基于一致性度量的概率模糊語言多屬性群決策方法

任嶸嶸，孟一鳴，李曉奇，趙 萌,3

(1.東北大學工商管理學院，遼寧 沈陽 110819；2.東北大學理學院，遼寧 沈陽 110819；3.東北大學秦皇島分校，河北 秦皇島 066004；4.河北省科普信息化工程技術研究中心，河北 秦皇島 066004)

1 引言

隨著客觀事物的不斷發展，由于決策環境的復雜性、不確定性以及決策者對評價對象的主觀認識，僅用精確數難以全面和真實表達決策者對客觀事物的認知[1-2]。在實際的決策過程中，人們更喜歡通過語言術語來表達他們的偏好，因此建立語言信息模型是十分必要的[3]。為此，Xu Zeshui[4]提出了一個下標對稱可加的語言術語集(Linguistic Term Set， LTS)，但有時計算和分析起來不方便；為了保留所有的語言信息,又將離散的LTS擴展成連續的LTS(或叫做虛擬LTS)，在此基礎上，Liao Huchang等[5]建立了虛擬語言項與和它們相關的語義之間的映射。隨著模糊理論的不斷發展，利用猶豫模糊信息來刻畫現實不確定性的情景十分常見。Torra和Narukawa[6]、Torra[7]提出了猶豫模糊集(Hesitant Fuzzy Set,HFS)，Rodríguez等[8]在結合LTS與HFS提出了一個新的概念，猶豫模糊語言術語集(Hesitant Fuzzy Linguistic Term Set,HFLTS)，針對某些屬性或方案，決策者可能猶豫不決，因此可以通過幾個可能的語言項對其進行評價；Rodríguez等[8-9]定義了HFLTS的基本運算；Wang Hai[10]簡化了HFLTS的運算，王堅強和吳佳亭[11]定義了HFLTS的距離和優序關系，并在此基礎上提出了HFLTS的多準則決策方法；Wei Cuiping等[12]根據概率理論構建了HFLTS的可能度公式，并提出HLWA以及HLOWA算子，據此提出了HFLTS的多屬性群決策方法；Beg和Rashid[13]擴展了具有替代準則意見決策者的HFLTS模糊TOPSIS方法；Liao Huchang等[5]定義了不同類型的HFLTS的距離以及相似性度量方法，并將其應用于多準則決策問題，Wu Zhibin和Xu Jiuping[14]定義了HFLTS的可能性分布概念以及一致性度量方法，在此基礎上提出HFLTS的多屬性群決策方法；陳秀明和劉業政[15]定義了多粒度HFLTS的概念以及距離公式，并將距離公式結合滿意度公式提出了群體推薦方法；葛淑娜和魏翠萍[16]提出了二元語義的猶豫模糊語言決策方法。

然而，目前大多數關于猶豫模糊語言術語集的研究，決策者給出的可能值都有相同的重要性或權重，很明顯這種情況不符合現實，在實際決策過程中，決策者可能對于某些語言術語具有一定的偏好，因此，在HFLTS中決策者對于不同的語言項所賦予的權重可能會有不同，如果權重的值類似于概率分布，評價信息不僅包含了幾個可能的語言術語，而且包含了概率信息。Pang Qi等[17]在HFLTS的基礎上，考慮到各決策者對于不同語言術語的偏好問題提出了概率型語言術語集(Probabilistic Linguistic Term Set, PLTS)的概念，并表明PLTS不僅可以由決策者根據自己對于個語言項的偏好給出評價；同時在大群體決策過程中，可以根據不同群體決策者的評價語言項出現的概率得到PLTS，同時，在處理信息不完全問題時，也可以通過標準化將決策者評價信息用PLTS表示，并基于PLTS提出了PLTS的多屬性群決策問題。GouXunjie和Xu Zeshui[18]定義了PLTS新的運算規律，避免運算超出語言集，并且使運算后保持概率信息完整；Liu Peide和Teng Fei[19]給出了PLTS的PLAMM算子等四種不同算子以及PLTS的多屬性決策過程；Bai Chengzu等[20]給出了PLTS的比較方法，利用圖表方法分析PLTS的結構提出PLTS的可能度公式；Zhang Yixin等[21]從偏好關系圖角度討論概率語言偏好關系(Probabilistic Linguistic Preference Relation, PLPR)，并通過PLPR的一致性指數度量其一致性，同時提出了PLPR不可接受一致性的優化方法。Liao Huchang等[22]利用PLTS表示給定標準的替代方案的偏好，并提出一種線性規劃方法來解決概率語言信息的多屬性決策問題。Wu Xingli和Liao Huchang[23]根據新的PLTS距離度量方法提出概率語言全局偏好得分函數以及三種概率語言偏好強度公式。Xie Wanying等[24]將AHP方法應用到概率語言環境，重新定義概率語言比較矩陣及新的一致性指數，并提出檢驗和改進PLCM一致性的方法。Zhang Xiaofang等[25]提出了PLTS的相關性度量方法，并基于改進的聚類算法將其應用于保險公司的客戶關系管理。

