動態Nelson-Siegel模型與無套利約束相容嗎？
——來自中債國債收益率曲線的經驗證據

孔繼紅，岳 偉

(1.南京師范大學商學院，江蘇 南京 210023；2.澳門科技大學商學院，澳門 999078)

1 引言

利率期限結構模型旨在建立零息票債券收益率與其到期期限之間的關系。其中廣泛使用的期限結構因子模型，采用靜態方程刻畫因子對收益率的截面映射關系；而收益率的動態特性則由因子的時間序列過程所捕捉。

市場監管者、固定收益組合管理者和其它市場參與者，都希望通過合適的利率期限結構模型，提取其定價因子并模型化，以更好地解釋債券收益率的變動等。很多研究指出，股票、外匯和債券等金融資產收益率，都典型地表現出低維的因子結構[1]。就債券而言，雖然市場上存在十幾種期限不同的債券價格或收益率，但它們都會受到共同因子與特別因子的綜合影響，市場沖擊通常會程度不同地影響到所有期限的債券價格和收益率，這樣收益率就存在協動性而表現出高度相關性。這使得利用少數幾個因子來解釋收益率曲線的系統性變動成為合理的選擇。

在實踐中，因子化結構還具有統計上的優勢，因為其將不易處理的高維情形轉化成了易處理的低維情形。很多研究證實，幾乎所有市場的債券價格變動都能被極少數的變量或因子所捕捉，從而低維因子化已經成為金融資產定價理論和實踐中廣泛使用的范式。

文獻中首先得到研究的是連續時間下的單因子模型。典型如Vasicek模型和CIR模型等，都是以短期利率作為單一因子。區別是前者波動率為常數，而后者允許存在遵循平方根過程的隨機波動率。但是，單因子模型僅僅考察的是短期利率的時間序列特性，并試圖以此推導任何時點上零息票收益率的期限結構。隨后的文獻研究發現，為捕捉和解釋收益率曲線截面和時間序列等兩個維度上的豐富經驗特征，需要通過增加更多的因子來刻畫。

多因子化方案首先得到了主成分分析的經驗支持。如Joslin等[2]分析后指出，低維的前幾個主成分因子就能很好地捕捉到債券收益率的期限交叉相關性。當然，除了采用主成分因子，還可以在收益率觀測值基礎上分別采用截面插值法[3]和施加無套利約束[4]等方法提取不可觀測的隱因子，或以可觀測的宏觀經濟變量[5]作為模型的外生因子。確實，很多研究都證實國債收益率的大部分變動都能被三至五個因子所很好地解釋[6]。

當然，多因子期限結構理論需要建立這些低維因子的動態性，同時構建從因子到收益率的截面映射關系(即載荷結構)。這里的挑戰是，模型是否足夠靈活，以能同時擬合各種不同形狀的債券收益率曲線及其時間序列隨機特征，并能對未來期限結構給出準確的預測。

具有理論或實踐意義的研究中，基本上都要對載荷結構實施約束。這時，至少存在兩種有區別的方案。第一種方案是，對因子載荷結構化，但因子不受限制。典型的如已經被很多市場參與者和多國央行所普遍采用的靜態Nelson-Siegel模型(NS)。而Diebold和Li[7]將其擴展為一個三因子動態版本DNS模型(Dynamic Nelson-Siegel model, DNS)。該模型直接確定了因子到收益率映射的載荷結構形式，其中的載荷是由常數和包含延遲參數的指數衰減函數構成，且保證了不同期限上載荷的平滑性。同時，因子為不可觀測的隱變量，設為遵循無約束的向量自回歸(VAR)過程。

理論上，DNS模型蘊含了幾個經濟上滿意的特性，如隱含遠期利率為正，以及貼現率曲線隨期限延長而趨于零等。實證上，DNS模型能非常好地擬合收益率截面特征和時間序列動態性，能對多種不同形狀的收益率曲線提供解釋，能運用到許多不同國家、時期和等級的債券定價中[8]。如利用美國國債數據，Diebold和 Li發現三因子DNS模型存在良好的樣本內擬合和樣本外預測績效，能解釋不同期限收益率變動的大部分方差[8]。此外，模型還能對三個動態因子提供有意義的經濟解釋，它們分別對應于現代三因子模型的水平、斜率和曲率因子[9]。這三因子能有效地捕捉到市場的系統性風險，從而能對利率進行準確定價。

