特征算子譜表示與特征展開的研究

王宏禹，邱天爽

（大連理工大學電子信息與電氣工程學部，遼寧 大連 116024）

1 引言

在信號分析與處理研究及應用中，特征算子的譜表示與特征展開（特征分解）具有重要意義。特征算子譜表示過去主要在量子力學中用于研究原子譜表示，隨著量子通信技術的迅速發展，量子信號處理理論與應用也將得到快速發展。此外，特征算子的特征展開可用于大數據處理。因此，特征算子譜表示與特征展開的研究是很有意義的。近年來，作者針對特征算子譜表示與特征展開存在的問題發表了3 篇論文，分別是研究特征微分方程的格林函數、特征譜表示及長球面波函數[1-3]，雖然取得了新進展，但仍存在一些理論不清的問題。為此，本文又對其進行了深入研究，得出以下結論。1) 特征微分方程的格林函數g(x,ξ)非常重要，基于對它的研究分別給出厄爾密特微分算子譜表示與厄爾密特積分算子展開式，并給出它們為互逆的關系式。2) 厄爾密特微分算子譜表示式是無窮維的，它比諾伊曼研究法簡單清楚，具有優越性。但是，斯?劉（S-L,Sturm-Louville）特征微分方程都是有限區間的，不能將其用于譜表示的具體實現中。3) 厄爾密特積分算子只能用于特征展開，不能用于譜表示，改正了文獻[2]中可用于譜表示研究的不正確論述。4) 利用矩陣理論中橢球主軸研究成果及長球面波函數[4]二重正交性成果，對特征積分方程的長球面波函數的數學物理意義給出了清楚的解釋。

2 特征算子譜表示

2.1 特征微分方程

在信號處理中，信號展開基函數所用的正交特殊函數均可用如式(1)所示微分算子L的特征微分方程（斯?劉微分方程）[5-6]得到，如式(2)所示。

其中，p(x)和q(x)在所論區間都是連續的，且p(x) > 0；λ為特征值，由無窮個λi組成，當q(x) >0時，λi都不是負數；與λi對應的φi稱為特征函數，φi是正交的；p(x)和q(x)的所論區間為[a,b]，即

將特征值按遞增順序排列，可得到一個無限序列λ1<λ2< …<λi<…，這個序列稱為特征微分方程的譜。在滿足適當邊界條件下，對于2 個函數f(x)與g(x)，式(1)所示微分算子L滿足如式(4)所示的內積關系。

因此，式(1)所示的微分算子L是厄爾密特的。

2.2 特征微分方程的格林函數

任意函數f(x)可表示為正交的歸一化特征函數φk(x)的無限展開式，如式(5)所示。

其中，ck為展開系數。若φk(x)是正交歸一化的，即

則由式(6)可得展開系數ck為

式(5)所示的f(x)可以表示為微分算子L的非齊次微分方程的解，如式(8)所示。

根據線性系統理論，u(x) 為系統的輸入，f(x)為系統的輸出。根據式(2)、式(4)及式(8)，將g=φk代入式(4)中，得

利用式(9)可得式(7)中展開系數ck的表示式，為

將式(10)中ck代入式(5)，可得

其中，

由于式(11)為輸入u(ξ)與輸出f(x)的積分形式，因此g(x,ξ)是與時變系數微分算子L對應的線性時變系統的格林函數[7-9]。當輸入u(x)=δ(ξ?x0)時，得到輸出f(x)如式(13)所示。

即對于線性時變系統，格林函數g(x,x0)為在x0處施加單位脈沖而在x處所得的輸出f(x)。由式(8)與式(13)可得

式(14)表明，厄爾密特微分算子L是其特征微分方程格林函數g(x,x0)的逆算子[10]。

2.3 特征微分算子與格林函數的關系

根據2.2 節的研究，厄爾密特微分算子L與其格林函數g(x,ξ)的關系為Lg(x,ξ)=δ(x?ξ)，當ξ=x時，有

而當ξ≠x時，δ(x?ξ)=0，式(15)關系不存在。將式(6)歸一化特征函數φi(x) (i=1,2,…) 的形式表示成離散和形式，即

根據式(15)，當δ(x?ξ)在ξ=x時，得

式(16)就是厄爾密特微分算子L譜表示無窮維離散和的形式。

2.4 斯?劉問題

對于2.1 節的斯?劉特征微分方程，需要加上邊界條件進行研究，這種研究稱為斯?劉問題。對2.1節斯?劉特征微分方程中的函數p(x)與q(x)做如下假設。設函數p(x)與q(x)及其導數在閉區間[a,b]上均連續，當a 0，而p(a)=0。邊界條件就是限制變量x在閉區間[a,b] 中變化，它自然就是在端點a和b規定的條件。

為了后面研究的需要，本文采用加權斯?劉微分方程的邊值情況說明，如表1 所示。表1 中ρ(x)=1的情況即為通常的斯?劉微分方程，有調和微分方程、勒讓德微分方程及連帶勒讓德微分方程。