由于PLTS的自身優勢，將其應用于決策問題具有重要意義。然而現有的關于PLTS的研究主要集中在集結方法和排序方法上，而忽視了PLTS的多屬性群決策方法的研究。在文獻[17]中提出了PLTS的多屬性群決策，但其中沒有涉及到決策者權重的集結，通過該方法得到的排序結果通常適合具有絕對優先級的PLTS，不符合實際情況。因此進一步研究PLTS的多屬性群決策方法有很重要的意義，在群決策方法研究中主要關注兩個方面：集結方法以及決策者之間的一致性的度量[26]。一方面在集結方法上：Beg和Rashid[13]匯總不同專家或決策者關于不同標準的意見提出了猶豫模糊語言術語集的集結方法；Zhang Zhen和Guo Chonghui[27]基于二元語言集結算子和分布語言集結算子提出了猶豫語言聚合算子并應用于多屬性群決策中；Wu Zhibin[28]提出了HFLTS的加權平均算子和有序加權平均算子，利用HLFTS解決多屬性決策過程；但由于PLTS涉及到概率信息，現有的HFLTS的集結方法不適用于PLTS，隨后Pang Qi等[17]提出了PLTS的集結方法，該方法計算簡便，但集結結果缺少概率信息；為此Gou Xunjie和Xu Zeshui[18]提出了PLTS的新的集結方法，該方法包含了概率信息，但多次集結會導致集結結果的不合理，導致評價信息出現誤差；Zhang Yixin等[21]提出了PLTS新的集結方法，該方法的集結結果概率信息差異不明顯并且與決策者初始評價信息不相符，導致評價信息失真；另一方面在一致性度量問題上：Liao Huchang等[5]基于所提出HFLTS的距離和相似性度量，建立不同備選方案的滿意度，然后用于在多標準決策中對備選方案進行排序。Sun Bingzhen和Ma Weimin[29]提出了兩個語言值和兩個語言偏好關系之間的相似度概念以及一種衡量具有語言偏好信息的群決策中個體偏好關系與集體(群體)偏好關系之間一致性的方法。Wu Zhibin和Xu Jiuping[30]等引入基于概率分布的HFLTS，利用個體與群體決策矩陣之間的距離來定義一致性程度；Wu Zhibin[31]從成對替代方案、替代方案和偏好關系三個水平上定義提出了猶豫模糊語言偏好關系的一致性過程。Rodríguez和Martínez[32]提出了猶豫模糊語言信息群決策中獲取高度一致性的解決方法；關于PLTS的一致性研究較少，Zhang Yixin等[21]通過PLTS引入PLPR的概念，定義PLPR的一致性指數利用集結運算獲取備選方案的排序，但沒有涉及到具體的PLTS的多屬性群決策方法的研究。

從已有的研究可以看出，PLTS的研究剛剛起步，已有的集結方法適用于PLTS多屬性群決策的研究較少，現有的PLTS集結方法不僅在計算上比較復雜且集結結果存在不合理性；關于PLTS的多屬性群決策方法的研究中，缺少對于決策者一致性的研究。因此有必要對PLTS群決策的集結方法和一致性度量方法進行研究，本文借鑒LTS的相似度量方法，定義PLTS的相似度度量公式，根據現有PLTS的集結公式存在的問題給出新的集結方法，基于相似度量以及集結公式提出具體的PLTS多屬性群決策方法，使PLTS的集結方法以及群決策結果更加合理，為解決現實生活中的多屬性群決策問題提供重要的方法基礎。

