有限理性下序貫價格競爭的動態演化

宮慶彬，楊 哲

(上海財經大學經濟學院，上海 200433)

1 引言

現實經濟中存在一類介于Bertrand模型和價格領導模型之間的寡頭競爭市場。以國內精對苯二甲酸(PTA)市場為例，2017年該市場中規模前三的企業占據了約61%的市場份額。相比較來看，下游龍頭企業的市場份額不足10%。PTA生產企業表現了較大的定價優勢。大企業的定價對市場有較強的指引，很多小企業和貿易商都是跟隨大企業來進行定價。簡要來看，PTA市場的定價模式為：大企業與下游企業簽訂長約，價格每月月底結算，結算價會參照當月的市場行情；小企業隨行就市銷售，銷售價格會參照上月大企業的結算價和當月行情。這種定價模式存在兩個特點：一是，大企業和小企業的報價存在先后順序，不是同時進行；二是，雖然大企業在定價上具有主導權，但是月底結算時仍會參照當月小企業的銷售價，二者在定價上會相互影響。我們把這種定價模式稱為序貫價格競爭。國內化工品市場、煤炭市場等都存在與此相類似的定價模式。國際市場中，如鐵礦石市場，四大礦山主導全球的鐵礦石定價，其他礦山則是跟隨定價，不過四大礦山定價時也會參考當期的市場行情。這種定價模式會不斷重復進行，期間大企業和小企業也都會采取一定的定價策略來提高利潤，并進而導致產品市場價格的波動。序貫價格競爭存在于很多市場中，不過目前文獻中關于序貫價格競爭動態演化的研究并不多，本文將嘗試建立相關的模型，分析競爭均衡的穩定性及動態特征，為相關行業的企業競爭和市場監管提供理論支持。

傳統的寡頭競爭模型，如古諾模型、Bertrand模型等，大多是建立在完全理性和完全信息的假設上來研究靜態均衡，對于處理復雜多變的現實經濟存在一定的局限性。作為一種拓展，基于有限理性的動態寡頭模型逐漸發展起來。這類模型放松了完全理性、完全信息的假設，引入了非線性動力系統的分析框架，能夠較好地捕捉市場動態演化的復雜現象。Rand[1]、Dana 和Montrucchio[2]較早關注了寡頭博弈的動態過程，對其中出現的周期性、混沌等復雜現象進行了理論分析。Furth[3]研究了古諾均衡的穩定性條件，分析了均衡點的不穩定性。Puu[4]研究了三寡頭的古諾模型和Stackelberg模型的動態演化過程，對可能出現的混沌現象進行了分析。Bishci和Naimzada[5]、Bischi和Kopel[6]分別討論了有限理性和適應性預期條件下雙寡頭古諾競爭的動態演化，提出了用非線性動力系統處理該類問題的一般分析框架，討論了納什均衡的局部穩定條件和不穩定情況下可能出現的復雜動力學現象。Yassen和Agiza[7]、Elsadany[8]考察了基于延遲有限理性條件下的古諾寡頭競爭演化過程，分析了系統的局部穩定性，發現延遲有限理性能夠提高達到納什均衡的概率。Zhang Jixiang等[9]、Fanti等[10]、Yu Weisheng和Yu Yu[11]、Ahmed等[12]研究了有限理性條件下的Bertrand寡頭競爭模型和Hotelling模型的動態演化特征，建立了基于邊際利潤的價格調整過程，分析了系統均衡點的存在性和穩定性條件，發現提高預期調整速度會導致系統不穩定甚至出現混沌現象。Peng Yu和Lu Qian[13]考察了有限理性條件下Stackelberg寡頭模型的競爭演化，提出了基于邊際利潤的產量調整過程，構建了博弈的動態演化方程，分析了均衡點的存在性及穩定性，討論了參數變化可能導致的混沌現象，并進一步給出了混沌控制。Bishci等[14]將動態古諾寡頭競爭模型做了進一步推廣，分析了N個企業和兩種學習方式下的動態均衡、穩定性條件、以及均衡不穩定情況下的動力學特征。