迄今，DNS模型依然是業內運用廣泛的利率期限結構估計和預測方法。如國際清算銀行曾指出十三個中央銀行中，九個報告它們采用NS模型或其擴展版本來估計零息債券收益率曲線[10]。

第二種方案是對因子和載荷都施加限制。此時，一般是從描述狀態因子動態性和風險溢價的設定下推導出截面約束[11]。典型的研究是，Duffie和Kan[4]的連續時間無套利三因子仿射期限結構模型。其中，在從因子到收益率的映射上，施加無套利性約束，使得收益率因子載荷結構參數分別滿足相應的常微分方程；而因子向量遵循多元Markov擴散過程，并通過因子的風險價格設定建立了真實概率測度和風險中性測度之間的聯系。

基于此，Dai 和Singleton[12]曾系統地分析和比較了Duffie-Kan三因子仿射期限結構模型不同設定下的結構性和擬合優度差異，認為此類仿射期限結構族中，存在對收益率條件均值和波動率的模型化選擇的權衡。但共同特征是，在因子到收益率映射的載荷結構中存在無套利約束。

在國債收益率的期限結構中考察無套利約束，至少有兩方面的考慮：一是在理論上，很多模型假設金融資產價格不存在無風險的套利機會。此假設源自這樣的觀測，即在一個流動性和深度都很好的國債市場上，同時交易著十幾種期限不同的債券品種，市場上的套利者將迫使不同期限債券價格或收益率，在任何時點和期望路徑(即收益率曲線的動態進化過程)，都滿足內在一致性[13]。這意味著，無套利性使得不同期限債券價格之間存在相互約束，且提供了捕捉定價因子風險溢價大小及其動態性的條件。二是實踐上，對于金融市場參與者而言，滿足無套利性與否決定了是否值得采用更復雜的模型。如果價格并不滿足無套利性，那么施加無套利約束就增加了模型估計和運用難度，卻不會導致實際的價值。

兩方案各有優劣。多數無套利模型估計都非常困難，且實證表現令人失望，特別是在考察樣本外預測時，實證績效甚至不如收益率遵循隨機游走的假設[14]。而簡潔且實證績效卓越的DNS模型在理論上并不能排除無套利性機會的存在[15]。為調和DNS模型的理論缺陷和無套利仿射模型的實證不足，Christensen[16]建立了仿射無套利動態期限結構模型(AFNS)。他們對美國國債收益率的研究發現，無論是樣本內擬合還是樣本外預測，將DNS載荷結構施加于標準期限結構模型，不僅能極大地便利模型的估計，且能改善預測績效。

但值得強調，建立在Duffie-Kan連續時間模型基礎上的AFNS模型，需要對因子動態性過程的參數給予特別的設定，以確保其存在與DNS模型相同的因子載荷。關鍵還在于，AFNS模型中存在非零的收益率調整項用以反映截面約束，該項只依賴于期限而不依賴于時間(從而無需因子化)。這確實便利了參數的估計，但也使得因子到收益率的映射關系發生重大修正。此外，在實證中，連續時間下的AFNS模型需要離散化處理，但離散化近似解和無套利假設之間并不能確保一致性[17]。再有，雖然也考慮了風險中性轉移矩陣，但AFNS模型的推導無關乎風險價格，因此未能顯性地給出時變性風險價格的形式。

中國國債市場起步較晚，成熟度尚不高，且迄今存在市場分割性，使得對中國國債期限結構的研究相對較晚。一些研究集中在NS或DNS模型的運用上。如文忠橋[18]發現NS模型對中國銀行間國債市場的樣本外預測績效不佳。而周子康等[19]利用上證交所國債日交易數據，發現在NS模型基礎上增加高階指數多項式，有助于擬合優度的明顯改善。而Luo Xingguo等[20]發現DNS模型及其擴展版本能很好地擬合和預測中國銀行間國債市場日交易數據的期限結構。沈根祥和陳映洲[21]則發現雙斜率DNS模型能顯著改善我國銀行間市場債券交易收益率曲線近端的擬合能力。