2 預備知識

定義2.1[33]：令S={st|t=0,1,…g}或S={st|t=-τ,…-1,0,1,…τ}是一個奇數項的語言集，其中，中間項表示評價值大約為0.5，或者“無差異”，其余的語言標簽對稱排列。

定義2.3[20]：令L(p)={L(k)(p(k))|k=1, 2, …#L(p)}是一個概率型語言術語集，r(k)是語言項的下標，令L-=min(r(k))，L+=max(r(k))分別是L(p)的最小和最大邊界。

定義2.4[20]: 令S={st|t=-τ,…-1,0,1,…τ}或S={st|t=0,1,…g}是一個語言集，L1(p)和L2(p)是兩個概率型語言術語集，L1(p)不小于L2(p)的可能度公式為：

其中,a(L1)-表示橫軸為L-,縱軸坐標為p=p(L-)所圍成的面積,a(L1)+表示橫軸為L+,縱軸坐標為p=p(L+)所圍成的面積,a(L1∩L2)表示L1與L2中相同語言項下標r(k)及其概率p相交部分的面積之和。

注：(1)如果L1(p)和L2(p)沒有相同的語言項，則有p(L1(p)≥L2(p))=1或0；如果L1(p)=L2(p)，則p(L1(p)≥L2(p))=0.5。

定義2.5[20]:如果p(L1(p)≥L2(p))>p(L2(p)≥L1(p))，L1(p)優于L2(p)的程度表示為：L1(p)?P(L1(p)≥L2(p))L2(p)；如果p(L1(p)≥L2(p))=1，則L1(p)絕對優于L2(p)；如果p(L1(p)≥L2(p))=0.5，則L1(p)與L2(p)無差異，表示為L1(p)～L2(p)。

性質2.1[20]：p(L1(p)≥L2(p))+p(L2(p)≥L1(p))=1，尤其是當L1(p)=L2(p)時，p(L1(p)≥L2(p))=p(L2(p)≥L1(p))=0.5。

性質2.2[20]：令S={st|t=-τ,…-1,0,1,…τ}或S={st|t=0,1,…g}是一個語言集，L1(p)，L2(p)和L3(p)是S上的三個概率型語言術語集。

(1)若p(L1(p)≥L2(p))>0.5，p(L2(p)≥L3(p))≥0.5或p(L1(p)≥L2(p))≥0.5，p(L2(p)≥L3(p))>0.5，則有p(L1(p)≥L3(p))>0.5；

(2)若p(L1(p)≥L2(p))=0.5，p(L2(p)≥L3(p))=0.5，則有p(L1(p)≥L3(p))=0.5。

3 理論基礎

3.1 概率型語言術語集的集結方法

(2)λL(p)={η(k)(λp(k))}，k=1,2,…,#L(p)，λ∈[0,1]；

注：若L1(p)和L2(p)的語言項不同，將L1(p)和L2(p)擴展為相同語言項，并令新增的si概率為0，即添加si(0)。

(1)L1(p)⊕L2(p)=L2(p)⊕L1(p)；

(2)λ(L1(p)⊕L2(p))=λL1(p)⊕λL2(p)；

(3)λ1L(p)⊕λ2L(p)=(λ1⊕λ2)L(p)。

證明：

(1)顯然成立。

其中，w=#L1(p)+#L2(p)-#(L1(p)∩L2(p))

(3)(λ1L(p)⊕λ2L(p))={η(1)((λ1p(1)+λ2p(1))),η(2)((λ1p(2)+λ2p(2))),…,η(w)((λ1p(w)+λ2p(w)))(λ(p(w)+p(w)))}={η(1)((λ1+λ2)p(1)),η(2)((λ1+λ2)p(2)),…,η(w)((λ1+λ2)p(w))}=(λ1+λ2)L(p)

3.2 概率型語言術語集的相似度量

由定義2.4以及文獻[29]的方法，重新定義了新的概率型語言術語集的相似度。

ρ(L1(p),L2(p))