國內方面，許多文獻對市場競爭模型中的有限理性行為和非線性特征進行了研究，為開展進一步的研究提供了理論借鑒。盛昭瀚等[15]較早地研究了經濟中的混沌現象，對經濟時序動力系統實測數據的混沌特性進行了統計分析，并提出了混沌經濟系統的分岔控制思想及實現途徑[16]。馬軍海等[17]研究了非線性動力系統在處理混沌經濟時序方面的預測方法。李煜等[18]討論了帶延遲決策的雙寡頭壟斷市場的動態演化行為，發現引入延遲決策的企業將具有更大的相對競爭優勢。方志耕等[19]基于有限理性構建了雙寡頭戰略定產模型，并討論了阻尼納什均衡的存在性。徐峰等[20]將基于延遲有限理性的雙寡頭模型應用于廣告博弈分析中，發現在混沌時適當地選取延遲變量將會提高企業的競爭優勢和系統的穩定性。張新華等[21]運用有限理性動態和自適應動態，構建了電力市場中發電商的報價滯后動態模型，發現引入滯后因子有利于報價系統的穩定。馬軍海和彭靖[22]研究了多期延遲決策情況下的寡頭競爭演化特征，發現仍會存在混沌現象。胡榮等[23]研究了有限理性的雙寡頭R&D動態競爭模型，分析了動態均衡的穩定性，并討論了R&D投入調整速度對雙寡頭前期利潤的影響。于維生和于羽[24]研究了基于Bertrand推測變差模型的寡頭動態競爭，發現當產量調整速度不在穩定區域內時，市場將會出現混沌現象。馬軍海和吳可菲[25]采用延遲有限理性模型研究了國內啤酒市場的四寡頭價格動態博弈，分析了市場中出現的混沌現象和不同參數條件下的動態演化過程。高廣鑫和樊治平[26]分析了網上臨時一口價拍賣中投標者的有限理性行為，并通過構建賣方期望收益模型優化了賣方的拍賣策略。

本文將借鑒上述文獻的分析方法來研究序貫價格競爭的動態演化特征。與現有的文獻相比，本文的創新之處主要體現在以下幾個方面：(1)構建了一類與現實市場較接近的序貫價格競爭模型，與傳統的Bertrand模型不同，為刻畫相關企業的動態博弈提供了分析工具。另外，與一般的延遲有限理性模型也有所不同，本文模型中企業當期的報價會受其他企業前一期報價的影響。(2)上述文獻中模型的邊界解往往不是穩定的均衡點，不過，本文所構建的序貫價格競爭模型中，除了納什均衡點，邊界解也是穩定的均衡點，并且能夠使跟隨企業獲得比納什均衡價格高的銷售價格。因此，單純的跟隨報價策略會是一定條件下的均衡策略。(3)除了預期調整速度會帶來市場的波動之外，本文還發現報價跟隨程度也會影響市場的穩定性，為了平穩市場，監管部門和行業組織可以增強企業之間在定價上的跟隨程度。

2 序貫價格競爭模型

2.1 基本模型

考慮只有兩個生產企業的市場，企業用i=1,2表示。兩個企業生產的產品完全同質。企業的邊際生產成本分別表示為c1和c2，不考慮固定生產成本。假設生產規模報酬不變。

企業2是市場龍頭企業，擁有較大的市場份額和價格影響力。企業1的市場規模較小，在定價上采取跟隨策略，同時對下游有一定的議價能力。企業采取“以銷定產”的方式進行生產，具體的定價模式如下。

對比企業1和企業2的定價模式可以發現，企業1隨行就市進行銷售，定價依賴于前一期的信息，當期報價早于企業2，其定價會面臨較大的不確定性。相對于企業2，如果企業1定價過高，則可能會失去客源；如果定價過低，則會降低盈利水平。企業2在期末進行定價，能夠充分利用當期的信息，并能夠權衡對未來行情的預期，在定價上具有更大的主動權。