上述運用典型地屬于統計模型，并沒有考察無套利性約束的作用。為此，葛靜和田新時[22]利用上交所國債價格月度數據，考慮了無套利約束的影響，認為DNS模型和AFNS模型都存在良好的預測績效。為進一步估計長期收益率中的風險溢價及其作用，楊鎮瑀等[23]也施加了無套利約束，并將中國國債長期收益率分解為短期利率預期均值和期限溢價，認為期限溢價在市場風險傳遞中存在重要作用。雖然兩文都在DNS模型基礎上考察了無套利性約束，但對時變性風險價格的估計、DNS模型下收益率曲線的無套利條件是否滿足等問題都值得進一步探討。

為此，本文試圖利用2006年3月至2017年12月的中債國債月度樣本數據，直接考察離散時間設定下DNS模型和無套利仿射期限結構模型，后者存在時變性風險價格。本文首先估計DNS模型，隨后利用DNS模型所提取的三因子，估計所設定的無套利期限結構模型，以比較兩模型的擬合優度，最后采用收益率模擬數據，檢驗中國國債市場的DNS模型是否滿足無套利性約束。

2 模型框架

目前，多因子仿射期限結構模型(Affine term structure models, ATSM)已經成為利率債券收益率期限結構的主流研究方法[24]。與標準因子模型類似，ATSM模型也存在時間序列成分和截面成分。前者旨在捕捉低維因子向量的動態性過程，而后者則是刻畫從因子到N個不同期限債券收益率的映射關系。通常，ATSM模型能給出債券收益率的閉式解，并能較好地復制出債券收益率存在的截面和時間等兩個維度上的特征。

對于零息債券收益率，ATSM模型的設定中，都包含著以下三個基本組成部分：一、(風險中性或真實概率測度下)狀態變量的動態過程，用于捕捉時間序列特性；二、確保模型滿足基本仿射特征的隨機貼現因子形式，其中包含了因子的風險市場價格，這直接確定了真實測度下債券的定價原則；三、債券定價方程形式，旨在描述從狀態變量到債券價格或收益率的截面映射。

2.1 因子動態過程的離散設定

雖然Duffie和Kan較早給出了連續時間下因子所遵循的隨機微分方程[4]。連續時間設定的優勢是在資產定價中可以方便地運用Ito引理，但實踐上依然需要離散化。因此，對因子動態性，本文直接采用離散時間設定。一般地，在真實測度下，對于K維狀態向量Xt，直接假設其遵循一階自回歸VAR(1)高斯過程[5]：

Xt=μ+ΦXt-1+Σut

(1)

其中，μ為(K×1)維截距向量，Φ為(K×K)維因子轉移矩陣，(K×1)維隨機誤差項向量滿足ut(iidN(0,I)。不失一般性，設常數波動率參數矩陣Σ為下三角矩陣。

實踐中，允許方程(1)采用不同的信息集，即哪些變量包含在Xt中。可以僅包含從收益率曲線中提取的主成分或隱因子，也可包含宏觀經濟變量。如采用美國收益率數據，Favero等發現無套利約束的施加和信息集的擴展都有助于模型預測績效的改善，但兩者之間并無占優者[6]。

此外，假定瞬時短期利率(rt)為狀態變量的仿射函數：

(2)

其中，δ0為標量，δ1為(K×1)維向量。由于本文采用的是月度數據，因此實證中采用一個月的即期收益率作為短期利率(rt)的樣本觀測值。

現在考察無套利約束的作用。金融經濟學理論指出，無套利假設意味著等價鞅測度或風險中性測度Q的存在，使得不支付紅利的任何資產在時刻t的價值Vt，滿足：

(3)

其中，EQ表示在風險中性測度下的期望。同時，定義Radon-Nikodym導數ξt+1，將生成數據的實際概率測度轉換成風險中性概率測度，即對于時刻t+1的任何隨機變量Zt+1，滿足：

(4)

其中的E表示在風險真實測度下的期望。這樣建立了兩個測度之間的聯系，從而允許對經濟中的任何資產、特別是名義債券進行定價[5]。

一般地，假定ξt+1遵循對數正態過程：

(5)

其中，ut+1是來自狀態動態過程(1)的隨機沖擊，而λt是與其相關的因子風險市場價格。方程(5)將ξt+1與(1)中的隨機沖擊相聯系，因而確立了因子沖擊對所有收益率的影響方式和影響程度。