性質3.2：0≤ρ(L1(p),L2(p))≤1。

(1)ρ(L1(p),L2(p))=?P(L1(p)≥L2(p))=1或P(L2(p)≥L1(p))=1；

定義3.3：令L1(p)，L2(p)是兩個概率型語言術語集，L1(p)與L2(p)之間的偏離度定義如下：

d(L1(p),L2(p))=1-ρ(L1(p),L2(p))=|P(L1(p)≥L2(p))-P(L2(p)≥L1(p))|。

性質3.3：0≥d(L1(p),L2(p))≤1。

(2)d(L1(p),L2(p))=1?P(L1(p)≥L2(p))=1或P(L2(p)≥L1(p))=1。

定義3.4：令Lk(p),Lm(p)是兩個概率型語言術語集，其中Lk(p)={Lk1(p),Lk2(p),…,Lki(p),…,Lkn(p)}，Lm(p)={Lm1(p),Lm2(p), …,Lmi(p),…,Lmn(p)}，定義Lk(p),Lm(p)之間的相似度為：

定理3.1令Lk(p),Lm(p)是任意兩個概率語言集，有：

(1)0≤ρ(Lk(p),Lm(p))≤1；

(2)ρ(Lk(p),Lm(p))=ρ(Lm(p),Lk(p))。

定義3.5：令Lk(p),Lm(p)是兩個概率語言集，其中Lk(p)={Lk1(p),Lk2(p),…,Lki(p),…,Lkn(p)}，Lm(p)={Lm1(p),Lm2(p),…,Lmi(p),…,Lmn(p)}，定義Lk(p),Lm(p)之間的偏離度為：

性質3.4：令Lk(p)，Lm(p)是任意兩個概率語言集，有：

(1)0≤d(Lk(p),Lm(p))≤1；

(2)d(Lk(p),Lm(p))=d(Lm(p),Lk(p))。

證明：

例3.1：某企業擬選取某種材料作為生產原材料，對于候選材料x進行評價，語言評價集為：S={很差,差,一般,好,很好}或S={-2,-1,0,1,2}，為了能夠得到更加合理的評價結果，現有4名決策者d1,d2d3,d4對于候選材料x給出的評價信息如下：

d1={s-1(0.1),s0(0.6),s1(0.3)}

d2={s-1(0.3),s0(0.5),s1(0.2)}

d3={s0(0.5),s1(0.5)}

d4={s0(0.4),s1(0.6)}

決策者d1,d2,d3,d4之間的一致性如下：

ρ(d1,d4)=0.636；

ρ(d1,d3)=0.727；

ρ(d1,d2)=0.727；

ρ(d1,d1)=1.

由定義3.2、定義3.4，得出：

計算結果進一步驗證了定理3.2的合理性。

4 決策方法

4.1 問題描述

PLTS是HFLTS的一種特殊情況，在實際應用中，PLTS具有兩種形式：一種是由決策者根據自身偏好直接進行評價，另一種形式是根據不同組決策者根據各個語言項進行評價時，匯總各個語言項出現的概率來獲取PLTS[17]。本章的重點提出一種基于一致性度量的PLTS下的多屬性群決策方法。下面以第二種形式獲取PLTS，給出具體的PLTS的多屬性群決策方法：決策中，將全體決策者根據某一特征進行分組，通過不同組決策者的評價信息獲取PLTS，如圖4.1所示，對于不同組別的決策者在決策過程中，其評價信息對于決策結果可能存在不同的重要性，因此在決策過程中需要考慮到各組評價信息對于決策結果的權重問題。因此需要利用各組決策者之間的一致性來確定各組的權重。通過考慮各組與整個群體之間的相似性來確定權重，使得與群體相似性較高的組別在決策過程中具有更高的權重，而與群體評價偏離程度較高的組別具有更小的權重，以使決策結果更加合理。在決策過程中需要對各個指標進行評價，然而其中每個指標會具有不同的屬性，為了使結果更加合理，需要確定各個屬性的權重。本文采取層次分析法(AHP)確定各個屬性的權重，并將各個屬性進行集結，使每個指標對應一個PLTS。最后，根據PLTS的排序方法對不同指標進行比較得到最終的決策結果。對于第一種PLTS的獲取方式的多屬性群決策問題，該決策方法同樣適用。以下是幾個貫穿全文的表示：