假設下游企業同時在企業1和企業2采購。這比較符合現實情況。在實際中，下游企業很少采用單一的原料采購渠道。為了保障生產的穩定運營，降低原料供應中斷風險，企業會采用多種原料采購方式和采購渠道，比如市場現價采購與長期協議采購相結合。所以，下游企業不會因為某上游企業的報價低就全部從該企業采購原料，也不會因為某上游企業報價高就中止與該企業的合作。這也是本模型與傳統寡頭競爭模型的不同點。

(1)

(2)

企業1和企業2的生產利潤分別為：

π1(t)

={a-b[δp2(t-1)+(1-δ)p1(t)]}

[δp2(t-1)+(1-δ)p1(t)-c1]

(3)

(4)

企業通過定價來最大化利潤，由此可以得到均衡條件：

(5)

在達到均衡時有p2(t-1)=p2(t)，可以解出納什均衡為：

(6)

可知，若δ較大，企業1對企業2的跟隨程度較大，則企業1均衡報價受企業2生產成本的影響會較大，企業2的均衡報價受自身生產成本的影響會較小。若η較大，企業2受企業1的影響較大，則企業1均衡報價受自身生產成本的影響會較小，企業2均衡報價受企業1生產成本的影響會較大。

令π(t)=π1(t)+π2(t)。通過驗證可知，均衡時有：

(7)

(8)

結合(5)式可得：

(9)

(10)

所以，均衡解滿足兩企業利潤之和的最大化條件。這意味著該均衡解也是帕累托最優解。市場處于納什均衡時實現了帕累托最優。

達到均衡時，企業1和企業2的市場銷售價格分別為：

(11)

該結果與Bertrand模型的結果[6]類似。均衡時企業的市場銷售價格仍然取決于需求函數和自身的生產成本，不受δ和η的影響。

2.2 有限理性模型

Bishci和Naimzada[5]、Zhang Jixiang等[9]等研究了寡頭競爭的有限理性模型。在現實經濟中，市場可能是信息不完備的，企業進行生產決策時也是不完全理性。一種比較合理的假設是，企業根據其邊際利潤情況來調整產量或價格。利潤增加，企業會相應調高產量或價格。Dixit[27]把這種生產調整方式稱為企業的短視行為。本文假設企業按這種方式來調整策略性報價，價格調整服從映射：T:p(t)→p(t+1)，定義如下：

(12)

其中，αi(pi)為正函數，衡量了企業i價格調整的幅度，與企業報價有關。通過線性化處理可得αi(pi)≈αipi，其中αi>0。(12)式界定了企業的有限理性行為，αi能夠反映企業的理性水平。αi取值大于0，表明企業對利潤變動進行正反饋，當調高價格能夠帶來正利潤時，企業會調高價格。當αi接近0時，企業對價格的判斷為幼稚性預期，認為下一期價格等于當期價格，沒有對市場變化做出反應。當αi非常大時，企業對利潤變動的反應較快，能夠及時調整策略來獲取更多利潤。

根據以上結果可以得到企業1和企業2進行價格決策的動態方程：

Γ:

(13)

為了考察該動態系統的穩定性，將其改寫成如下形式：

(14)

計算可得動力系統Γ′的4個均衡解：

(15)

(16)

命題1均衡點E1不穩定。

證明：

J(E1)=

(17)

由于J(E1)的特征值滿足：

λ1=0，λ2=1+α1(1-δ)(a+bc1)>1，

λ3=1+α2η(a+bc2)>1，

所以E1不穩定。

命題2均衡點E2局部漸近穩定，若以下條件成立：

(18)

證明：

(19)

當命題2中條件成立時，由于J(E2)的特征值滿足：

(20)

