與測量誤差

假設t時刻的對數資產價格記為pt，服從于連續時間擴散過程

dp(t)=μ(t)dt+σ(t)dW(t),0≤t≤T

(1)

根據Barndorff-Nielsen和Shephard[11]提出的二次變差理論，當模型中不考慮價格跳躍與微觀結構噪聲時，二次變差QVt等于積分波動率IVt。Andersen等[12]證明已實現波動率RVt是二次變差QVt的一致估計量。因此，不考慮價格跳躍與微觀結構噪聲時，可以直接使用已實現波動率RVt來估計積分波動率IVt。

(2)

其中rt,i為第t個交易日第i個時間區間的對數收益率，n為每天的采樣次數。記Δ為每天的采樣時間間隔，則有n=1/Δ。當采樣次數n趨近于無窮大時，RVt為IVt的一致估計量。

但是在實踐中受數據采樣頻率的限制，通常只能得到有限次的采樣數據。所以在使用RVt估計IVt時不可避免的會存在測量誤差。將測量誤差記為ηt，則有

RVt=IVt+ηt

(3)

根據Barndorff-Nielsen和Shephard[11]的漸進分布理論，當Δ趨近于0時測量誤差ηt服從如下漸進分布：

ηt～N(0,2ΔIQt)

(4)

(5)

2.2 考慮測量誤差的HARQ模型

在不考慮價格跳躍與微觀結構噪聲時，已實現波動率RVt是積分波動率IVt的一致估計量。同時在一般情況下測量誤差不存在序列相關。這使得我們可以對已實現波動率進行建模來預測不可觀測的積分波動率。假設積分波動率IVt服從簡單的一階自回歸過程：

IVt=φ0+φ1IVt-1+ut

(6)

在使用已實現波動率RVt進行預測時，同樣假定其服從一階自回歸過程：

RVt=β0+β1RVt-1+ut

(7)

將RVt=IVt+ηt代入可得：

IVt+ηt=β0+β1(IVt-1+ηt-1)+ut

(8)

(9)

在實際情況中，測量誤差的方差并非常數，衰減偏差是時變的。因此β1并非一個常數，會隨著測量誤差方差的變化而變化。在使用RVt進行預測時，使用常系數的自回歸模型并非好的選擇，使用時變參數的自回歸模型會有更好的效果。Bollerslev等[9]提出ARQ模型來對RVt進行建模，模型設定如下：

(10)

該模型通過對β1增加一個線性調整項，來引入測量誤差的影響。其中β1Q為負，這使得自回歸系數與測量誤差的方差負相關，可以靈活地隨測量誤差方差的變化進行調整。同時該模型設定簡單，可以通過OLS方法進行估計。進一步地考慮金融時間序列中通常存在的長記憶性，參考常用的HAR模型，

RVt=β0+β1RVt-1+β2RVt-1|t-5+β3RVt-1|t-22+ut

(11)

在HAR模型的基礎上增加線性調整項，可以得到HARQ模型，如下：

(12)

Bollerslev等[9]也構建了同時對周RV和月RV增加線性調整項的HARQ-F模型，隨機模擬的結果表明周RV和月RV對應的衰減偏差并不顯著。同時由于HARQ-F模型的待估參數更多，樣本外預測能力也不如僅對日RV調整的HARQ模型。因此在應用中，只考慮對日RV增加線性調整項即可。

2.3 HARQ-N模型的構建

HARQ模型在不存在微觀結構噪聲的假定下，給出了一個對測量誤差進行修正的框架。然而在實際中受市場買賣價差與非連續報價等市場摩擦的影響，觀測價格會偏離真實價格過程而產生所謂的微觀結構噪聲。不存在微觀結構噪聲的假定難以準確描述真實的價格過程。本文根據HARQ模型的思路對其進行拓展，假定存在微觀結構噪聲，給出了該假定下的測量誤差修正的波動率預測模型。

Yt=pt+εt

根據已實現波動率的定義可以計算得到：

RVt=[Y,Y]t=[p,p]t+2[p,ε]t+[ε,ε]t

E[RVt]=2nv+o(n)