對于提供不確定回報的債券，風險厭惡投資者通常需要額外的風險溢價以補償其承擔的風險。統計發現，名義債券的風險溢價是時間的函數，這說明投資者存在時變性的風險或/和風險厭惡。而市場觀測也證實，時變性收益率(均值)通常是期限的增函數，反映了期限溢價的存在。

金融文獻中，有兩個基本方法用于模型化時變性債券風險溢價或期限溢價，分別是時變性風險大小和時變性風險價格，基于隨機波動率的文獻中則更多地采用了前者，如Duffie和Kan的完全仿射(Completely Affine)模型[4]，和Duffee建立的基本仿射(Essentially Affine)模型[14]。后者將一單位因子波動率轉換成風險溢價。而在標準高斯仿射無套利模型中，通常采用時變性風險價格的設定。本文也采用后者，將風險市場價格λt，設為狀態向量的仿射函數，以反映其時變性特征：

λt=λ0+λ1Xt

(6)

其中，λ0為(K×1)維常數向量，λ1為(K×K)維系數矩陣。一般地，實際測度下的利率期限結構動態性依賴于方程(6)中的風險溢價參數λ0和λ1。當λ0=λ1=0，則數據生成的實際測度和風險中性測度是一致的。經典的Vasicek利率模型，λ0≠0而λ1= 0，即存在常數風險溢價，能捕捉到平均收益率曲線向上傾斜的特征。

下面建立債券的定價框架。金融理論中，隨機貼現因子(Stochastic Discount Factor, SDF)是一些定價模型如資本資產定價模型、隨機波動率模型等的推廣。在連續時間框架下，隨機貼現因子M通常由均衡條件或無套利約束推導得到，并采用以下形式：

Mt+1=ξt+1exp(-rt)/ξt

(7)

結合式(5)和式(2)，式(7)可變換成：

(8)

(9)

至此，設定(1)、(2)和(9)等相結合，一起構建了離散時間的K因子高斯利率期限結構模型，成為債券進行定價的基本框架。

實踐中，為了推導債券價格或收益率的解析式，需要假設從狀態向量到零息債券價格的映射形式。一般采用狀態向量的指數仿射函數：

(10)

基于(9)和(10)，可推導得到上述載荷參數標量Aτ和K維向量Bτ，分別滿足下列遞推結構[5]：

Bτ+1=Bτ(Φ-Σλ1)+B1

(11)

(12)

特別地，當τ=1時：

(13)

因此，有A1=-δ0，B1=-δ1。

這樣，建立了離散時間下、零息債券收益率的無套利仿射期限結構解析形式。

顯然，短期利率方程(2)的載荷參數A1和B1一旦被確定，所有其它期限收益率的參數就可以由遞推關系(11)完全確定，參數{μ, Φ, Σ}由狀態過程確定，而參數{λ0, λ1}則由截面方程決定。

式(12)是無套利下的直接推論，是收益率截面映射中的特例，下文給出截面方程的一般設定。

2.2 收益率的截面設定

由于交易成本、買賣價差、溢價交易和市場流動性差異等導致了債券市場的不完美性，因此式(12)的這種確定性關系并不總是成立。而實證中典型地采用零息票債券收益率的月末數據，它們也并非全部是直接的觀測值，而很多來自于息票債券的插值結果。這可以在式(12)中引入誤差項來捕捉這種不確定性：

(14)

其中，收益率Yt為時刻t的(N×1)維的觀測值向量，N為期限個數。截距參數a是(N×1)維向量，而載荷參數b則為(N×K)維矩陣，分別代表了收益率曲線因子對收益率的影響。它們都一般是期限而非時間的函數。除了收益率非負性等要求外，如果對a和b不施加額外約束，就是自由度最高的情形。此外，假定誤差項ε服從零均值的N維獨立正態分布：εt～N(0, Ω)，故其(N×N)維方差矩陣Ω是對角陣。

對截面方程(13)的載荷參數施加約束，可通過引入無套利條件或者采用純粹的插值法等來實現。當施加源于經濟理論的無套利性，方程(10)和(12)中的向量Aτ和矩陣Bτ受到如(11)的截面約束。從而，等價鞅測度與真實測度之間通過參數化方式聯系，結果是模型中同時存在對因子的動態約束和收益率的截面約束。這正是2.1節的內容。因此，比較(12)和(14)，可得：

aτ=-τ-1Aτ;bτ=-τ-1Bτ

(15)