所以E2局部漸近穩定。

命題3均衡點E3局部漸近穩定，若以下條件成立：

(21)

證明：

(22)

當命題3中條件成立時，由于J(E3)的特征值滿足：

(23)

所以E3局部漸近穩定。

命題1表明，兩個企業都不報價，會導致市場價格為0，將不是穩定的狀態。命題2-3表明，邊界點在一定條件下是穩定的均衡點，即單方跟隨策略是穩定策略。

命題2給出了企業1單方跟隨企業2報價的條件，即在企業2的報價下，企業1能獲得比納什均衡價格更高的價格。在邊界點附近企業1的價格演化速度：

處于區間(-2,0)內。企業2的價格演化速度：

處于區間(-2,2)內。也就是說，為了實現穩定的跟隨策略，企業2的價格演化速度不能過快，企業1的演化速度不能過慢。

命題3給出了企業2單方跟隨企業1報價的條件。在該條件下，企業2能獲得比納什均衡價格更高的價格，同時在邊界點附近企業2的價格演化速度不能過慢，企業1的價格演化速度不能過快。

為了討論均衡點E4的穩定性，我們將檢驗Jury判據是否成立。系統Γ'在均衡點E4處的Jacobian矩陣為：

(24)

其特征多項式為：

f(λ)=λ3+γ2λ2+γ1λ+γ0，

其中，

根據Jury條件，均衡點E4穩定的充分必要條件為矩陣J*(E4)的特征值絕對值小于1，進一步可得：

(25)

由此可以得到命題4。

命題4如果條件(25)成立，則均衡點E4局部漸近穩定。

命題4給出了納什均衡在有限理性條件下漸近穩定的條件。當下游需求函數和企業定價規則給定后，納什均衡點的漸近穩定性取決于報價調整速度α1和α2。圖1陰影部分給出了一定參數條件下，由α1和α2構成的均衡穩定區域。

圖1 由α1和α2構成的均衡穩定區域(a=3,b=1,c1=1,c2=0.1,η=0.78,δ=0.5)

3 數值仿真分析

本小節將對模型進行數值仿真分析。可以看到，當參數變化時系統會出現復雜的動力學現象，穩定的均衡點會變得不再穩定。

圖2和圖3顯示，在給定需求函數和定價規則的條件下，當α1和α2處于穩定區域時，系統在納什均衡點表現穩定。不過，隨著α1和α2提高，納什均衡點變得不穩定，系統呈現了明顯的分岔和混沌現象。

圖2 系統隨α1變化出現分岔(a=3,b=1,α2=1,c1=1,c2=0.1,η=0.78,δ=0.5)

圖3 系統隨α2變化出現分岔(a=3,b=1,α1=1,c1=1,c2=0.1,η=0.78,δ=0.5)

圖4顯示了當α1取不同值時，系統出現的混沌特征。當α1=1.05時，系統處于納什均衡點，表現穩定。當α1=1.15時，均衡點的穩定性下降，系統開始偏離均衡點，并在其周圍形成了極限環。當α1=1.25時，系統出現了明顯的分形結構。當α1=1.35時，系統軌線折疊壓縮，形成了奇異吸引子。系統的復雜性隨著α1值的提高而增加。

圖4 系統隨α1變化出現混沌特征(a=3,b=1,α2=1,c1=1,c2=0.1,η=0.78,δ=0.5)

圖5顯示了當α2取不同值時，系統出現的混沌特征。當α2=1時，系統處于納什均衡點，表現穩定。當α2=1.1時，均衡點的穩定性下降，系統開始偏離納什均衡點，并在其周圍形成了極限環。當α2=1.2時，系統出現了奇異吸引子。當α2=1.3時，系統呈現混沌狀態。系統的復雜性隨著α2值的提高而增加。

圖5 系統隨α2變化出現混沌特征(a=3,b=1,α1=1,c1=1,c2=0.1,η=0.78,δ=0.5)