由此可以看出，當采樣次數n趨近無窮時，RVt中僅包含微觀結構噪聲的信息，無法準確對積分波動率進行估計。此時微觀結構噪聲的方差ν可以使用如下估計量進行估計：

(13)

該估計量是微觀結構噪聲的方差的一致漸進正態估計量，服從如下分布：

(14)

由于微觀結構噪聲的存在，RVt不再是積分波動率的一致估計量，因此需要對估計量進行修正。在金融實踐中通常使用稀疏采樣的方法來減弱微觀結構噪聲的影響，最常用的采樣頻率為五分鐘采樣。稀疏采樣的優點是計算簡單，缺點是在稀疏化過程中丟棄了過多數據，存在信息損失。Zhang Lan等[6]從理論上給出了一個積分波動率的漸進無偏估計量雙尺度RV(Two-scales RV)，即TSRVt，該估計量對微觀結構噪聲穩健。在計算時，該估計量使用了兩種不同采樣頻率的數據，相較稀疏抽樣能夠利用更多的信息。根據Zhang Lan等[6]的研究，可以將TSRVt表示成由積分波動率和測量誤差兩部分構成的形式。

記日內的抽樣時間點集合為Ω={t0,…,tn}，將該集合分為K個子集合，其中第k個子集合為Ω(k)={tk-1,tk-1+K,tk-1+2K,…,tk-1+nkK}。利用子集合時間點的價格數據可以計算出對應的已實現波動率，

(15)

則子抽樣已實現波動率(Subsampling RV)即為子集合已實現波動率的平均值。

(16)

TSRV可以由SS-RV與RV計算得到：

=IVt+ηt

(17)

類似HARQ模型的構建，假設積分波動率服從簡單的一階自回歸過程：

IVt=φ0+φ1IVt-1+ut

(18)

在使用TSRVt進行預測時，同樣假定其服從一階自回歸過程：

IVt+ηt=β0+β1(IVt-1+ηt-1)+ut

(19)

(20)

當微觀結構噪聲存在時，可構建基于測量誤差修正的HARQ-N模型：

+β2TSRVt-1|t-5+β3TSRVt-1|t-22+ut

(21)

3 蒙特卡洛模擬

為研究HARQ-N模型的預測能力以及微觀結構噪聲對已實現波動率預測的影響。參考Andersen等[26]的研究，該部分將采用三種經典的連續時間隨機過程進行隨機模擬，對HARQ-N模型進行檢驗。

假定價格過程服從如下過程：

(22)

其中Yt為觀測價格，pt為真實價格，εt為微觀結構噪聲，Wt為標準布朗運動。

第一個模型為GARCH擴散(GARCH Diffusion)過程。該模型最早由Wong[27]提出，被Nelson[28]用來研究GARCH(1,1)過程的性質，隨后得到廣泛使用。Andersen與Bollerslev[1]使用該模型研究了匯率市場波動率的特征。GARCH擴散過程的設定如下：

(23)

其中，κ=0.035，θ=0.636，σ=0.144。

第二個模型為兩因子仿射(Two-Factor Affine)過程。Bollerslev和Zhou Hao[29]使用該模型研究匯率市場。兩因子仿射過程的設定如下：

(24)

其中，κ1=0.5708，θ1=0.3257，η1=0.2286，κ2=0.0757，θ2=0.1786，η2=0.1096。

第三個模型為對數正態擴散(Log-Normal Diffusion)過程。Andersen等[30]使用該模型對期權定價進行了研究。對數正態擴散過程的設定如下：

(25)

其中，κ=0.0136，θ=-0.8382，σ=0.1148。

在隨機模擬的過程中，首先生成服從這三個過程的價格序列。然后使用模擬生成的價格序列來進行樣本內與樣本外預測，對不同模型進行比較。最后使用損失函數對模型預測能力進行評價。

在生成價格序列時，采用1分鐘抽樣，每日交易時間為4小時。每個交易日可得到241個收盤價數據。共生成2000日的模擬數據。GARCH擴散過程、兩因子仿射過程與對數正態擴散過程的噪聲標準差設置為0.02。在進行樣本外預測時，同時使用滾動窗(Rolling Window，RW)預測與增長窗(Increasing Window，IW)預測。其中滾動窗預測的估計樣本量為1000。