純粹的插值法是指，給定載荷結構的函數形式，并設定其因子動態性，包括轉移矩陣和誤差結構。DNS模型中，載荷完全由期限(τ)和一個延遲參數(λ)決定。即假設式(13)的載荷滿足：

(16)

雖然滿足(15)式約束的模型(13)也表現為收益率(期望值)對因子的線性關系，但DNS模型其實并不隸屬于Duffie-Kan的仿射模型族[15]，因此表現出卓越的實證績效并非沒有可能。

這樣，DNS模型事先定義了收益率曲線因子載荷的形式，其目的在于獲得模型推導的收益率曲線，以提供對截面數據的良好擬合，同時還能確保模型參數和因子具有經濟含義。

但分歧在于，無套利模型是在對因子動態進化的隨機設定基礎上，明確推導出因子載荷，其中參數進入載荷的特殊方式取決于所施加的約束(如無套利原則)，用以確保不同期限收益率的內在一致性。雖然，DNS模型的因子載荷本質上也是某種約束下的結果，但無法確保前述的一致性成立，因此DNS模型并不必然是無套利的[25]。

2.3 模型的估計

式(13)和式(1)能被分別解釋成高斯狀態空間系統的測度方程和狀態方程。如果(14)的載荷結構滿足約束(15)，則為典型的DNS模型。除了隱因子Xt，DNS模型的常參數向量為：

Θ={Ω,λ,μ,Φ,Σ}

(17)

對于高斯狀態空間系統，Kalman濾波技術具有易處理性和精確性等優勢。因此，本文也采用Kalman濾波估計DNS模型。

當模型(13)的載荷滿足遞推式(11)，則形成了經典的無套利仿射期限結構模型(No Arbitrage Affine Term Structure Models, NA_ATSM)，其包含的常參數有：

Θ={δ0,δ1,Ω,λ0,λ1,μ,Φ,Σ}

(18)

對于NA_ATSM，Kalman濾波依然是一個有效的估計方法。但此類模型的估計一般非常困難。實踐中，NA_ATSM的參數超平面常相當平坦，在最大化過程中非常敏感于初始值，且可能存在多個最大化值點，這些最大值點對于數據的擬合是類似的，卻可能存在截然不同的經濟解釋。

因此，為了本文的研究目的，即分析中國國債市場的無套利條件是否滿足，我們將NA_ATSM的估計過程分成兩步。第一步，將DNS模型提取的隱因子作為NA_ATSM的外生因子，從而可以非常便利地估計出方程(1)的所有參數向量{μ,Φ,Σ}，和方程(2)的參數{δ0, δ1}。第二步，再對風險參數{λ0, λ1}和測度方程方差參數(進行估計。

值得說明，不同期限收益率截面方程存在差異性的方差(通常是期限的減函數)，這對參數的優化過程一定存在重要的影響。且本文在比較后證實，方差參數在估計中的缺席可能非常不利于模型估計過程的收斂和風險價格參數的優化，因此本文在第二步選擇具有方差成分的最大似然法來估計NA_ATSM模型的剩余參數{λ0, λ1, Ω}。

3 實證分析

3.1 數據描述

本文實證分析所采用的是中債國債即期收益率月度數據，數據來源于Wind金融終端。樣本區間為2006年3月至2017年12月，樣本容量142。其中，月度收益率選擇的是月最后交易日數據，而固定期限包括1，3，6，9，12，24，36，60， 84和120個月等共10個不同期限。其中收益率源自柜臺、交易所和銀行間等三個子市場的交易數據、采用Hermite插值法計算而得。這些特征為在截面方程中引入誤差項提供了依據。

表1報告了中債國債(連續復利)即期收益率月度數據的描述統計量。結論確認了收益率曲線的一些經驗事實：隨期限遞增的樣本收益率均值昭示著期限溢價的存在，這可能是由于風險厭惡、流動性偏好或選擇偏好等所致。而標準差(波動率)是期限的減函數。同時，至少直到6階自相關系數在1%顯著性水平上都高度顯著不等于零。這說明，所有期限下的收益率時間序列都存在典型的持久性特征。