式(16)厄爾密特微分算子L譜表示沒有考慮上述邊界值情況的研究結果，因此，不能將表1 中閉區間研究的斯?劉問題λn與φn用于其具體實現。但式(16)的L譜表示在理論上是正確的，因此可以作為一類厄爾密特微分算子L的一種無窮維離散和譜表示。為了說明方便，將式(16)及歸一化特征函數φn(x)描述如下。

厄爾密特算子L的無窮維離散和表示式為

歸一化特征函數離散表示式為

要將式(16)中L表示成積分形式，首先介紹取值的函數，其定義為

表1 加權斯?劉微分方程邊值情況

式(17)中的E(λ)示意如圖1 所示。

圖1 E (λ)示意

由式(17)可得

當各λi(i=1,2,…) 無限接近時，由勒貝格積分可得

其中，lim 表示趨向非常小的劃分區間[i+1,i]，i=1,2,…。

上述研究結果與諾依曼的厄爾密特算子連續譜的表示式相同，并且與之相比數學物理意義更加清晰，具有明顯的優越性。

為了進一步表明式(16)譜表示理論的正確性，下面用2 個正弦譜表示理論來說明。

1) 確定性非周期信號x(t)的傅里葉積分。對x(t)的傅里葉級數展開，x(t)必須在閉區間[ ?l,l]是周期的，但實際應用中的許多信號是非周期的，因此需要解決這個困難問題。有學者給出了回避在[ ?l,l]閉區間周期性的要求，將l擴展成l→∞來解決，得出非周期傅里葉積分。

2) 平穩隨機信號x(t)的譜分解。采用隨機振幅簡諧振動疊加法可得平穩隨機信號x(t)的譜分解，表明x(t)是由無限個頻率由小到大連續變化的隨機幅度簡諧振動疊加而成的[2]。

2.5 加權的斯?劉微分方程

通常的斯?劉微分方程因存在邊界條件問題，只能用于有限區間研究，為此，有學者給出了加權斯?劉微分方程來解決，即

表1 中的埃爾米特微分方程屬于加權的斯?劉微分方程，它的存在區間是(?∞,∞)。因此，可用于研究譜表示算子的實現。這充分表明本文研究的譜算子理論正確清晰且可實現，具有優越性。

3 特征積分算子展開

3.1 積分算子方程與特征積分方程

在數學中，積分算子方程K定義為

其中，K(x,ξ)為核函數。若K(x,ξ)選擇如式(12)所示的特征微分方程的格林函數g(x,ξ)，則，，此外，還應考慮。當輸入u i(ξ)=φ i(ξ)時，由式(21)得

式(22)就是特征積分方程，該特征積分方程具有以下性質。

1) 特征積分方程核函數K(x,ξ)=g(x,ξ)是厄爾密特的。

2) 特征函數φi(x)是正交歸一化的，即。

3) 特征值μi是實數，并滿足1>μ1≥μ2≥ …。這是因為，其中，λi是遞增序。

當積分算子K方程的核函數K(x,ξ)=g(x,ξ)與輸入u=δ(x?ξ)時，得

由于x≠ξ時，δ(x?ξ)=0，因此，當x=ξ時，可將δ(x?ξ)視為 1。實際上，當x=ξ時，δ(x?ξ)=∞，而，于是，積分算子K為

積分算子K中特征值μi是遞減序，不能用于研究特征值遞增序的厄爾密特微分算子L譜表示，而只能用于積分算子特征分解或特征展開的研究。

3.2 橢球的主軸

要對信號的特征算子分解的物理與幾何意義有清楚的了解，有必要介紹數學矩陣特征理論中橢球的主軸。

n維球心位于原點的橢球方程為

若i>j,α ij=αji，令矩陣A=(αij)，i,j=1,2,…,n，A是對稱矩陣，則式(25)可表示為

橢球的主軸是從原點起始并垂直于球上點x的矢量，對n=2 即橢圓情況，如圖2 所示，它有2 個獨立的主軸，且它們是相互正交的。

圖2 橢圓示意

當n=2 時，橢圓的主軸情況可推廣成n>2 時的一般情況。橢球的主軸有一重要性質，即它們是實對稱矩陣A的特征矢量，對此研究描述如下。

若n維曲面Φ(x1,x2,…,xn)=C，C為常數，則有

將式(29)代入式(28)，并考慮aik=aki，有

式(30)是與橢球Φ=1在點x正交的矢量，若x是橢球的主軸，則其也是在該點的正交矢量。因此，它們之間的關系為

其中，μ為實數。式(31)為矩陣A的特征方程，x為其一個特征矢量。由此證明了橢球的主軸x是矩陣A的一個特征矢量。式(31) 有內積關系，因此，橢球主軸長度是μ，主軸坐標位置是。由于必須是正數，因此特征值μ也必須是正數。

上述研究的是n維實對稱特征矩陣一主軸情況，可以將其推廣成無窮維實對稱核函數特征積分方程情況，從而可以得出它們的各特征值與一個無窮維橢球的各主軸相對應。

3.3 長球面波函數

1) 信號分析與處理中的不確定性原理簡介

信號分析與處理中的不確定性原理是信號的時寬D與頻帶寬B不能同時小于一最小值Cmin，即BD≥Cmin。另外，為了有效利用信號，其時寬與頻帶寬不能同時是無限的。這樣，需要解決信號頻帶Ω限于與時間限于信號是什么的問題，這就是所需要研究的長球面波函數信號。