在使用損失函數評價模型預測能力時，選取常用的MSE與MAE作為損失函數，表達式如下：

(26)

在模型比較中，除了考慮HAR、HARQ與HARQ-N三種模型，為了比較的全面性，同時考慮了唐勇提出的引入微觀噪聲影響的HAR-RV-N-CJ模型[21]。模型設定如下：

RVt=β0+β1Ct-1+β2Ct-1|t-5+β3Ct-1|t-22+β1NNVt-1+β2NNVt-1|t-5+β3NNVt-1|t-22+β1JJt-1+β2JJt-1|t-5+β3JJt-1|t-22+ut

(27)

其中Ct代表連續的積分波動，NVt代表噪聲的方差，Jt代表非連續部分的跳躍方差。

表1給出了不同擴散過程下的樣本內預測結果。為便于直觀地對不同模型進行比較， 選取HAR模型作為基準模型，將所有模型的損失函數值除以HAR模型的損失函數值得到兩者的比值。若比值大于1，則該模型預測效果弱于HAR模型。若比值小于1，則該模型預測效果優于HAR模型。所有預測結果均以預測誤差比的形式展示。h=1,5,22分別表示預測期為日、周與月。對比三種模型的預測效果可以看出，與Bolleslev等[9]的研究結果一致，除了對數正態過程下的MAE， HARQ模型的MSE與MAE在日、周、月三個預測期上都小于等于HAR模型，HARQ模型的樣本內預測效果優于HAR模型。在存在微觀結構噪聲的情況下，考慮測量誤差的影響能夠提升模型的樣本內預測能力。HARQ-N模型在所有場景下都有最小的MSE與MAE，樣本內預測效果優于HAR模型與HARQ模型。在微觀結構噪聲存在的情況下，考慮微觀結構噪聲的影響能夠進一步提升模型的樣本內預測能力。HAR-RV-N-CJ模型的MSE與MAE小于HAR模型與HARQ模型，大于HARQ-N模型。這表明HAR-RV-N-CJ模型對噪聲的修正能力要弱于HARQ-N模型。

表1 不同擴散過程下的樣本內預測結果

注：M1、M2、M3和M4分別表示HAR模型、HARQ模型、HARQ-N模型與HAR-RV-N-CJ模型，下同。

進一步對不同模型的樣本外預測結果進行了比較。表2給出了GARCH擴散過程下的樣本外預測結果。與Bollerslev等[9]的研究結果不同，存在微觀結構噪聲時，HARQ模型的樣本外預測結果在絕大部分場景下損失函數要大于HAR模型，預測效果弱于HAR模型。這表明微觀結構噪聲存在時，HARQ模型無法準確地對測量誤差的影響進行建模，需要考慮微觀結構噪聲的影響，對HARQ模型進行改進。HARQ-N模型在日、周、月三個預測期下，無論使用滾動窗還是增長窗進行預測都有最小的MSE與MAE，該模型有最好的預測效果。這與預期結果一致，在模型中考慮微觀結構噪聲的影響能夠提升模型的預測能力。兩因子仿射過程與對數正態擴散過程下的樣本外預測結果與GARCH擴散過程下的結論一致。考慮論文篇幅，在此不列出。

為研究微觀結構噪聲如何影響模型的預測效果。我們在GARCH擴散過程下考察了微觀結構噪聲大小對模型預測結果的影響。表3給出了微觀結構噪聲標準差為0.01至0.10時滾動窗預測的MSE的變化。從結果可以看出，當微觀結構噪聲標準差在0.01至0.10的區間內時，HARQ模型的預測誤差在大部分場景下都大于HAR模型，這表明微觀結構噪聲存在時，HARQ模型的預測能力弱于HAR模型。微觀結構噪聲存在時，僅考慮測量誤差的近似非線性調整是不充分的，需要考慮微觀結構噪聲的影響。四個模型中，HARQ-N模型有最小的預測誤差，這表明當微觀結構噪聲標準差在0.01至0.10的區間內時，HARQ-N模型的預測能力優于HARQ模型與HAR模型，考慮微觀結構噪聲能夠提升模型預測能力。同時這種預測能力的提升較為穩定，并不會隨著微觀結構噪聲的增大而發生較大變化。從不同預測期來看，在日、周、月三個預測期上，HARQ-N模型的預測誤差都最小，在不同預測期上都有最優的預測效果。HAR-RV-N-CJ模型的預測誤差小于HAR模型與HARQ模型，這也印證了當微觀噪聲存在時，在模型中引入微觀噪聲能夠提升模型預測能力。兩因子仿射過程和對數正態擴散過程下的模擬結果也呈現這種特征?？紤]到文章篇幅，不再展示兩因子仿射過程和對數正態擴散過程下的模擬結果。