此外，表1最后三行還列出了三個經驗樣本因子的描述統計量?？梢园l現，相對于均值，水平因子的波動性特征比斜率和曲率因子都表現得溫和(標準差均值之比最小)。而斜率因子的自相關性則衰減最為緩慢；曲率因子則表現出了更大的波動性。此外，三個樣本因子的相關性并不高，兩兩相關系數均介于-0.166至0.325之間。這與前三個主成分因子正交性的典型表現明顯不同。

此外，樣本范圍內的所有收益率時間序列，在1%的水平上，基于偏度和峰度的Jarque-Bera檢驗都無法拒絕正態性假設，這為本文采用高斯系統提供了經驗證據。

表1 中債國債即期收益率月度數據的描述性統計量

注：收益率為連續復利收益率。樣本區間2006年3月到2017年12月。樣本容量142。((k)表示k階滯后自相關系數。其中，水平因子以10年期收益率為代表，而斜率因子為長短期收益率之差，即10年收益率-1月收益率，而曲率因子為2 × 2 年收益率-(10年收益率 + 1月收益率)。

3.2 模型估計

3.2.1 DNS模型的估計結果及分析

由(1)、(14)與(16)組成了不施加無套利約束的DNS模型。本文考察了狀態方程轉移矩陣非對角元素非零，誤差項協方差矩陣非對角元素也非零的全參數DNS_FULL模型，及其嵌套的對角DNS_DIG模型。其中，兩個模型都假定測度方程誤差項協方差矩陣為對角矩陣。

兩模型的部分估計結果顯示于表2中。通過相應的LL值、AIC信息準則和Wald參數受限檢驗均顯示，全參數模型提供了更大的擬合優度。

首先，注意到全參數模型的截面方程中的延遲參數的估計值λ=0.0556(標準誤0.0020)，隱含著收益率曲線上曲率最大值對應的期限約為32個月。其次，狀態轉移方程中，參數μ的元素都與零無顯著差異。轉移矩陣Φ的主對角元素均顯著非零，非對角元素則都與零無顯著差異。誤差項協方差矩陣ΣΣ′的非對角元素上也非全部顯著非零。其中，DNS模型所提取的水平和斜率因子的干擾項存在顯著的負相關性，而曲率因子與另兩個因子的干擾項相關性并不顯著。

表3列出了對DNS模型所提取的三個隱因子的描述統計和ADF檢驗結果(表中只列出了僅包含常數項的檢驗結果)。結合其余的ADF檢驗結論，發現在1%的水平上，收益率曲線提取的水平因子X1是唯一拒絕單位根過程的因子，而斜率和曲率因子都無法拒絕存在單位根的原假設。

3.2.2 ATSM模型的估計結果

對NA_ATSM模型，本文采用了以下程序以簡化估計過程：首先將DNS_FULL模型下提取的狀態向量作為NA_ATSM的外生輸入因子，采用VAR(1)估計狀態均值μ、轉移矩陣Φ、協方差矩陣ΣΣ′。隨后利用式(12)和式(11)，得到式(6)的參數{λ0,λ1}和式(14)的方差參數Ω的最大似然估計量。

表2 DNS模型的估計和檢驗結果

注： ΣΣ′的估計值及其標準誤擴大了10000倍。括號內為標準誤。其中標記“*”表示在1%的水平上與零存在顯著差異。此外，LL為最大似然對數值，AIC為Akaike信息準則。Wald值為對角模型的Wald參數受限聯合檢驗的卡方統計量(自由度9、顯著性1%的臨界值2.0879)。

表3 DNS_FULL模型下的狀態向量描述統計

注：ρ(k)表示k階滯后自相關系數，ADF值指的是包含常數項的Augmented Dickey-Fuller (ADF)單位根檢驗統計量，方括號內是其對應的伴隨概率。

當允許風險價格的時變性，即λ1≠0，則模型存在21個常參數，該模型記為ATSM_TV。而若令λ1=0但λ0≠0，則風險價格是常數，存在12個常參數，記為ATSM_CON。

利用DNS模型所提取的狀態因子，其轉移矩陣和短期利率方程參數估計結果，列于表4中。結論顯示Φ的主對角元素都保持了1%水平上的顯著非零性。而短期利率方程則顯示截距項參數a1在統計上與零無顯著差異，這與DNS模型零截距的假設相吻合。因子載荷向量b1的前兩個元素是顯著的，而曲率因子載荷，在統計上與零不存在顯著差異。