X={x1,x2,…,xn}表示n個待評價指標的集合；

D={d1,d2,…,dm}表示m組決策者；

C={c1,c2,…cp}表示每個指標的p個屬性；

S={-2,-1,0,1,2}表示給定的語言術語；

圖4.1 各組決策者共同決策

4.2 算法流程

第一步：獲得屬性C={c1,c2,…cp}每組決策者對待評指標xi∈X(i=1,2,…,n)的PLTS：

(k=1,2,…,m,i=1,2,…n,j=1,2,…,p)。

(j=1,2,…,p)

(k=1,2,…,m,j=1,2,…,p)

第五步：通過AHP得到屬性權重w=(w1,w2,…,wp)T，并在指標xi下，將屬性cj(j=1,2,…,p)的評價信息進行集結，得到Li(p)(i=1,2,…,n)。

第六步：建立可能度公式

通過比較Li(p)(i=1,2,…,n)，建立可能度矩陣P

其中pij=p(Li(p)≥Lj(p))(i,j=1,2,…,n)。

第七步：根據[33]中方法從互補判斷矩陣P獲取優先級：

v=(v1,v2,…vn)T

第八步：令v′=(vk1,vk2,…vkp)T是v的排序向量，則指標Li(p)(i=1,2,…n)的排序為：

Lk1(p)?P(Lk1(p)≥Lk2(p))Lk2(p)?…

?P(Lkp-1(p)≥Lkp(p))Lkp(p)；

因此指標xi的排序為：

xk1(p)?P(Lk1(p)≥Lk2(p))xk2(p)?…

?P(Lkp-1(p)≥Lkp(p))xkp(p)。

專家直接給出的PLTS的多屬性群決策情況，與上面所述方法相同，只是PLTS的獲取方式不同，因此上述算法同樣適用于由專家直接給出PLTS的多屬性群決策問題。

4.3 實例分析

某地為推廣實現科普工作，需要了解各科普信息傳播方式的有效性，以更好的推廣科普知識，根據相關資料查詢，將科普傳播方式分為三類：科普圖文資料(x1)，傳統傳媒方式(x2)，新興網絡方式(x3)，將全部決策者按照年齡進行分組，即D={d1,d2,d3}，回收有效問卷531份，分別對以上三類傳播方式的不同屬性進行評價：信息真實程度(c1)、內容豐富性(c2)、獲取難易程度(c3)、趣味性(c4)、信息豐富程度(c5)，根據語言集S={很差，差，一般，好，很好}(S={-2,-1,0,1,2})分別對以上屬性進行評價，并根據本文的決策方法進行決策，具體過程如下：

第一步:根據問卷調查的結果進行分組，得出三組決策者的概率語言信息評價值，由于論文篇幅有限，以c1為例：

表1 屬性c1下決策者d1的概率語言信息的評價值

表2 屬性c1下決策者d2的概率語言信息的評價值

表3 屬性c1下決策者d3的概率語言信息的評價值

表4 屬性cj下dk相對群體的相似度

表5 屬性cj下決策者dk的權重

第四步：在屬性c1下集結方案xi(i=1,2,3)的PLTS，得到xi(i=1,2,3)的PLTS分別為：

s0(0.340),s1(0.317),s2(0.095)}

s0(0.311)，s1(0.452)，s2(0.134)}

s0(0.237)，s1(0.458)，s2(0.214)}

第五步：通過層次分析法得出屬性權重為w=(0.298,0.158,0.298,0.158,0.088)T，求出xi(i=1,2,3)的綜合評價值為：

L1(p)=(s-2(0.074)，s-1(0.250)，

s0(0.357)，s1(0.238)，s2(0.081))

L2(p)=(s-2(0.069)，s-1(0.174),

s0(0.335),s1(0.331),s2(0.091))

L3(p)=(s-2(0.041),s-1(0.144),

s0(0.263),s1(0.396),s2(0.156))

第七步：求出v=(v1,v2,v3)T=(0.304,0.317,0.379)T。

第八步：排序向量v′=(0.379,0.317,0.304)T，則指標Li(p)(i=1,2,3)的排序為L3(p)?0.616L2(p)?0.657L1(p)。xi的排序為x3?0.616x2?0.657x1。最好的指標是x3。