表2 GARCH擴散過程下的樣本外預測結果

注：RW和IW分別表示滾動窗和增長窗，下同。

表3 GARCH擴散過程下不同微觀結構噪聲的樣本外模型預測結果

續表3 GARCH擴散過程下不同微觀結構噪聲的樣本外模型預測結果

4 實證研究

4.1 數據選取與基本分析

本文選取了滬深300指數從2007年1月4日至2018年12月31日的高頻數據作為研究的數據樣本，數據來源于CSMAR高頻數據庫。數據采用1分鐘采樣，每交易日共241個一分鐘高頻數據。使用1分鐘高頻數據可以計算得到RVt、TSRVt與微觀結構噪聲的方差v。

表4給出了RV，TSRV與微觀結構噪聲方差v的描述性統計量。由表可以看出RV與TSRV的均值接近，TSRV的標準差略小于RV。RV與TSRV都呈現出明顯的高峰厚尾特征，無法使用正態分布對其進行描述。微觀結構噪聲有遠小于RV和TSRV的均值與標準差，同樣呈現出高峰厚尾的特征。相較而言微觀結構噪聲的尾部要厚于RV與TSRV。Ljung-Box檢驗的結果顯示三個變量均存在顯著的自相關性。這表明滬深300指數與微觀結構噪聲都存在較強的波動聚集性。

表4 已實現測度與微觀結構噪聲的統計分析

注：LB12表示滯后12期的Ljung-Box統計量，方括號內為對應的p值。

4.2 已實現波動率、測量誤差與微觀結構噪聲

HAR模型、HARQ模型與HARQ-N模型在日、周和月三個不同周期下的參數估計值與調整的可決系數見表5。

從滯后的日、周和月已實現波動率的影響來看，相較HARQ模型與HARQ-N模型，HAR模型給予了滯后月已實現波動率(RVt-1|t-22)更高的權重。這是由于月已實現波動率相較日已實現波動率受測量誤差的影響更小，因此給予月已實現波動率更高權重，能夠提升HAR模型的預測能力。相應地在對測量誤差進行修正之后，相較HAR模型，HARQ模型與HARQ-N模型給予了日已實現波動率更高的權重。從回歸系數來看，三種模型的回歸結果表明，波動率存在較強的長記憶性，長期波動對各期預測都有顯著的影響。

從測量誤差修正項來看，HARQ模型的測量誤差修正項系數β1Q為負，在0.10的置信水平下β1Q在日和月預測時顯著。這與理論及Bollerslev等[9]的結論一致，隨著RQ的增大，當前RV對未來RV所能提供的信息將減少。因此β1Q為負，對其進行負向的調整。

表5 樣本內參數估計結果

續表5 樣本內參數估計結果

對于HARQ-N模型，該模型引入了微觀結構噪聲的影響。HARQ-N模型的測量誤差修正項系數β1Q與HARQ模型一樣為負，與理論預期一致。與HARQ模型不同的是，HARQ-N模型的測量誤差影響系數遠大于HARQ模型的系數。比如日周期波動率模型，HARQ-N模型的修正系數(-0.0660)是HARQ模型系數(-0.0213)三倍多；周或者月周期的HARQ-N波動率模型對未來波動率的向下修正也遠大于HARQ模型所做的修正。因此，當股票市場微觀結構噪聲存在時，會導致測量誤差變大，根據觀測數據計算得到的已實現波動率與真實的波動率之間的誤差也會隨之增大，當期的已實現波動率對未來波動率預測所能提供的信息將會減少，這時需要根據微觀結構噪聲和測量誤差向下調整當期已實現波動率，即影響系數為負。不僅如此，同時考慮微觀結構噪聲和測量誤差的HARQ-N模型比僅考慮測量誤差的HARQ模型向下調整幅度更大，更大程度地減弱當期結構噪聲和測量誤差對未來波動率的影響，HARQ-N模型估計效果也優于HARQ模型。對于HAR-RV-N-CJ模型，結果與唐勇[21]類似。周和月噪聲的顯著性要高于日噪聲，可見噪聲的影響也存在長記憶性。而跳躍在大多數場景下不顯著。

