領(lǐng)悟教材中之法 破解教材外之題
——以一道2019年全國(guó)高考真題多視角解析為例

杜海洋

(四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 610000)

很多時(shí)候我們與學(xué)生交流時(shí)，學(xué)生最愛說(shuō)的一句：“課堂上我聽得懂，就是課后做不來(lái)題.”這應(yīng)該是讓我們老師極其尷尬的，說(shuō)得直白點(diǎn)，就是學(xué)不會(huì)，你也沒策嘛！筆者發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致其主要原因是一部分老師重結(jié)果輕過(guò)程，另就是學(xué)不致用，導(dǎo)致講與練脫節(jié)，未將學(xué)生就近學(xué)習(xí)區(qū)思維激活起來(lái).下面筆者就以在講完解三角形這章內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)，選了一道高考試題進(jìn)行多視角解答，淺議結(jié)合教材知識(shí)學(xué)以致用，以饗讀者.

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

選題理由(1)本題考查三角形的正弦定理和余弦定理、面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，最后考查△ABC是銳角三角形這個(gè)條件的利用.由于題目所求是范圍問(wèn)題，又涉及到銳角三角形，所以在解答中突出解法的靈活性、開放性及細(xì)微性，考查很全面，又涉及本章主干知識(shí)，是一道經(jīng)典的代表題.

(2)一道高考試題具有權(quán)威性，一方面體現(xiàn)本章知識(shí)在高考中的地位程度，另一方面容易讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)認(rèn)真度極大提高.

(3)對(duì)于第(1)問(wèn)求角，這應(yīng)是正弦定理或余弦定理的邊角互化的直接體現(xiàn)，由于等式各項(xiàng)的邊為一次型，即本問(wèn)首選采用正弦定理邊化角的處理策略.對(duì)于第(2)問(wèn)，我們首先會(huì)感悟函數(shù)求最值或值域常用的方法有:函數(shù)單調(diào)性法、不等式法、圖象法、坐標(biāo)法等等，尤其是三角函數(shù)的特殊性有沒有破解這類問(wèn)題“自身”的“獨(dú)門絕技”？高中三角函數(shù)的定義可是單位圓引入的哦，三角函數(shù)圖象用到圓，正弦定理的推導(dǎo)也用到三角形的外接圓，其實(shí)余弦定理推導(dǎo)也可用到圓等等，可見三角形與圓形影不離，那么這類題可以借用圓解不？下面筆者就從這幾個(gè)不同的方面對(duì)此題進(jìn)行探究.

探究一研讀題意同學(xué)們發(fā)現(xiàn)第(1)問(wèn)難度不大，運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和二倍角公式，以及正弦定理，計(jì)算可得所求角.

視角一、目標(biāo)函數(shù)法

方法一以邊為目標(biāo)函數(shù)

評(píng)注建立不等式求最值或值域是常見的一種處理策略，尤其是均值不等式的運(yùn)用.本法通過(guò)將面積轉(zhuǎn)化為某一邊的函數(shù)，利用了銳角三角形這一條件，通過(guò)余弦定理建立不等式組來(lái)確定a的范圍，從而求得結(jié)果.由于此法涉及只有一邊，并且邊的次數(shù)為1，發(fā)現(xiàn)均值不等式不能奏效況且為銳角三角形，均值不等式直接控制不了“最大值”或“最小值”.本法體現(xiàn)了余弦定理典型的靈活運(yùn)用.

方法二以角為目標(biāo)函數(shù)

反思三角形涉及邊和角兩大核心要素，由以上兩種解法我們體會(huì)到：題設(shè)尤其前提已知三角形是銳角、鈍角三角形時(shí)，知道一邊和一角求面積、周長(zhǎng)或兩邊和與比等最值或值域，則隱含地告訴學(xué)生可以建立以角(邊)為變量的函數(shù)，但建立以角為目標(biāo)函數(shù)成為解決這類問(wèn)題的通法.體現(xiàn)了屬于典型的轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想

探究二我們深知一個(gè)定理或公式的得來(lái)，其推導(dǎo)方法及思想更重要，可以說(shuō)重要的程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)這些定理或公式.尤其在推導(dǎo)正弦定理時(shí)的平面幾何法，以及外接圓法思想應(yīng)該記憶猶新，自然會(huì)想到這兩種方式都能推出正弦定理，可以大膽運(yùn)用此思路試做！

視角二、幾何法

解法三平面幾何作圖法(秒殺1).

評(píng)注數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，我們深知數(shù)學(xué)很多的結(jié)論可以通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證或完成.尤其三角形三內(nèi)角和定理，三邊關(guān)系，圓錐曲線等定義或結(jié)論,通過(guò)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生身臨其境感受數(shù)學(xué)魅力.本法可以說(shuō)是一次“實(shí)踐出真知”.