5 對比分析

5.1 集結方法的對比

為了證明本文提出的集結方法的有效性，將上述案例中屬性c1下，指標x1，x2，x3的各組評價信息進行集結，并分別與文獻[18]、文獻[21]方法得到的集結結果進行對比，結果如下：

對比本文與文獻[18]、文獻[21]的集結方法，不同之處在于：(1)對于具有n維下標的語言集，進行m次集結時，本文方法需要進行n次運算，而對比文

表6 本文方法的集結結果

表7 文獻[18]方法的集結結果

表8 文獻[21]方法的集結結果

獻[18]、文獻[21]則需要進行nm次運算，因此當集結次數較大時，文獻[18]、文獻[21]涉及的計算量較大，需要進行多次計算，而本文方法在保持原有語言集下標維度不變情況下計算，在計算上更加簡便；(2)由表6、7、8可以看出，文獻[21]方法在多次集結時，集結結果導致語言集下標分散成多個維度，并且集結結果PLTS中各元素概率較小，在取值上會導致概率信息損失；(3)文獻[18]、與文獻[21]的集結方法導致PLTS的右邊界語言項概率較大，而本文的集結結果元素個數少，并且避免了概率信息的損失，可以明確集結后的語言偏好。

根據相同的排序方法，將三組集結結果進行排序并對排序結果進行對比，結果如下：本文集結方法的排序結果：x3?x2?x1；文獻[18]集結方法的排序結果：x2?x3?x1；文獻[21]集結方法的排序結果：x3?x2?x1。由三組集結方法的排序結果可以得出，本文方法與文獻[21]得出的結果一致，本文集結方法的有效性得以證明。然而文獻[18]的結果與其不一致，因此，當進行多個維度的多次集結時，文獻[18]中集結方法可能會造成信息損失，從而對排序結果造成影響。

5.2 決策方法對比

利用文獻[17]、文獻[35]中決策方法，對本文中案例進行排序，結果如下表所示：

表9 現有方法的最終結果

從表9中可以看出，文獻[17]的排序結果與本文方法相同，不同之處在于：(1)文獻[17]沒有考慮到群體中可能存在的不同組別決策者可能存在不同的重要性問題，本文方法在決策過程中通過度量相似度從而考慮到不同群體評價信息的權重問題；(2)文獻[17]的方法只有排序結果，而本文方法最終結果包含排序的可能度信息。

文獻[35]與本文方法排序結果相同，都采用了大量評價數據分組處理，但本文的方法不同之處在于：(1)采用不同的評價信息處理方法，文獻[35]采用離散分布描述數據，本文通過PLTS處理評價信息；(2)文獻[35]在決策過程中只考慮組內的一致性問題，忽略了各組的組間一致性；(3)在計算過程中本文方法更加簡便；(4)文獻[35]與文獻[17]相同，只有排序結果，而本文方法最終結果包含排序的可能度信息。

6 結語

本文提出了一種基于PLTS的多屬性群決策的新方法，使用該方法，不僅可以處理大群體決策，而且可以處理由專家直接給出PLTS的群決策問題。根據給出的PLTS，利用已有的LTS的相似度公式確定PLTS的相似度公式，并由該方法獲得決策者權重，利用新的PLTS集結方式集結各決策者的評價信息。通過層次分析法，可以獲得各屬性權重，并對屬性進行集結。根據各指標的綜合評價值，計算各個指標成對比較的可能度，并且可以使用可能度矩陣確定指標的排名情況。本文的主要工作體現在三個方面：

(1)提出了新的PLTS的集結方法，與已有的集結方式相比，該方法的集結結果保留了原有PLTS的語言信息，與專家初始意見保持一致、避免了概率信息的損失，使集結后專家偏好更加明確，在計算上更加簡便；

(2)定義了PLTS相似度量公式，并根據相似度量公式確定了PLTS的各決策者權重，結果表明該方法考慮到決策者之間的一致性問題，可以得到更加合理的集結結果；

(3)基于新的集結方法、以及相似度度量公式進而提出基于一致性度量的多屬性群決策方法，這種方法同時適用于PLTS的兩種獲取方式。該方法考慮了各決策者之間的一致性，通過相似度公式獲取各決策者權重。結果表明該本文方法更加簡便，在進行多維度集結時，避免了集結次數較多造成信息損失，最終的決策結果包括了排序的可能度信息。