4.3 樣本內與樣本外預測

為了增加結論的穩健性，需要進一步研究HARQ-N模型的預測能力。本文進行了樣本內與樣本外預測的比較。其中樣本內預測使用全樣本預測，樣本量為2874。樣本外預測同時使用滾動窗預測與增長窗預測。滾動窗預測的估計樣本量為1000，預測樣本量為1874。增長窗預測的初始估計樣本量同樣為1000，這樣可使得其預測樣本量與滾動窗一致。模型預測能力的比較與隨機模擬中一致，選取了MSE和MAE兩種常用的損失函數。

表6給出了樣本內預測的結果。由表可知，HARQ模型在日、周和月三個不同周期下相較HAR模型都有更小的MSE與MAE，HARQ模型的樣本內預測能力優于HAR模型?？紤]測量誤差能夠提升模型的樣本內預測能力。HARQ-N模型的樣本內預測在各場景下都有最小的預測誤差，一致性地優于HAR模型與HARQ模型?？紤]微觀結構噪聲能夠進一步提升模型的樣本內預測能力。HAR-RV-N-CJ模型的預測誤差在所有場景下小于HAR模型，并在部分場景下小于HARQ模型。同時可以看到，隨著預測期的變長，各個模型的MSE會隨之減小，表明各個模型對長期波動的預測比短期波動的預測更為準確。這是由于長期波動是通過一段時間的波動平均得到，其變化相較短期波動更為平穩，而短期波動容易受各種突發因素影響，給建模預測帶來困難。

表6 樣本內預測效果比較

注：表格中加粗的為四個模型預測誤差中的最小值，下同。

表7給出了樣本外預測的結果。由表可知，除日滾動預測下的MSE與月預測下的MSE，在大部分場景下，HARQ模型相較HAR模型都有更小的預測誤差，有更優的樣本外預測能力，這表明對測量誤差進行修正能夠提升模型對于實際數據的樣本外預測能力。對于HARQ-N模型，其在三個周期下的兩種預測方式都有最小的預測誤差。這表明，考慮微觀結構噪聲的影響能夠進一步提升模型的預測能力，HARQ-N模型在四個模型中有最強的預測能力。對于HAR-RV-N-CJ模型，其在周和月使用損失函數比較過不同模型在樣本內外的預測效果后，進一步地使用DM檢驗來對模型的預測效果兩兩一組逐一檢驗。DM檢驗由Diebold和Mariano[31]提出，并由Harvey等[32]進行修正，可以對兩個不同模型的預測效果進行檢驗，檢驗其中一個模型的預測效果是否顯著優于另一個模型。損失函數可以選擇絕對值函數或者平方函數，本文使用絕對值函數作為檢驗的損失函數。

表7 樣本外預測效果比較

觀測期下的大多數場景下預測誤差小于HAR模型與HARQ模型，對中長期波動的預測效果優于短期波動。對于不同的周期而言，各個模型的MSE都隨著周期的增長而減小，月預測的MSE最小而日預測的MSE最大，這表明長期波動相較短期波動更容易預測。這兩個結論與樣本內預測的結論一致。對于不同的窗寬選擇方法，對比滾動窗預測與增長窗預測，可以看到每一個模型在三個預測期下的增長窗預測的預測誤差并不總是一致地小于滾動窗預測的預測誤差。這表明在樣本外預測中，窗寬選擇方法對預測的效果影響不大，更大的估計樣本量增長窗預測并不一定能夠帶來更好的預測效果。