ATSM_TV模型和ATSM_CON模型的參數估計顯示在表5中。結論與Coroneo等對美國市場的零息票收益率數據的實證結果明顯不同[25]。事實上，后者對風險參數的估計結果是令人困惑的：除了斜率因子存在非零的風險市場價格常數參數λ0(2)外，其余的風險因子價格參數都與零無顯著差異。這意味著常數風險市場價格的特征。這樣的結論可能與收益率曲線表現為除向上傾斜外還存在多種形狀的經驗現象不一致。

而中國國債市場的風險價格參數很多都高度顯著異于零，風險價格的時變性特征顯著存在。同時，這些顯著的風險價格參數都與第一因子相關。其中，第一因子隨機沖擊的風險價格常數參數λ0(1)顯著非零；而因子系數λ1(1, 1)，λ1(2, 1)，λ1(3, 1)也都顯著非零。這意味著，第一因子存在顯著的時變性風險溢價。另外，顯著非零的參數λ1(2, 2)與第二因子相關。因此，中債國債收益率風險價格的時變性特征主要受到第一和第二因子的驅動。如果限定λ1= 0，則估計的ATSM_ CON模型中λ0的三個參數都顯著異于零，代表了顯著非零的常數風險價格。

當然，兩個模型的LL值、AIC值和Wald參數受限檢驗都指出，存在時變性風險參數設定的ATSM_TV模型表現更優。這與Kaminska等的結論相似[24]，他們利用遠期利率數據估計了NA_ATSM模型，也得到了顯著非零的時變性風險市場價格。

表4 DNS模型因子的轉移矩陣估計和短期利率方程估計結果

注：標注“*”的表示在1%水平上與零存在顯著差異。圓括號內表示的是對應參數估計量的標準誤。

表5 因子外生給定下的仿射ATSM模型的估計和檢驗結果

注：括號內為標準誤。其中，標記“*”表示在1%的水平上與零存在顯著差異，圓括號內為標準誤。LL為最大似然對數值，AIC為Akaike信息準則。Wald值為僅存在常數風險價格參數模型的Wald參數受限聯合檢驗的卡方統計量(自由度9、顯著性1%的臨界值2.0879)。

進一步，利用風險價格參數估計量，計算了對應于DNS模型三因子的時變性風險價格λt，表6給出了描述統計量。其中的自相關性與三因子相似(參見表3)，這與風險價格的仿射設定有關。此外，對應于水平因子的風險價格均值為負，因此在平均意義上短期利率的無條件均值，在風險中性測度下高于真實測度下的結果。

可以對比，如果考慮風險價格為非零常數的ATSM_CON模型，也發現了λ0(1)顯著為負的特點。因為債券價格是風險中性測度下得到的，對應于水平因子的負參數λ0(1)也意味著長期收益率在平均意義上高于短期收益率。

3.2.3 DNS和NA_ATSM模型預測績效比較

為比較兩個模型的預測績效，分別計算了不同期限下兩個模型的一個月向前樣本內預測誤差均方根(RMSE)，結果列于表7。結論顯示兩個模型預測績效相當接近。

表6 時變性風險價格估計值的描述性統計

表7 兩模型一個月向前預測的RMSE比較(擴大了100倍)

問題是，無套利性有助于預測績效的改善嗎？由于期限結構模型的特殊形式，從預測角度看，重要的約束不是無套利，而取決于因子特征及其動態性[26]。本文兩個模型均采用了相同的因子，且其動態結構也完全相同，因此，預測誤差非常接近并非不合理。

實際上，Duffie-Kan意義上無套利約束的價值在于：基于時刻t的因子動態性，一個相對小的參數集決定了在時刻t整個收益率曲線的(動態性)形狀。直覺上，如果因子模型沒有施加無套利約束，從因子向收益率的映射將更加靈活。換言之，無套利約束減少了截面自由參數的數量。如果市場觀測值本身并不滿足無套利約束，這種自由參數數量的下降將無助于預測績效的改善。而即使樣本中蘊含了無套利性，約束也只是數據特征的真實反映，施加約束就是多余的。即模型預測績效無關乎無套利性。