2) 長球面波函數特征積分方程表示式

對于σ?BL（σ帶寬信號表示）信號φ(t)用帶通Ω≥σ的理想濾波器K(t,x)進行無失真濾波，并用的矩形波時間函數進行時間范圍截取，這種情況可表示為

根據特征積分方程理論，核函數K(t,x)的作用是改變原來特征函數φ(x)的“長度”，而“長度”是用特征值μ表述的。這樣，可將式(32)表示為

式(33)就是長球面波函數的特征積分方程表示式。

3) 長球面波函數特征積分方程的性質

①積分方程中特征值μn不是任意的，只是對某些特定值該積分方程才有解，μn是正實數，并且是遞減序的，有

②對每一個μn，對應的特征函數φn(t)在(?∞,∞)區間內構成實正交歸一化函數集，即

其中，m,n=1,2,…。

③任意一個帶限函數（σ?BL）信號f(t)都可展成φn(t)的級數形式，即

其中，

上述3 個性質是一般特征積分方程都具有的，對于長球面波函數特征積分方程，還有一重要的雙重正交性質，即它在也是正交的，有

其中，m,n=1,2,…。

式(37)證明如下。對式(33)兩端乘以φm(t)，從?∞到∞積分，則式(33)左端有

其中，m,n=1,2,…。而式(33)右端改變積分先后順序后，有

于是，由式(38)與式(39)可得

即為證明的式(33)。

4) 長球面波函數物理與幾何意義

根據長球面波函數的雙重正交性質，由式(33)可得

式(40)中等號右邊的離散和表示式可表示為特征函數φi(t)歸一集的表示式，即

根據信號正交投影幾何理論，式(40)與式(41)可表示為

根據3.2 節可知，式(42)可用來說明橢球主軸理論的幾何與物理意義。顯然，μi是橢球上的長度，而是μi在坐標上的坐標位置。為了方便和清楚地表示，給出i=1,2橢圓情況時的示意如圖3 所示，橢圓的最長主軸為最大特征值。

圖3 長球面波函數對應的橢圓情況示意

4 分析與討論

4.1 特征微分算子與譜表示

特征微分方程的格林函數g(x,ξ)=在本文研究中有重要意義。當線性時變系統輸入為δ(x?ξ)時，g(x,ξ)為輸出，與特征微分算子L的關系為

當x=ξ時，有Lg(x,x)=1，，。

4.2 厄爾密特積分因子與特征展開

對于特征積分方程，當其核函數K(x,ξ)選擇為特征微分方程的格林函數時，即K(x,ξ)=g(x,ξ)=，特征值，得特征積分方程為

對特征積分算子方程，若輸入為δ(x?ξ)，有

當x=ξ時，δ(x?ξ)=1，由式(43)得

其中，1>μ1>μ2> …>μn>…為遞減序，于是，厄爾密特積分算子K可用于特征展開或特征分解，而不能用于研究特征譜表示。

4.3 L 與K 的關系

特征積分算子方程的核函數K(x,ξ)為微分算子Lg(x,ξ)=δ(x?ξ)時的格林函數，因此，當x=ξ時，得L與K的關系為

其中，有

由此可得如下結論。

1)λn與μn(n=1,2,…) 的關系為，。

2)L與K的特征值序列可構成如下的一個聯合排序LK=1表明L與K互為逆算子關系，即

μn與λn(n=1,2,…) 序列分界點在1 處。

4.4 橢球主軸與長球面波函數

2) 長球面波函數在一般數學文獻中很少見到其研究成果，但在信號分析與處理文獻中卻有不少研究成果，因為它是由研究信號最優波形設計得出的，并應用于信號展開、最佳窗函數設計等中，至今仍存在理論不清之處，從而影響對其函數名稱的清楚理解。本文根據長球面波函數特征積分方程中雙重正交性質，即，將其補充到上述橢球主軸研究中，可以得出長球面波函數φn(x)幾何與物理意義如下，幾何示意如圖3 所示。

①特征算子K中（n=1,2,…）是橢球坐標系中的坐標軸。

② 特征值μn是與其對應坐標軸上的橢球主軸長度，最大特征值為橢球最長主軸。

③μn所在坐標軸上的坐標值（坐標位置）為。

5 結束語

針對特征算子譜表示與特征展開研究中尚存在的理論不清問題，本文進行了深入研究，得到一些有意義的理論結果。本文首先給出了特征微分方程格林函數與厄爾密特微分算子及厄爾密特積分算子的關系式，表明了厄爾密特微分算子與厄爾密特積分算子的互逆關系，并給出了厄爾密特微分算子的譜表示，指出了有限區間斯?劉特征方程不能用于無窮維譜表示的原因；然后給出了厄爾密特積分算子的特征展開，具有理論上一般性意義，并對特征積分方程的長球面波函數的數學物理意義給出了清楚解釋。本文的研究結果對于進一步深化關于特征算子譜表示與特征展開理論研究具有重要意義。