解法四外接圓法(秒殺2)

類比法三，因?yàn)橛梢阎獥l件知道角B和邊c，又因?yàn)樗蟮氖卿J角三角形即聯(lián)想直角三角形是其臨界點(diǎn)，則構(gòu)造以AB為直徑的圓，同理易得當(dāng)AC與圓弧AD相交或AC成為圓的切線時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C為其臨界點(diǎn)，以下解法同法三.

評(píng)注單位圓或三角形的外接圓是解決涉及三角形已知一角和邊(不管角與邊是否相對(duì))求有關(guān)邊、角、周長(zhǎng)或面積的最值(值域)的快速解法，尤其是三角形給出銳角或鈍角三角形的約束條件，利用此法可快速破解!

反思通過(guò)方法三、四我們真正體會(huì)到領(lǐng)悟教材定理、例題的解題方法及思路是解答問(wèn)題的根本之源.這也是我們常常倡導(dǎo)不要“重結(jié)果，輕過(guò)程”的緣由吧！

探究三數(shù)形結(jié)合法是我們研究高中數(shù)學(xué)不可缺少的一種有效手段，坐標(biāo)法是數(shù)形結(jié)合的真正體現(xiàn)，坐標(biāo)法的優(yōu)越性可將復(fù)雜的線段或角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為純數(shù)據(jù)處理，從而避免了圖形思維的難度.當(dāng)然恰當(dāng)?shù)慕ㄏ悼蔀檫\(yùn)算帶來(lái)簡(jiǎn)便，提高解題速度.

視角三、數(shù)形結(jié)合法

解法五坐標(biāo)法

評(píng)注坐標(biāo)法是高中數(shù)學(xué)中典型的數(shù)形結(jié)合方法體現(xiàn)，坐標(biāo)法主要功能是將復(fù)雜的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為“數(shù)”建立方程或不等式進(jìn)行計(jì)算.解三角形用坐標(biāo)法其中如何建系尤為重要，一般將已知角的頂點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)為關(guān)鍵步驟，當(dāng)然盡可能將其中一邊放在坐標(biāo)軸上，本法將a邊與x軸重合的目的是點(diǎn)A的坐標(biāo)易求.

探究四在證明余弦定理、兩角差的余弦公式時(shí)再次體現(xiàn)了平面向量工具性的強(qiáng)大作用，那么就應(yīng)該活學(xué)活用，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用.讓學(xué)生真正體會(huì)教材定理、例題蘊(yùn)含的知識(shí)寶庫(kù)！

視角四、向量法

解法六(向量法1)

同法五要使△ABC為銳角三角形，即cosA>0，cosC>0.由向量

解法七(向量法2)

評(píng)注向量與三角密不可分，正弦定理、余弦定理的證明，兩角差的余弦公式推導(dǎo)等都把向量的工具性體現(xiàn)得淋漓盡致，尤其要注意a·b>0時(shí)，兩向量的夾角可為0°等一些特殊情況.

反思由本例的幾種角度探究我們體會(huì)到方法來(lái)源于教材，其中解法不只是教材的定理、性質(zhì)等直接運(yùn)用，還包括推導(dǎo)這些定理、性質(zhì)的方法與思路的再現(xiàn).這就是典型的活學(xué)活用，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用！真正讓學(xué)生重視課本、領(lǐng)悟課本精髓而又不拘泥課本.

細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)這是典型的“子母題”.(請(qǐng)讀者根據(jù)以上提供的幾種思維方法進(jìn)行解答，筆者發(fā)現(xiàn)此題利用三角形外接圓可以“秒殺此題”)

總之，教學(xué)要重視教材，提煉教材的精華，要將教材的思維方法付諸實(shí)施，才能讓學(xué)生感受解題有本之根！解三角形問(wèn)題離不開邊和角，涉及一邊和一角、一角和兩邊關(guān)系等、因?yàn)檫吔堑幕セP(guān)系，最終可將問(wèn)題化歸為邊或角達(dá)到歸一，這就是我們常說(shuō)類型題解法的“大格局”. “多想少算”是當(dāng)今高考命題一大亮點(diǎn)，尤其在解答一些小題時(shí)可結(jié)合運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)進(jìn)行最值或值域的妙解，如采用的單位圓法，外接圓法，隱形圓法等可以“秒殺”此類問(wèn)題.一題一世界，選擇高質(zhì)量的試題進(jìn)行探究，知一題懂一類.“刷”高質(zhì)量的代表題，真正讓學(xué)生擺脫“題海”，以不變應(yīng)萬(wàn)變，決勝高考！總之：解三角形是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，尤其面積與正余弦定理的結(jié)合每年必考，所以我們平時(shí)不但要對(duì)基本公式熟練掌握，還有對(duì)通性通法進(jìn)行靈活運(yùn)用.以上介紹的解法僅是涉及能轉(zhuǎn)化為求邊或角的值或值域的一些基本方法與教材同源，同學(xué)們需要平時(shí)學(xué)習(xí)中從教材探索總結(jié)才能不斷地變通及提高學(xué)習(xí)效率.