3.3 無套利性檢驗

現在評估中國國債市場上的DNS模型是否與無套利約束相容。目的是，檢驗DNS模型在中國國債市場是否能產生與無套利約束相容的收益率曲線。具體做法是，執行NA_ATSM模型與DNS模型兩者因子載荷的相等性檢驗，即檢驗下列假設：

H0：aNA= 0 且bNA=bDNS；

H1：上述等式不全成立。

其中，aNA、bNA分別是當(13)滿足無套利約束時的常數項a和因子載荷b。而bDNS則表示為DNS模型的因子載荷(aDNS= 0)。也就是，檢驗NA_ATSM模型的因子載荷，是否與DNS的載荷在統計上對應相等。給定延遲參數λ，DNS模型的因子載荷是固定的，因此只需要估計aNA和bNA即可。

本文采用Monte Carlo模擬方法，在收益率截面方程沖擊獨立正態假定、以及狀態向量聯合正態假定下，進行隨機抽樣，人工重構了多組收益率和因子數據。采用的DNS模型由方程(1)、(14)和載荷形式(16)構成。特別是，在每次抽樣迭代中，首先模擬狀態方程(1)，隨后代入(14)產生收益率模擬數據。這些收益率和因子模擬值都將作為隨后無套利模型估計的數據。

這里的邏輯是，如果DNS模型與無套利約束是一致的，那么基于此假設而構建的人工收益率，在對NA_ATSM模型的估計后，將產生與DNS模型對應相等的因子載荷。反之，拒絕相等性假設則意味著DNS模型與無套利約束之間存在不一致性。

為此，采用下述步驟檢驗原假設H0：

1、利用原始收益率數據估計DNS模型。隨后利用其估計的常參數對狀態方程和測度方程執行隨機抽樣，分別獲得狀態因子和收益率的人工模擬數據；

2、固定延遲參數(這樣也就固定了DNS的因子載荷)，從模擬的收益率數據中采用OLS估計DNS收益率曲線因子；

3、將第2步提取的DNS因子作為外生變量，隨后估計NA_ATSM模型，得到因子載荷aNA和bNA；

4、重復1-3步共2000次，得到aNA和bNA估計量的足夠樣本。然后利用這些樣本數據檢驗原假設H0。

表8列出了DNS模型的載荷(由原始數據估計得到)，以及NA_ATSM模型在模擬收益率數據下的載荷均值，及其99%的置信區間。

結論顯示，在99%的置信水平上，除了期限12個月和60個月的水平因子載荷，其余都拒絕了兩模型載荷對應相等的原假設。而聯合檢驗則明確拒絕了聯合相等性的原假設。表9報告了聯合檢驗的F統計量(所有F統計量的伴隨概率均為0.0000)。因此，實證結論顯示，兩模型的載荷在統計上是顯著不等的。具體而言，中債國債市場上，DNS模型與無套利性是不相容的。

4 結語

本文采用2006年3月到2017年12月間的中債國債月末即期收益率數據，通過對Nelson-Siegel模型和無套利仿射期限結構模型的估計和比較，探討了中國國債市場收益率曲線的特征，并檢驗了DNS模型產生的收益率曲線，是否與無套利約束相容。

我們首先估計了DNS模型，隨后利用DNS模型提取的因子作為外生因子，估計了仿射無套利模型。結論證實了中債國債市場存在時變性風險價格，確認了期限溢價的存在。但也發現兩模型在樣本內預測績效上并無明顯差異。這意味著，相同因子的條件下，無套利約束其實無助于預測績效的改善。

隨后基于Monte Carlo模擬收益率數據的無套利模型估計和檢驗的結果顯示，拒絕了中國國債市場上DNS模型與無套利模型的因子載荷對應相等性的原假設。這意味著在中國國債市場運用DNS模型產生的收益率曲線與無套利約束之間存在顯著的不一致性，也就是沒有證據拒絕中債收益率數據中存在套利機會的假設。

表8 無套利仿射期限結構模型模擬收益率曲線的載荷均值及其99%置信區間

注：標注“*”表示DNS因子載荷落在NA_ATSM 模型相應載荷估計量99%置信區間內。

表9 無套利仿射期限結構模型模擬收益率曲線的載荷相等性聯合檢驗