表8、9給出了不同情況下的DM檢驗的p值。給定置信水平為10%，若表中p值小于0.1則表明，所在列的模型預測效果優于所在行的模型。由表8可以發現，M1行M2列的p值僅在月預測時小于0.1，這表明雖然HARQ模型在全部場景下相較HAR模型有更小的樣本內預測誤差，樣本內預測效果略優于HAR模型，但是從統計檢驗來看這一優勢并不顯著，僅在月預測時顯著優于HAR模型。而M3列的p值在各預測期下都小于0.1，這表明考慮微觀結構噪聲的HARQ-N模型的樣本內預測能力顯著優于HARQ模型與HAR模型?？紤]微觀結構噪聲能夠顯著提升模型的樣本內預測能力。同時HARQ-N模型的樣本內預測能力也優于同樣考慮噪聲影響的HAR-RV-N-CJ模型。樣本外滾動窗預測的DM檢驗結果與樣本內DM檢驗結果類似，HARQ模型僅在月預測時顯著優于HAR模型。HARQ-N模型(M3列)的預測效果在日、周和月的預測上都顯著優于HAR模型、HARQ模型與HAR-RV-N-CJ模型，有最優的預測效果。整體來看，隨著預測期的增長，DM檢驗的p值會減小，這表明不同模型間預測效果的差異會隨著預測期的增長而變大。

表8 不同模型間樣本內預測效果的DM檢驗p值

表9 滾動窗時不同模型間樣本外預測效果的DM檢驗p值

5 結語

本文在已實現波動率測量誤差的分布理論基礎之上，在測量誤差的方差中引入微觀結構噪聲的影響，提出考慮測量誤差和微觀結構噪聲的HARQ-N模型。分別在GARCH擴散過程、兩因子仿射過程與對數正態擴散過程下對HAR模型、HARQ模型、HARQ-N模型與HAR-RV-N-CJ模型的樣本內、樣本外預測能力進行了模擬比較，并使用滬深300指數從2007年1月4日至2018年12月31日的1分鐘高頻數據對四個模型進行了實證研究。

(1)考慮測量誤差的HARQ模型能夠提升模型預測能力。對測量誤差進行修正的HARQ模型相較HAR模型有更小的預測誤差，測量誤差修正項的系數為負，當測量誤差較大時，短期波動對未來波動預測提供的信息減少。

(2)考慮微觀結構噪聲的測量誤差修正項對波動率影響為負，在日、周、月三個周期的HARQ-N模型估計中統計顯著，并且HARQ-N模型的測量誤差項影響系數遠遠大于HARQ模型。當股票市場微觀結構噪聲存在時，會導致測量誤差變大，當期的已實現波動率對未來波動率預測所能提供的信息減少，HARQ-N模型向下調整當期的已實現波動率對未來波動率的影響。HARQ-N模型的向下調整幅度大于HARQ模型，更大程度地減弱當期結構噪聲和測量誤差的影響。

(3)蒙特卡洛模擬和實證研究結果均表明HARQ-N模型優于HARQ模型，在四個模型中有最優的樣本外預測效果。DM檢驗表明，同時考慮微觀結構噪聲和測量誤差的HARQ-N模型樣本內和樣本外預測統計上顯著優于HAR模型、HARQ模型和HAR-RV-N-CJ模型。

(4)股市的波動有較強的長記憶性，股市的長期波動對各周期的波動預測都有顯著影響。短期波動對股市的中長期波動影響較小，長期波動相較短期波動更容易預測，有更小的預測誤差。

現實世界的金融市場通常無法達到強式有效，市場摩擦等因素會不可避免地帶來微觀結構噪聲。微觀結構噪聲的存在會影響已實現波動率作為真實波動率估計量的一致性及漸進分布，給已實現波動率預測帶來困難。本文的研究揭示了微觀結構噪聲如何通過影響測量誤差進而影響已實現波動率的預測。在微觀結構噪聲較大時，測量誤差的方差會隨之增大，短期波動對未來長期波動的影響將減弱?？紤]微觀結構噪聲影響的波動率模型會隨著微觀噪聲的大小變化做出修正，從而提高模型的預測能力。