圖6顯示當δ較小時，系統會出現分岔現象，系統均衡點不穩定。不過，隨著δ增大，分岔減弱并逐漸消失，顯示系統均衡點的穩定性增強。圖7顯示當η較大時，系統會出現分岔現象，系統均衡點不穩定。不過，當η減小時，系統均衡點的穩定性會增強。圖6-7的結果表明，當企業對另外一家企業報價的跟隨程度較低時，容易產生不穩定性。反之，如果企業對另外一家企業報價的跟隨程度較高，則市場報價會趨于相對穩定的狀態。

圖6 系統隨δ變化出現分岔現象(a=3,b=1,α1=0.7,α2=0.8,c1=1,c2=0.1,η=0.7)

4 結語

本文構建了兩個企業的序貫價格競爭模型，并考察了基于有限理性調整的動態系統。研究表明，在一定參數條件下，完全信息情況下的靜態納什均衡也是有限理性情況下動態演化的局部穩定均衡。基于有限理性的動態博弈過程可以實現基于完全信息的納什均衡。另外，邊界點，即單純的一方跟隨策略，也是動態博弈過程的局部穩定均衡點。在不降低一方銷售價格的情況下，單純跟隨策略能夠實現比納什均衡價格更高的銷售價格。當企業的生產成本較低，且在定價規則中對另一個企業的跟隨程度較高時，企業可以選擇不報價，而是采取單純跟隨另一個企業的報價。進一步可以發現，當兩個企業的成本相同時，定價規則中對另一企業的跟隨程度越高，越能夠通過單純跟隨策略獲利。

在現實中，小企業的邊際生產成本會比大企業高，只要二者的成本相差不要太大，通過調整其定價規則中大企業報價所占的權重，使得命題2中的條件成立，則小企業就可以采取單純跟隨策略來獲得較高的銷售價格。另外，當對另一個企業報價跟隨程度較低時，市場很難形成穩定的均衡價格，會出現混沌現象，不利于企業的穩健經營。因此，提高對另一個企業的跟隨程度，將會有助于平穩市場，對企業的長期生產經營也會較有利。當經濟波動較劇烈時，監管部門和行業組織可以對企業的定價機制進行相關的引導。

在一些規范不足、組織散亂的市場中，由于缺乏權威的市場基準價格，企業的報價有時會較隨意，在相互競爭的過程中也會出現盲目報價、惡性競爭的情況，使市場陷入混亂的局面。本文的研究結論表明，通過發布市場基準價格，如產品價格指數、商品期貨價格等，引導企業根據基準價格來進行報價，將會有助于市場的有序運行。

本文研究還表明，當企業預期調整速度處于一定的穩定區域時，動態博弈可以實現納什均衡。不過，當企業預期調整速度過快時，將會導致動態過程出現混沌，市場對未來價格的預測能力將會大幅下降，從而不利于穩定生產經營。所以，在現實中，行業協會等相關組織可以通過管理企業預期來平穩市場。我們也經常會來看，當經濟出現劇烈變化和不確定性的時候，企業通過召開行業會議來調節預期，在一定程度上實現了對市場的平穩管理，避免出現較大的波動。

本文所建立的序貫價格競爭模型主要適用于存在定價主導企業和跟隨企業的市場情景，企業在定價時序上存在序貫特征。本模型考察了兩個企業的情況，當存在多個跟隨企業或多個主導企業時，企業之間的交互作用將會使模型更加復雜，也是值得后續進一步研究的地方。另外，本模型假設下游企業是價格接受者。在現實中，下游企業也有一定的議價能力。如果考慮下游企業對上游企業定價的影響，模型將會更貼近現實，后續可以對此做進一步研究。本文中，企業的有限理性主要體現為根據邊際利潤來調整價格。現實中企業的學習規則會相對復雜，價格調整周期也是多樣性的，后續可以從這些方面來對模型做進一步的改善。